立足問題本質 激發創新思維（上）
——導數題的求解思路探究

潘梅耘

導數在研究復雜函數單調性時，方法直觀，功能強大：能求斜率，求切線、求單調區間、比較大小、求極值，求值域、探索圖象分布等，從而能跟函數、解析幾何、不等式、數列等聯系，也使它成為新教材高考命題的熱點．

常規套路：簡單粗暴地求導，思路往往受阻，計算量大；

創新選擇：選擇新角度，構造新函數；

難點：需要有敏銳的觀察力，數形結合、分類討論的能力及理論上嚴謹性的探究要求高，主要體現在構造法、放縮法和反推法等的靈活運用．

不過一切問題的本質都是相通的，本文通過幾道導數題的剖析，以期揭示問題的根源，激發思維的創新．

一、兩次求導，旨在單調

例1已知函數f(x)=excosx?x，求函數f(x)在區間上的最值．

本質分析:導數正負性，函數單調性，極值端點比大小，函數最值可知曉．

解析函數定義域f′(x)=ex(cosx?sinx)?1．

一次求導，無法判號

令h(x)=ex(cosx?sinx)?1，

構造二階函數

則h′(x)=ex(cosx?sinx?sinx?cosx)=?2exsinx.

二次求導

當x∈，可得h′(x)≤0，即h(x)在遞減，

根據二階導數正負性判斷一階導數的單調性

（思考一下，如果此時二階導數的正負性不能明顯確定，該怎么辦？）

可得h(x)≤h(0)=f′(0)=0，則f(x)在遞減，

得到一階導數的正負性就得到原函數的單調性

所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=

得到原函數的最值

思維創新主導函數為超越型，“二次求導判號”，得函數單調性求最值．

二、恒存一家,分合轉化

例2已知函數f(x)=(2?a)(x?1)?2lnx(a∈R)，對任意的恒成立，求a的最小值．

本質分析:不等式左右分，“全分半分可不分”，數形結合易理解，分類討論顯真功．

解法一（變量全分離）

變量分離構造函數

令l(x)=

則l′(x)=

一次求導，無法判號

構造局部有效函數

則m′(x)=

所以m(x)在上為減函數．

二次求導判號，得有效數單調性

于是m(x)>m=2?2ln 2 >0，

從而，l′(x)>0，

判斷局部有效函數正負性即得一次求導函數的正負性

于是l(x)在上為增函數，

所以l(x)<=2?4ln 2．

得原函數的增減性和上限

故要a> 2?恒成立，只要a∈ [2?4ln 2,+∞)，即a的最小值為2?4ln 2．

得a的最小值

解法二（變量半分離）

因為函數f(x)=(2?a)(x?1)?2lnx(a∈R)，對任意的x∈,f(x)>0恒成立，

即(2?a)(x?1)?2lnx>0對任意的0

條件具體化

構造雙函數

所以函數y1=(x?1)圖象恒在y2=lnx，0

圖象分布法

可求過(1,0)作y=lnx切線為y=x?1，過(1,0)和直線斜率為2ln 2，

圖象臨界位置

數形結合

所以a∈ [2?4ln 2,+∞)，即a的最小值2?4ln 2．

注意等號取舍

注意本解法采用二次求導研究函數圖象，構造函數研究其單調性，觀察其零點求解切點坐標，雖然缺少理論上的論證，但可作客觀題求解，并可為理論研究作向導．

解法三（變量不分離）

因為f(x)=(2?a)(x?1)?2lnx，x>0，

所以f′(x)=(2?a)?，x>0.

導數含參討論判號

(1)若a≥2，則f′(x)< 0，f(x)=(2?a)(x?1)?2lnx在上遞減，

優先觀察恒號之情形

(2)若a<2，則>0，f′(x)=

由于x>0，2?a>0，

故當0

確定可疑極點左、右單調性

當x>時，f′(x)≥0，f(x)遞增．

優先考慮無極點之情形

所以f(x)>得2?4ln 2 ≤a<2，合題意．

利用單調性反推無解之情形

觀察到f(1)=0，所以f<0，

所以a

綜上，a≥ 2?4ln 2，所以a的最小值為2?4ln 2．

思維創新利用a0，很難直接求解a的范圍，結合單調性，就比較好說明f(x)min=

例3已知函數f(x)=x+xlnx，若k∈Z，且存在x>1，有k>成立，求k的最小值．

解析存在x>1，有所以k>

令g(x)=則g′(x)=

構造函數一次求導，無法判號

考慮分子h(x)=x?lnx?2,

h′(x)=

構造有效函數二次求導，能判號

所以h(x)在(1,+∞)單調遞增．

二階函數雖單調，但不恒號

由于h(3)=1?ln3 < 0,h(4)=2?ln 2 > 0，（想一想，3 和4 這兩個值是如何想到的呢？）

由零點存在定理，?b∈ (3,4)，使得h(b)=0 ．

零點理論確保隱零點的存在

所以x∈(1,b)時，h(x)< 0 ?g′(x)<0．

同理，x∈b(,+∞)時，g′(x)>0，

所以g(x)在(1,b)單調遞減，在(b,+∞)單調遞增，

反推一階導數的正負性

故g(x)min=g(b)=

由h(b)=0得b?lnb?2=0 ? lnb=b?2，

最值隱零點表示

可化簡g(b)=b∈(3,4).

又k>b，k∈Z，得k的最小值為4．

化簡限范圍，得整數參數最小值

思維創新參變分離求最值，“零點理論保零點，設而不求限范圍，隱零點關系表最值，化簡求整得結論”，存恒本是同根生，“半分不分”自探真．