接觸式輪廓儀測量數據的建模分析與研究

朱 莉

（南通職業大學 公共教學部，江蘇 南通 226007）

輪廓儀是一種兩坐標測量儀器，其工作原理是：探針接觸被測工件表面并勻速滑行，傳感器針對被測表面的幾何變化，在X（水平）和Z（豎直）方向分別采樣，并轉換成電信號，該電信號經放大等環節處理，轉換成數字信號，以坐標的形式儲存在數據文件中。在理想狀況下，輪廓曲線應是光滑的，但由于接觸式輪廓儀存在探針沾污或缺陷、掃描位置不準等問題，檢測到的輪廓曲線出現粗糙不平的情況，這給工件形狀的準確標注帶來影響。

為簡化問題，假設被測工件的輪廓線是由直線和圓弧構成的平面曲線。2020高教社杯全國大學生數學建模競賽（CUMCM）D題要求，建立數學模型，針對附件1—附件4[1]所提供的輪廓儀測量數據，進行建模分析，精準計算各項參數，獲取相應的輪廓圖，完成文獻[1]的問題1—4的研究。

1 問題1 數據定位與測量、擬合模型

問題1要求[1]：針對附件1的工件1在水平狀態下的測量數據，分析其輪廓線，計算其各項參數。

1.1 用畫圖軟件畫出工件1的輪廓圖

圖1所示工件1的輪廓圖由24段曲（直）線構成，A2~A24表示各段的分界點，A1、A25為起訖點，其中A3、A4、A7、A8、A11、A12是斜線與圓弧的切點，不太容易在圖中辨識。

圖1 工件1在水平狀態下測量的輪廓線

輪廓示意圖并不反映其實際尺度。將附件1表level的數據（Xj，Z）j（j是數據序號）導入畫圖軟件（AutoCAD[2]或MATLAB），可立即生成反映實際尺度的工件1輪廓線（簡稱真實圖）。為了求得輪廓線的各項參數值，需要確定A1~A25在表level中的數據序號。

設Ai對應的數據序號為n（ii=1~25），已知表level中的首尾序號為n1=2，n25=143 044。利用畫圖軟件的測量功能，在真實圖中測得Ai的坐標（ai，h）i（i=1~25）。由比例關系可得

1.2 用畫圖軟件測量、計算各項參數

利用畫圖軟件的測量功能，可直接測得真實圖中的橫向長度和縱向長度。因此，槽口寬度、水平線段長度x1~x13以及人字形線高度z1都可直接測得，如圖1。人字形斜線長度和斜線夾角∠7、∠8可直接測量，也可按下式計算：

