讓自己的數(shù)學(xué)“慢生長(zhǎng)”
——關(guān)于切點(diǎn)弦問(wèn)題的探究

南師附中秦淮科技高中高二（2）班 陳思成

一、源頭

在假期“刷題”時(shí)，我遇到了這樣一題：

引例已知圓O：x2y2+=9，P為直線x+y2?9=0 上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．

經(jīng)過(guò)分析，不難發(fā)現(xiàn)兩種思路：

其一，切點(diǎn)弦AB可以看作圓O和以O(shè)P為直徑的圓相交所得的弦．兩圓方程相減即可獲得直線AB的方程，那么解決直線AB過(guò)定點(diǎn)就自然而然．

其二，不妨設(shè)A(x1,y1)，尋求A的軌跡(直線)．由，由圓的切線的性質(zhì)易得設(shè)P(x0,y0)，則于是有即x0x1+y0y1?(x12+y12)=0．又因?yàn)辄c(diǎn)A坐標(biāo)滿(mǎn)足方程x2+y2=9，點(diǎn)P坐標(biāo)滿(mǎn)足方程x+2y?9=0，于是x0=9?2y0，從而y0(y1?2x1)+9x1?9=0．要使得y0“失效”，可得直線AB過(guò)定點(diǎn)D(1,2)，當(dāng)PA斜率不存在時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證其也過(guò)D．得證．

二、出新

引例分析完了，我心中難以平靜：既然引例中圓的切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)，那么與圓形狀上相似的橢圓，它的切點(diǎn)弦是否也過(guò)定點(diǎn)？

1、探尋思路

例1已知橢圓C：P為直線x+2y?9=0 上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向C引兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？

引例中的解題方法是否可用？

結(jié)論是：在橢圓中，不能再利用兩圓方程求公共弦方程，只能從思路二入手：即設(shè)A(x1,y1)，求點(diǎn)A的軌跡方程．設(shè)P(x0,y0)，則有直線AP的斜率為那么，直線AP的斜率可否用另一種形式表示？如類(lèi)似引例中的思路二“由圓中切線的性質(zhì)得

2、突破難點(diǎn)

當(dāng)前的主要問(wèn)題就變成了：

有三種思路可以解決該問(wèn)題．

思路一：由圓類(lèi)比橢圓，如果題干中的曲線是圓x2+y2=r2，則過(guò)A的切線方程為x1x+y1y=r2，可以看作將圓方程中的“x2”寫(xiě)成“x?x”，將其中一個(gè)x替換為x1，同理一個(gè)y替換為y1．通過(guò)類(lèi)比推理，可以得到過(guò)A點(diǎn)的橢圓的切線方程為所以

思路二：判別式法，設(shè)過(guò)A的橢圓切線方程為y?y1=k(x?x1)，與橢圓聯(lián)立得到方程令?=0，解得

思路三：隱函數(shù)求導(dǎo)，將y視為關(guān)于x的函數(shù)，對(duì)橢圓方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，于是有所以

3、解決問(wèn)題

回到例1，解題過(guò)程如下：

解法一設(shè)A(x1,y1)，P(x0,y0)，則

又因?yàn)锳(x1,y1)滿(mǎn)足橢圓方程同時(shí)P(x0,y0)滿(mǎn)足直線方程x+2y?9=0，于是x0=9?2y0?y0(3y1?2x1)+9x1?9=0．

要使得y0失效，可求直線AB過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)PA斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證其也過(guò)點(diǎn)D．

綜上，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)D．

4、溯源化歸

在例1 中，曲線由圓變?yōu)闄E圓，由于橢圓和圓具有相似性質(zhì)，于是嘗試將例1 化歸為引例，筆者想到了“換元”，這樣就有了:

解法二令于是橢圓方程轉(zhuǎn)化為x′2+y′2=1．

直線方程x+2y?9=0 對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化為

橢圓的切點(diǎn)弦問(wèn)題便化歸為圓的切點(diǎn)弦問(wèn)題，解得圓的切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)PA斜率不存在時(shí),驗(yàn)證其也過(guò)點(diǎn)D．

綜上，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)D．

回顧反思：左邊的過(guò)程，其實(shí)是將原坐標(biāo)系中x,y分別變?yōu)樵瓉?lái)的倍和倍，得到x′,y′，也就是將坐標(biāo)系進(jìn)行伸縮，將橢圓變換為圓，這樣的變換，稱(chēng)作平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換．

三、遷移

研究了橢圓，筆者不由聯(lián)想到另一種圓錐曲線——拋物線，其切點(diǎn)弦是否也與圓和橢圓具有相似性質(zhì)呢？

例2已知拋物線C：y2=4x，P為直線y=3x+2上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向C引兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？

解析“照葫蘆畫(huà)瓢”，設(shè)A(x1,y1)，尋求A的軌跡(直線)，設(shè)P(x0,y0)，則根據(jù)判別式或隱函數(shù)求導(dǎo)等方法，可求得過(guò)點(diǎn)A的切線斜率為

又因?yàn)辄c(diǎn)A滿(mǎn)足方程y2=4x，同時(shí)點(diǎn)P滿(mǎn)足方程y=3x+2，其切點(diǎn)弦方程為：2x1?2y1+x0(2?3y1)=0，易求弦AB過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)AP斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證其也過(guò)點(diǎn)D．

綜上，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)D．

可見(jiàn)對(duì)于拋物線也是有類(lèi)似結(jié)論的．

當(dāng)然，在以上研究的問(wèn)題中，直線與曲線都無(wú)公共點(diǎn)，否則直線上的動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)到曲線內(nèi)部時(shí)，無(wú)切線，也就談不上切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)．

四、展望

在探究了圓、橢圓和拋物線的相關(guān)問(wèn)題后，不由讓人猜想：雙曲線是否也有上述性質(zhì)呢？利用例2 的方法，可以判斷當(dāng)直線上的點(diǎn)在雙曲線外部(不在漸近線上)時(shí)，切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)；直線上的點(diǎn)在雙曲線外部(漸近線上)時(shí)，只有一條切線，沒(méi)有切點(diǎn)弦．

回顧本次研究，完全是我做完了引例后自然的聯(lián)想，我想這就是老師常說(shuō)的“生長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)觀，對(duì)提升我的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力水平有重大意義．

研究看上去是“慢步暢思”，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，必然超越“奔跑的先鋒”，由此可見(jiàn)，快和慢，在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的．慢下來(lái)，是為了更快．我想我們要有企鵝的秉性，抗拒?chē)?yán)寒，沉下去，潛入水中，聚精會(huì)神地積蓄能量．遠(yuǎn)大前程，又怎是一蹴而就的呢？