離散型隨機(jī)變量概率分布運(yùn)算大揭秘

王 心

例1 （2019年全國(guó)卷I 第6 題）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6 個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3 個(gè)陽(yáng)爻的概率是（ ）

你讀懂題意了嗎？ 題中“重卦”的定義“是由6 個(gè)爻組成”，提供了什么信息呢？對(duì)，就是有6 個(gè)位置擺放爻．

當(dāng)你遇到困難時(shí)，再重新讀題，弄懂定義的含義，再重新組合信息，就能找到解題的突破口．本題實(shí)質(zhì)就是在特定的平面圖形中選取線(xiàn)段的概率問(wèn)題．

變題

已知△ABC的面積為4，點(diǎn)D,E,F分別為三邊AB,BC,CA的中點(diǎn)，從三個(gè)頂點(diǎn)和三個(gè)中點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為隨機(jī)變量ξ，規(guī)定線(xiàn)段的面積為0．（1）求ξ=2 的概率；（2）求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

(2)ξ的可能值為0,1,2,4 共4 種情況．當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，ξ=0，有3 種取法，當(dāng)ξ=1 時(shí)，取兩個(gè)中點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)或者三個(gè)中點(diǎn)，則有所以當(dāng)取三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，ξ=4，所以ξ的概率分布列為右表：

ξ 0 1 2 4 P 3?3 1 20 1 2 10 20

在計(jì)算隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率時(shí)，一定要弄清基本事件總數(shù)，做到不重復(fù)不遺漏．

例2正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，從8 個(gè)頂點(diǎn)中任取4 個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形的體積為隨機(jī)變量X（規(guī)定當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，體積為0），則X的概率分布列為_(kāi)________；數(shù)學(xué)期望E(X)=____________．

你有沒(méi)有漏掉對(duì)角面的情況？正四面體有幾個(gè)？體積怎么求？

4=70種取法，其中四點(diǎn)共面的有6 個(gè)表面正方形，6 個(gè)對(duì)角面，計(jì)12 個(gè)．三棱錐(四面體)有70?12=58個(gè)，正四面體D1?AB1C類(lèi)型有2 個(gè)，其體積為非正四面體有56 個(gè)，其體積均為所以X的可能值為0(12 個(gè))，(56 個(gè))，(2個(gè))，其概率分布列如右表．所以

X 0 1 6__1 3__P 6 4 1_________35__5____35_

你有沒(méi)有算得很慢？找到原因了嗎？

可以是因?yàn)闆](méi)有找出四點(diǎn)共面的四邊形個(gè)數(shù)，也可能是因?yàn)橛?jì)算正四面體的體積時(shí)，沒(méi)有利用分割法求解，而是利用三棱錐的體積公式．

所以要學(xué)會(huì)先觀察幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，再選擇策略．

變題

已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都等于2．（1）從三個(gè)側(cè)面的六條對(duì)角線(xiàn)中任選2 條，求這兩條對(duì)角線(xiàn)組成異面直線(xiàn)的概率；（2）從6 個(gè)頂點(diǎn)中任取4 個(gè)點(diǎn)，這4 個(gè)點(diǎn)組成空間圖形體積為ξ（規(guī)定四點(diǎn)共面時(shí)，ξ=0）．求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)．

2 3 3 P ξ 0 4 1 5 5

E(ξ)=0×所以數(shù)學(xué)期望E(ξ)為

你有沒(méi)有忽略?xún)傻酌娓魅蓚€(gè)點(diǎn)，組成正四面體的情況？要正確利用分類(lèi)討論思想哦．

例3已知邊長(zhǎng)為1 的正六邊形ABCDEF的中心O，現(xiàn)從六個(gè)頂點(diǎn)及中心O這七個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)組成的平面圖形的面積為ξ（規(guī)定當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，ξ=0）．

（1）求三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的概率；（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

(2)①三點(diǎn)共線(xiàn)，有3 條，ξ=0，P(ξ=0)=②直角三角形有12 個(gè)，面積為③由中心O和頂點(diǎn)組成的正三角形，如△AOB，有6 個(gè)，面積由三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形ABC類(lèi)型，有6 個(gè)，面積ξ=由一個(gè)中心和兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形AOC類(lèi)型，有6 個(gè)，面積ξ=故④還有2 個(gè)正三角形△ACE，△BDF，邊長(zhǎng)為面積

所以ξ的分布列見(jiàn)表，E(ξ)=

ξ 0 3 3 4 P 3 3 4 2 3 2 35 18 35 12 35 35

你的分類(lèi)全不全？概率和是不是等于1？有沒(méi)有考慮三個(gè)頂點(diǎn)組成正三角形的情況？

敲黑板

概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題經(jīng)常提供一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題背景，具體的計(jì)算證明往往要用到如不等式、拆項(xiàng)、數(shù)學(xué)歸納法、求導(dǎo)等，同學(xué)們要加強(qiáng)與之有關(guān)的綜合性的知識(shí)復(fù)習(xí)哦！