二項分布面面觀

吳 承

新題速遞 （2021·蘇北四市模擬）

某觀影平臺為了解觀眾對最近上映的某部影片的評價情況（評價結果僅有“好評”“差評”），從平臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取216 人進行調查，部分數(shù)據(jù)如下表所示（單位:人）:

?好評 差評 合計男性 68 108女性 60合計 216

瑞士數(shù)學家雅·伯努利首次研究獨立重復試驗（每次成功率均為p），以他為首的伯努利家族在概率論、統(tǒng)計學上做出了杰出的基礎性貢獻．

（1）請將2×2 列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“對該部影片的評價與性別有關”．

（2）若將頻率視為概率，從觀影平臺的所有給出“好評”的觀眾中隨機抽取3 人，用隨機變量X表示被抽到的男性觀眾的人數(shù)，求X的分布列；

（3）在抽出的216 人中，從給出“好評”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10 人，從給出“差評”的觀眾中抽取m(m∈N*)人，現(xiàn)從這(10+m)人中，隨機抽出2 人，用隨機變量Y表示被抽到的給出“好評”的女性觀眾的人數(shù)．若隨機變量Y的數(shù)學期望不小于1,求m的最大值．

參考公式：其中n=a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù)：

P(χx)2 ≥ 0 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

二項分布是指在只有兩個結果的n次獨立的伯努利試驗中，所期望的結果出現(xiàn)次數(shù)的概率．

判斷模型：試驗只可能有兩個結果(“發(fā)生”或者“不發(fā)生”)，且是獨立的，重復進行；(如不放回的摸球則不屬于)

確定期望結果及出現(xiàn)次數(shù)：如擲3 次硬幣，我期望正面朝上（期望結果），想了解2 次（出現(xiàn)次數(shù)）正面朝上有多大概率．

試驗歸試驗，在實際應用中，往往要采用無放回抽樣（檢測完畢后的樣品不能再放回去了），這時候實際上屬于超幾何分布，計算起來往往會比較麻煩．在整體容量比較大的情況下，我們一般會近似地看成是有放回抽樣，也即是二項分布．

證明期望

兩點分布是二項分布的一個特例，即n=1 時的二項分布，二項分布可以看作是兩點分布的一般形式．因為n次獨立重復試驗每次的數(shù)學期望都是p，所以從整體上看n個獨立的兩點分布即為二項分布，它的期望當然是n個期望的和，即E(X)=np．

試證明：若X～B(n,p)，則E(X)=np.

證明1令

則P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1?p,E(Xi)=0×(1?p)+1×p=p，

證明2設

兩邊同乘p，令x=p，得

由于p+q=1，所以

規(guī)范答題

Q1.分布列表示時不列表會被扣分嗎？

答：題目如果只求分布列，那么符號表達、列舉表達、分布表表達有一個就可以；如果是求概率分布，則要列舉法和分布表都寫出．二項分布概率公式的通項公式，后面必須注明k=0,1,2,…,n．如果沒有注明，則只能代表其中一項，肯定是要被扣分的．

Q2：沒有寫概率類型，比如“服從二項分布”或者“X～B(n,p)”沒有寫，但是按照二項分布公式計算，會不會被扣分呢？

答：如果按定義式求解，一般不扣分；沒有寫X～B(n,p)，而直接用E(X)=np，不得分．注意，是不得分哦!

新題詳解

解：(1)填寫2×2 列聯(lián)表如下：

好評 差評 合計男性 40 68 108女性 60 48 108合計 100 116 216?

所以有99%的把握認為“對該部影片的評價與性別有關”.

(2)從觀影平臺的所有給出“好評”的觀眾中隨機抽取1 人為男性的概率為且各次抽取之間相互獨立.

X 0 1 2 3 P 27 54 36 8 125 125 125 125

(3)Y的可能取值為0，1，2，所以

又m∈N*，所以m的最大值為2.