妙用函數(shù)單調(diào)性高效解題

高四紅

(廣東省中山市桂山中學(xué) 528463)

一、引言

函數(shù)一直以來都是考查的重點(diǎn)，很多時候，其相關(guān)試題看似難度較大，但是只要認(rèn)真掌握相關(guān)特征規(guī)律，在解題時若能正確合理地運(yùn)用，會使得解題過程高效簡潔.下面筆者結(jié)合實(shí)例來談?wù)勥\(yùn)用函數(shù)單調(diào)性高效解題.

二、實(shí)例分析

1.運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解方程

評注此類方程很多同學(xué)覺得頭疼，會直接考慮移項(xiàng)，兩邊平方去根號的策略進(jìn)行解決，這樣可以解出想要的結(jié)果，但也勢必造成解題效率低下，本題應(yīng)基于函數(shù)觀點(diǎn)進(jìn)行考慮，結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行處理，這樣可以大大減少計算量，并且巧妙地避免了討論及利用平方可能帶來的增根檢驗(yàn)問題，達(dá)到簡潔高效的效果.

例2解方程5x+12x=13x.

評注此題的難點(diǎn)在于證明其解的唯一性.很明顯x=2是該方程的一個實(shí)數(shù)解，但是通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性是解答此題的思維痛點(diǎn)，在巧妙利用單調(diào)性的基礎(chǔ)上，該題得到了完美的解決，數(shù)學(xué)的美感得到了很好的詮釋.

2.運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解不等式

例3對任意的a>0且a≠1，求不等式(2logax+3)3>(logax)3-3(logax)2+logax2-5的解集.

解析很明顯的換元套路，令t=logax，那么該不等式變?yōu)?2t+3)3>t3-3t2+2t-5，進(jìn)一步變形為(2t+3)3+(2t+3)>(t-1)3+(t-1)，下面考慮構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+x，求導(dǎo)得f′(x)=3x2+1>0，那么該函數(shù)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，所以2t+3>t-1，解得t>-4，所以logax>-4，logax>logaa-4，若a>1，解得x>a-4；若0

評注此題在對數(shù)函數(shù)換元時，同學(xué)們應(yīng)該注意到由于對數(shù)函數(shù)的值域是(-∞,+∞)，所以不用對t進(jìn)行變化范圍限制，此處雖然無需進(jìn)行限制，但是更多的時候，換元之后會發(fā)生新變量的定義域變更，這點(diǎn)值得注意.換元之后產(chǎn)生了本題最大的難點(diǎn)，將函數(shù)移項(xiàng)整體配方成想要的形式，為什么會想到配方？主要考慮將整個式子單純地展開成一個三次不等式，其計算量也是巨大的，很可能最后不了了之，導(dǎo)致放棄.換個角度思考，如果直接是考查同學(xué)們的三次不等式的計算問題，難么就沒有必要設(shè)置(2t+3)3的形式，所以這就是本題的重要的突破口.緊接著要構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性迅速解題，最后還要對a進(jìn)行分類討論，再得出最后結(jié)果.所以此題不僅要求大家具備良好的敏銳的數(shù)學(xué)眼光，還要求大家具備精細(xì)的思考分析能力.

評注此題主要是考查學(xué)生的觀察能力，切不可直接硬算，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)交雜在一起，一般方程都是解不出來的，只能巧妙利用奇偶性與單調(diào)性進(jìn)行求解.

3.運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求值

解析由已知條件，得(2x-1)2021+2020(2x-1)=(1-2y)2021+2020(1-2y).

考慮構(gòu)造函數(shù)：f(t)=t2021+2020t，顯然該函數(shù)為奇函數(shù)且在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.

所以必有2x-1=1-2y，解得x+y=1.

評注觀察結(jié)構(gòu)具有高度的對稱性，排除直接解方程的思路，注意到兩式相加等于0，而且具有很明顯的換元導(dǎo)向，在換元后的式子中有明顯的奇函數(shù)特點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性即得出答案.

評注關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)都在于配方，此題在指對互化上面的考查也相對較多，在函數(shù)單調(diào)性與變形巧妙的配合下將看似沒有關(guān)系的變量進(jìn)行了連接，這就是數(shù)學(xué)的內(nèi)在美！

4.運(yùn)用單調(diào)性求分段函數(shù)范圍問題

解析畫出此分段函數(shù)草圖，顯然該函數(shù)是在整個(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.構(gòu)造新的函數(shù)：F(x)=f(x)+f(2x+1)，那么這也是一個在(-∞,+∞)的增函數(shù)，而F(0)=f(0)+f(1)=3，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性知x的范圍是(0，+∞).

評注該分段函數(shù)如果直接進(jìn)行分類考慮，要考慮三種不同情形，整個題目運(yùn)算量相當(dāng)大！此種解法直接考慮整體法，新函數(shù)依舊是增函數(shù)，巧妙避免了分類討論，使得解題效率得到有效提高.

評注該題設(shè)計看似復(fù)雜，既有絕對值還有對數(shù)形式，容易產(chǎn)生畏難情緒.但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)該函數(shù)具有奇偶性，從而有效避免分類討論，題干之中的形式實(shí)際上不參與直接代入運(yùn)算，成功避開了復(fù)雜運(yùn)算的困境.

5.利用函數(shù)單調(diào)性做證明題

例9設(shè)0≤a≤1,0≤x≤π，證明：(2a-1)sinx+(1-a)sin(1-a)x≥0.

證明①當(dāng)a=0或a=1或x=0或x=π時不等式顯然成立.

評注該題的第一個難點(diǎn)就是題目不僅僅是一個變量，而是雙變量，無形中給學(xué)生帶來了巨大的壓力；其次應(yīng)優(yōu)先考慮特殊情況，再來考慮一般情況，這里很好地保證了移項(xiàng)相除時候的正確性，也從另一方面體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學(xué)探索發(fā)現(xiàn)過程，最后是配方的時候兩邊同除以x，這一步也很關(guān)鍵，這樣才能很好地構(gòu)造出所需函數(shù)，再結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行論證.精心思考，很多時候會撥開云霧見真章.

大家做題的時候需要有一個勇敢的心！很多題仔細(xì)分析后思路會從模糊變得越來越清晰，掌握好基本題型，審慎分析，提高其實(shí)并不難.