在AutoCAD中，測得的長度即實際長度；在MATLAB中，測得的長度是像素，需要按比例換算成實際長度。換算比例η（每個像素對應的實際長度）按下式計算：

其中，Xn1、Xn25為表level中的首末橫坐標值，與點A1、A25相對應。

對于圖1右邊的4條圓弧（圓弧4—圓弧7），半徑和弧長計算可參看圖2。測得圓弧的橫向寬度2a和縱向高度h后，由勾股定理及弧長公式，可算得半徑R與弧長S：

圖2 待求圓弧的半徑和弧長

注意：由此算得的R與S，還需按式（2）換算為實際長度。同理，下文所得其他長度也要換算。

對于圖1左邊的3個斜槽，需計算斜線長度和夾角、底圓弧的半徑和弧長等。最左邊的斜槽如圖3所示，O1為圓弧的圓心，F為斜線延長線的交點，其各項參數計算過程如下：

圖3 求斜槽的相關參數值示意

鑒于切點A3、A4不易準確辨識，可在其上方測得點A3′、A4′的坐標（a3′，h3′）、（a4′，h4′），由此求得斜線A2A3、A4A5與水平線夾角的正切值：

進而求得圖1中的夾角：∠1=π-arctan k1，∠2=π-arctan k2。

另2個斜槽的底圓弧半徑Rt、弧長St（t=2，3）、斜邊夾角∠t、斜邊長度L（tt=3，4，5，6）及槽口寬度的分劃λt、μ（tt=2，3）都可類似求得。

圖1顯示，圓心距c（tt=1~6）等于相鄰槽口的分劃之和（右邊4個圓弧的槽口分劃都是槽口寬度的一半），再加上兩槽口間的水平距離。具體計算式如下：

1.3 用曲線擬合法求各項參數

用畫圖軟件測量長度和點坐標，需將光標準確放到相關點處，針對鋸齒形線條手動操作，難免產生誤差。

更精確的辦法是直接利用表level的坐標數據（Xj，Zj）（j=n1~n25）計算各項參數。具體做法是，將表中143 043對數據分為24段，以此為樣本分別擬合各段曲（直）線方程，再通過聯立方程求出相關交點，進而計算所需的各項參數。

根據式（1）求得點Ai對應的數據序號n（ii=1~25），做出序號分段，第i段序號為：n

i~ni+（1i=1，2，…，24）。

這些號段的序號數目成千上萬，為避免分界點歸屬的爭議，可掐頭去尾，建立序號集：

Ji=（{ni+c）i~（ni+1-d）i（}i=1，2，…，24），

選定ci，d（ii=1~24），所選數值以避開分界點為度，一般不超過200。這樣掐頭去尾后，樣本容量仍然成千上萬，不會影響曲線擬合的有效性。

在工件1的輪廓圖中，有9個直線段處于同一水平線上（參看圖1），可予以合并，即令

對第i=3，7，11，17，19，21，23段，以（{Xj，Z）jj∈Ji}為樣本，分別擬合圓（共7個）

曲線擬合可用相關軟件，也可在MATLAB中編程實現[3]。有了曲（直）線方程（7）、（8）、（9），就可用代數方法求出交點Ai（i=2，3，…，24）的坐標，再加上式（9）確定的7個圓的半徑和圓心坐標，不需要1.2節的復雜公式，即可方便地計算各項參數。

2 問題2 水平校正的坐標變換模型

同一工件在不同次測量時，由于工件放置的角度和位置不同，輪廓線參數的計算值也會存在差異。問題2要求，針對附件1給出的工件輪廓線測量數據，計算其傾斜角度，并作水平校正后，計算其參數，比較兩種測量狀態下工件各項參數計算值間的差異。

2.1 傾斜輪廓圖的水平校正

將附件1表down的數據導入畫圖軟件（AutoCAD或MATLAB），可立即生成工件1的輪廓圖，該輪廓圖是傾斜的，需作水平校正。

運用1.1節的方法，測量分界點和端點A1~A25的坐標，按式（1）確定與表down中數據對應的序號ni，其中n1=2，n25=141 585。再按式（6）構設斜線指標集J，抽取表down中的數據（{Xj，Z）jj∈J}作為樣本，擬合成直線z=kx+b。

為了厘清關系，將表down中序號為j的數據（Xj，Zj）記為點Pj（j=n1~n25），其中Pn1=A1是起始點，Pn25=A25是末位點。直線z=kx+b上與Pj橫坐標相同的點記為Qj（Xj，kXj+b）。雖然Pj（j∈J）參與直線z=kx+b的擬合，但Pj（j∈J）未必恰在直線上，Qj才在直線上。

擬合所得的斜率k體現工件測量時的傾斜程度，傾斜角為β=arctan k。

水平校正采用旋轉法，將直線z=kx+b旋轉β角到水平位置（k>0時順時針轉β角，k<0時逆時針轉β角）。旋轉中心的選擇非常關鍵，必須選取處于直線z=kx+b上的點作為旋轉中心，才能將該斜線轉平。因為整個圖形都要旋轉，所以涉及坐標變換。具體操作如圖4所示，設C（x，z）為

圖4 旋轉變換示意

旋轉中心并非一定要選起始點Q2，也可選直線z=kx+b上的其他點Q（X，kX+b）（橫坐標X可任意選定）。此時只需將式（10）中X2的換成X，即可得到相應的坐標變換式。

將表down的數據（Xj，Z）j代入坐標變換式（10）的右邊，得到新的坐標（Xj′，Zj′）。再將變換后的全部數據（{Xj′，Zj′）j=n1~n25}導入畫圖軟件（AutoCAD或MATLAB），即可生成水平校正后的工件1輪廓圖。

