在新課教學中進行數學抽象思維能力培養的研究

2021-08-04 04:21:18姚春明

數學學習與研究 2021年19期

姚春明

【摘要】數學抽象思維能力的培養是核心素養下課堂教學研究的一個重要課題.教師應根據數學抽象思維發展的規律，運用學生認知結構的發展和認知心理的原理，遵循科學教學規律，確定策略和實施方案.實施數學抽象思維能力的培養有以下五個策略：1.循“序”漸進的策略;2.表征積累策略;3.要素突顯策略;4.數學符號化、形式化策略;5.互化訓練策略.

【關鍵詞】一核;四層;四翼;數學抽象思維;表征;數學符號化;數學形式化

一、序言

（一）抽象思維培養的意義

教育部考試中心制定的《中國高考評價體系》一書，是指導高考的綱領，也是中學教學的指揮棒.高考評價體系主要由“一核”“四層”“四翼”三部分內容組成（如右圖所示），其中的“四層”強調了抽象思維能力的重要性.

（二）數學抽象思維發展的基本規律

數學抽象思維的教學實施一般通過以下四個步驟完成：

1.研究教材和教學內容;2.確定待抽象的數學事物即知識點、數學概念等;3.用數學符號或形式抽象地表示本質屬性，建構抽象物的表征和圖式;4.應用表征和圖式進行數學推理分析，由抽象到具體，還原抽象物的數學本質，從而解決實際問題.

本文以高中數學必修一（新教材）“集合”“對數函數”為載體，研究和實施數學抽象思維能力的培養.本文立足于抽象思維能力在高中數學教學中的實施，結合教學實際，從高處著眼，小處著手，研究日常教學中數學抽象思維能力的培養，以近期的教學內容為切入點，深入、具體地探究如何培養學生的抽象思維能力.

二、新課中培養數學抽象思維能力的步驟與策略

（一）研究教材和教學內容

集合是抽象的，沒有一個確切的定義（因為集合不能下定義），因此怎樣讓學生真正理解集合的概念需要教師動動腦筋.新編人教版的教材處理得非常得當，由具體到抽象，層層深入.對數的概念以及對數的運算比較抽象，學生很難理解，所以教師在教學時應該遵循認知規律，循序漸進，結合學生已有知識，從學生的最近發展區域出發，溫故而知新.

教材開篇即從小學和初中的認知開始，如，自然數的集合、同一平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合（即圓）等.然后教材提出“為了更有效地使用集合語言，我們需要進一步了解集合的有關知識”，接著以“1～10之間的所有偶數、立德中學今年入學的全體高一學生”等六個集合為例，給出集合的含義，然后闡述集合的有關概念以及元素與集合的關系，再引出表示集合的自然語言法、列舉法、描述法等方法.集合的三種表示法中，描述法是最為抽象的，也是教學難點.對數概念的引入是從已學知識——指數開始的，通過多個特殊的求指數的值的實例，引出非特殊值如何求指數，讓學生意識到這是一種新的運算，并由此引出對數的概念.

（二）確定數學抽象分布的位置以及具體的待抽象的數學事物，即知識點、數學概念

集合的描述法確定為待抽象的數學對象，教師教學時應遵循循序漸進的原則，從學生熟悉的一元一次不等式的解集入手.

不等式x-7<3的解集是x<10，因為滿足x<10的實數有無數個，所以x-7<3的解集無法用列舉法表示.但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即x是實數，且x<10，把解集表示為

{x∈R|x<10}.

又如，整數集Z可以分為奇數集和偶數集，對于每一個x∈Z，如果它能表示為x=2k+1（k∈Z）的形式，那么x除以2的余數為1，它是一個奇數;反之，如果x是一個奇數，那么x除以2的余數為1，它能表示為x=2k+1（k∈Z）的形式.所以，x=2k+1（k∈Z）是所有奇數的一個共同特征，于是奇數集可以表示為

{x∈Z|x=2k+1，k∈Z}.

對數的意義和對數的表達形式是待抽象的數學對象.因為對數是一種新的運算和新的概念，所以教學宜從學生熟知的加、減、乘、除、乘方、指數的運算以及運算符號開始對比研究.學生已經學習過的基本運算有：加法運算、減法運算、乘法運算、除法運算，這四種運算的運算符號為：+，-，×，÷;開方運算也有運算符號，而且運算符號具有了結構性的特征，即根指數和被開方數的位置有明確的要求;至于乘方運算，它沒有明顯的運算符號出現，只是通過底數和指數的位置結構來表達;對數運算（概念）也是如此，并且表現形式更為抽象和復雜.

（三）建構抽象物的表征和圖式

上面對概念的引入教材處理得很好，教師教學時應重視這個過程，不能跳躍得太快.例如，對“描述法”的教學，教師應啟發學生對這個數學對象從結構上進行分析，以豎線為界，分析其結構和含義，體會和領悟用描述法表示集合的關鍵，然后給出“描述法”的說法，建構“描述法表示集合”的表征和圖式，如教材所示：

有時也用冒號或分號代替豎線，寫成

{x∈A：P（x）}或

{x∈A;P（x）}.

一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為

{x∈A|P（x）}，

這種表示集合的方法稱為描述法.

然后，教材應用表征和圖式進行數學推理分析，解決問題.這里尊重教材，采用教材上的例2.

例2

試分別用描述法和列舉法表示下列集合：

（1）方程x2-2=0的所有實數根組成的集合A;