函數(shù)圖像的繪制方法與技巧

何圣姿

【摘要】“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.函數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它貫串?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.如果能作出函數(shù)的圖像，就能利用圖像的直觀性快速了解函數(shù)的形態(tài)特征.本文給出了幾種繪制函數(shù)圖像的方法與技巧，為研究函數(shù)的性質(zhì)提供指導(dǎo).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)圖像;初等函數(shù);變換;導(dǎo)數(shù)

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，借助Matlab，Mathematica，GeoGebra，Excel等軟件可以方便地繪制各種函數(shù)的圖像.但如何指出圖像上的關(guān)鍵點(diǎn)，選擇作圖的范疇，從而進(jìn)行人工處理，仍需要我們能夠手工繪制函數(shù)的簡(jiǎn)圖.所謂簡(jiǎn)圖即指圖像的基本樣式是正確的，但細(xì)微之處可以不太深究.下面給出幾種手工繪制函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法，并以實(shí)例呈現(xiàn)其使用技巧.

一、基本初等函數(shù)

當(dāng)函數(shù)是基本初等函數(shù)，如，常函數(shù)y=c（c為常數(shù)）、一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）、反比例函數(shù)y=kx（k≠0）、冪函數(shù)y=xa（a∈R）、指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1），三角函數(shù)y=sin x，y=cos x，y=tan x，y=cot x，反三角函數(shù)y=arcsin x，y=arccos x，y=arctan x，y=arccot x等形式時(shí)可以直接快速繪制出其簡(jiǎn)圖.

二、通過簡(jiǎn)單變換繪制函數(shù)圖像

當(dāng)所繪制的函數(shù)圖像可以由基本初等函數(shù)y=f（x）的圖像通過平移、對(duì)稱、翻折、伸縮等變換而得到時(shí)，可以用以下方法繪制出其簡(jiǎn)圖.

1.平移變換

y=f（x）a>0時(shí)，向左平移a個(gè)單位a<0時(shí)，向右平移a個(gè)單位y=f（x+a）;

y=f（x）a>0時(shí)，向上平移a個(gè)單位a<0時(shí)，向下平移a個(gè)單位y=f（x）+a.

2.對(duì)稱變換

y=f（x）關(guān)于y軸對(duì)稱y=f（-x）;

y=f（x）關(guān)于x軸對(duì)稱y=-f（x）;

y=f（x）關(guān)于直線y=x對(duì)稱y=f-1（x）;y=f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=-f（-x）.

3.翻折變換

y=f（x）保留y軸右側(cè)圖像并作其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像再刪除在y軸左側(cè)的原圖y=f（x）;

y=f（x）保留x軸上方的圖像[]把x軸下方的圖像翻折到x軸上方y(tǒng)=f（x）.

4.伸縮變換

y=f（x）a>1時(shí)，橫坐標(biāo)縮短為原來的1[]a00）;

y=f（x）a>1時(shí)，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的a倍00）.

例如，將函數(shù)y=2x的圖像沿x軸向右平移1個(gè)單位得到函數(shù)y=2x-1的圖像;將函數(shù)y=2x的圖像沿y軸向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)y=2x+1的圖像;作函數(shù)y=2x的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像可以得到函數(shù)y=-2x的圖像;作函數(shù)y=2x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像可以得到函數(shù)y=2-x的圖像;保留函數(shù)y=2x在y軸右側(cè)的圖像并作其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像，刪除在y軸左側(cè)的原圖得到函數(shù)y=2x的圖像.

例1 如何繪制函數(shù)y=31-x的圖像？

解：保留函數(shù)y=3x在y軸右側(cè)的圖像并作其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像，刪除在y軸左側(cè)的原圖可得到函數(shù)y=3x的圖像，再將函數(shù)y=3x的圖像沿x軸向右平移1個(gè)單位得到函數(shù)y=3x-1的圖像，亦即函數(shù)y=31-x的圖像.

三、利用導(dǎo)數(shù)繪制函數(shù)的圖像

數(shù)學(xué)研究的函數(shù)一般為基本初等函數(shù)或?yàn)橛苫境醯群瘮?shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)，通過基本初等函數(shù)的圖像變換可以快速畫出簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像.另外，我們還可以利用導(dǎo)數(shù)繪制一般形式的初等函數(shù)的圖像，下面介紹一下利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)y=f（x）圖像的一般步驟.