2.2 水平校正后輪廓圖的各項參數

對于水平校正后的輪廓圖，可運用1.2節的方法，求出槽口寬度與水平線段長度x1~x13、人字形線高度z1、圓弧半徑R1~R7、圓弧長度S1~S7、斜線長度L1~L8、夾角∠1~∠8、圓心距c1~c6等各項參數。

也可運用1.3節的方法求出各項參數。因為用于水平校正的坐標變換（10）不改變數據序號，所以2.1節中獲得的指標集J（ii=1~24）依然有效，且水平線z=z0已經得到，只需按式（8）、（9）擬合斜線和圓即可。

計算所得參數與問題1的結果基本相同。這是因為圖形的整體旋轉不會改變圖形的形狀和尺度，有一些小的差別是由于測量誤差或計算誤差所致。

3 問題3 校平比對模型

在對工件作多次檢測時，每次測量實際是對整個工件中的某一部分進行局部檢測。問題3要求針對文獻[1]給出的工件2的10次測量數據，計算其傾斜角度和各項參數，并畫出完整輪廓線。

3.1 工件2輪廓圖的水平校正

附件2有10張表，分別將其數據導入畫圖軟件后，生成10張工件2的輪廓線，這些輪廓線大同小異。相同的是左邊都有兩段處于同一直線上的斜線（表明測量時的傾斜度），兩段斜線之間有一段圓弧，右邊是折線狀的角型圖；不同的是輪廓線兩端的缺失有多有少，可相互補充。

接下來利用擬合所得的參數k、b及自行選定的橫坐標X，按式（10）實施坐標變換：

其中，每張圖的坐標數據（Xj，Z）j、擬合直線參數k和b、末位數據序號n等，都各不相同。對于每張表，將變換后的全部數據（{Xj′，Zj′）j=2~n}導入畫圖軟件，即可生成各自經水平校正的輪廓圖。

3.2 畫出工件2的完整輪廓線

分析上述10張經水平校正的輪廓圖，比對其中2張圖（如移動圖形使之盡量重合），便可看出明顯不合理的部分（測量誤差所致）以及兩端缺失情況。

在10張圖中取一張作為基準（建議取左端起始部分最完整的圖），依次與另9張圖進行比對，逐步修正不合理的部分，添補缺失的部分。經9次修補，即可得到工件2的完整輪廓線。

然后用1.2節的測量法或1.3節的擬合法，求出輪廓線的各項參數。若用1.3節的擬合法，擬合前尚需將修補所用的數據（點）作適當平移，并調整相應的序號集。

4 問題4 局部修正的求解謀劃

為了更準確地標注工件2的各項參數，問題4要求利用附件3、4提供的工件2關于圓和角的9次局部測量數據，修正問題3的結論，并進一步修正工件2的完整輪廓線。

4.1 圓弧局部的進一步修正

附件3有9張表，均為工件2輪廓線中左部兩段直線夾圓弧的局部測量數據。對于每張表，分別采用3.1節的方法，擬合直線z=kx+b，利用獲得的參數值k和b，實施坐標變換，將變換所得數據導入畫圖軟件，可生成9張經水平校正的兩線夾圓弧局部輪廓圖。

用3.2節的方法比對上述9張圖，修正明顯不合理的部分，得到最準確的局部輪廓圖，再用其替換3.2節所得完整輪廓線中兩線夾圓弧的局部，實現對圓弧局部的進一步修正。

4.2 角型局部的進一步修正

附件4也有9張表，均為工件2輪廓線中右部折線狀角型局部的測量數據。將9張表的數據分別導入畫圖軟件，生成9張工件2的角型局部輪廓線。結果表明，9張圖形狀類似，左部都有一直線段。

和4.1節一樣，經直線擬合、坐標變換，生成9張經水平校正的角型局部輪廓圖。然后比對這9張圖，修正明顯不合理的部分，得到最準確的角型局部輪廓圖。再用其替換4.1節得到的經圓弧修正后的完整輪廓線中折線狀的局部，便實現了對角型局部的進一步修正。