合理運(yùn)用放縮法 有效破解證明不等式難題

趙 林

(山東省滕州市第二中學(xué) 277512)

證明不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性有較高要求.在證明不等式時(shí)，需要學(xué)生創(chuàng)新解題思路，靈活選用解題方法，才能快速、準(zhǔn)確地解答.其中，放縮法的運(yùn)用可使證明不等式問(wèn)題化難為易，起到事半功倍的效果.放縮法是利用不等式的傳遞性，對(duì)照所證目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)放縮的過(guò)程.在解題過(guò)程中，要掌握好“放”和“縮”的度，方能體現(xiàn)其優(yōu)越性.

一、放縮法利于不等式中的求和

在證明不等式類題型中常會(huì)遇到不等式其中一邊的代數(shù)式需要求和的情況，但是直接求和又比較困難，此時(shí)可通過(guò)對(duì)其進(jìn)行合理的“放”“縮”轉(zhuǎn)化為一個(gè)容易求和的代數(shù)式，再將其與不等式另一邊相比較，從而快速得出結(jié)果.

歸納本例是一道關(guān)于自然數(shù)的證明不等式問(wèn)題，按常規(guī)思路通常會(huì)采用歸納法，但這將是一個(gè)紛繁冗長(zhǎng)的過(guò)程.而用放縮法則可以化無(wú)限為有限，化難為簡(jiǎn).本題通過(guò)將每一項(xiàng)適當(dāng)放大，把一項(xiàng)折成兩項(xiàng)之差，再求解，使解題過(guò)程更加簡(jiǎn)潔，清晰.

二、放縮法用于不等式中的求積

在上例中，難點(diǎn)在于證明不等式一邊數(shù)列的前n項(xiàng)求和，同理，其求積也是解題的難點(diǎn)，采用放縮法同樣起到事半功倍的效果.

歸納在本題的證明過(guò)程中，巧妙地引用了A的對(duì)偶式B，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，有效簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，突顯了放縮法的魔力.當(dāng)然，采用歸納法也是一種解題思路，但其繁復(fù)的過(guò)程足以使人崩潰！

三、放縮法利于減少不等式一邊的變量

證明不等式題型中，如果不等式一邊是常數(shù)，另一邊為含多個(gè)變量的代數(shù)式，則可將此代數(shù)式看作關(guān)于這些變量的多元函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)恰當(dāng)放縮以減少函數(shù)中變量，直到求出常數(shù).

分析不等式的左邊可看作關(guān)于α，β的二元函數(shù)，所以只要能求出這個(gè)函數(shù)的最小值為9即可，由于函數(shù)中包含兩個(gè)變量，我們可以借助放縮法消去一個(gè)變量化簡(jiǎn)，得以求證.

歸納在本例題中，我們可將α當(dāng)作一個(gè)常數(shù)，將不等式左邊看作是關(guān)于β的函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，然后再求關(guān)于α的函數(shù)的最小值.

四、放縮法利于不等式取到等號(hào)

運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)，最重要的是把握好放和縮的度.特別是不等式可取到等號(hào)時(shí)，每一步的放縮都不可與等號(hào)成立的條件相矛盾，否則，會(huì)適得其反.

歸納在本題的證明過(guò)程中，既要注意放縮的大小要適度，以確保等號(hào)成立，又要明確放縮變形的根本目標(biāo)是減少變量，以求出不等式左邊的多元函數(shù)的最大值.所以，放縮法的運(yùn)用要靈活適度，必須有利于簡(jiǎn)化解題過(guò)程，以便快速得出結(jié)果.

總之，高中數(shù)學(xué)中的證明不等式問(wèn)題是教學(xué)難點(diǎn)，也是高考命題的重點(diǎn).但是，我們只要堅(jiān)持科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思想，充分利用好證明不等式的解題利器——放縮法，把握好放和縮的度，一定會(huì)讓我們耳目一新，有效擊破證明不等式的各種題型，提高解題效率.