1.確定函數(shù)y=f（x）的定義域，討論函數(shù)的奇偶性、周期性等，并求出f ′（x）和f″（x）;

2.求出f ′（x）=0和f″（x）=0在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根，并求出使函數(shù)y=f（x）無意義的點(diǎn)及f ′（x）和f″（x）不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)子區(qū)間;

3.確定在這些子區(qū)間內(nèi)f ′（x）和f″（x）的符號(hào)，并由此確定函數(shù)圖像的單調(diào)性和凹凸性、極值點(diǎn)和拐點(diǎn).若在（a，b）內(nèi)，f ′（x）>0，則函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增，否則函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞減;若駐點(diǎn)或一階導(dǎo)不存在的點(diǎn)兩端一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相異，則該點(diǎn)為極值點(diǎn);如果在（a，b）內(nèi)，f″（x）>0，那么函數(shù)f（x）在（a，b）上是凹的，否則函數(shù)f（x）在（a，b）上是凸的;f″（x）=0的點(diǎn)或f″（x）不存在的點(diǎn)兩端二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相異，則該點(diǎn)為拐點(diǎn).

4.確定函數(shù)圖像的水平、鉛直、斜漸近線.若limx→∞f（x）=c，則稱直線y=c為曲線y=f（x）的水平漸近線;若曲線y=f（x）在點(diǎn)x0間斷，且limx→x0f（x）=∞，則稱直線x=x0為曲線y=f（x）的鉛直漸近線;若limx→∞yx=k，limx→∞[f（x）-kx]=b，則稱直線y=kx+b為曲線y=f（x）的斜漸近線.

5.求出f ′（x）和f″（x）的零點(diǎn)以及不存在的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，定出圖像上相應(yīng)的點(diǎn);為了把圖像描得準(zhǔn)確些，有時(shí)還需要補(bǔ)充一些點(diǎn)，如函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等;然后結(jié)合第3，4步中得到的結(jié)果，連接這些點(diǎn)畫出函數(shù)y=f（x）的圖像.

例2 畫出函數(shù)y=12πe-x22的圖像.

解：（1）其定義域?yàn)椋?∞，+∞）.

∵f（x）=f（-x），∴f（x）是偶函數(shù)，

∴只需討論[0，+∞）上該函數(shù)的圖像，再作其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像即可.

（2）在[0，+∞）上，f ′（x）=0的點(diǎn)為x=0;f″（x）=0的點(diǎn)為x=1.用點(diǎn)x=1把[0，+∞）劃分成兩個(gè)區(qū)間[0，1）和[1，+∞）.

（3）列表討論如下：

x[]0[]（0，1）[]1[]（1，+∞）

f ′（x）的值或符號(hào)[]0[]-[]-[]-

f″（x）的值或符號(hào)[]-[]-[]0[]+

函數(shù)的圖像極大值凸、減拐點(diǎn)凹、減

（4）∵limx→+∞f（x）=0，∴y=f（x）有一條水平漸近線y=0.

（5）取函數(shù)y=f（x）圖像上的一些點(diǎn)M10，12π，M21，12πe，M32，12πe2.

結(jié)合以上討論，畫出函數(shù)y=12πe-x22在[0，+∞）上的圖像.

最后，利用圖像的對(duì)稱性便可得到函數(shù)在（-∞，+∞）上的圖像.（如下圖）

函數(shù)y=12πe-x22為“概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，通過其圖像大家很容易理解并掌握概率密度函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).

以上介紹的三種繪圖方法，大家可以根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特征靈活選擇.基本初等函數(shù)是學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，大家應(yīng)熟練掌握其表達(dá)式及其圖像特征.用圖像變換法作函數(shù)圖像時(shí)，要確定以哪一種基本初等函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)，進(jìn)行怎樣的變換，當(dāng)涉及多種變換時(shí)，應(yīng)注意變換的順序;利用導(dǎo)數(shù)繪制函數(shù)的圖像時(shí)，要綜合分析函數(shù)y=f（x），y=f ′（x）及y=f ″（x）的關(guān)系，并考慮其定義域、奇偶性、對(duì)稱性、周期性、連續(xù)性、單調(diào)性、凹凸性、極值、漸近線以及一些特殊點(diǎn)，特別是臨界點(diǎn)的函數(shù)值等，雖然過程略顯復(fù)雜，但其通用性較強(qiáng).

【參考文獻(xiàn)】

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