無向拓撲多航天器系統分組姿態協同控制

王帥磊，周紹磊，代飛揚，劉玄冰

(海軍航空大學， 山東 煙臺 264001)

1 引言

姿態控制是多航天器系統控制中的重要問題之一。達到姿態協同是多航天器正常作業的前提，例如在多航天器對地觀測、重力場測量等[1]場景中，都需要系統內航天器相互合作并保持相應的姿態。針對多航天器系統的姿態協同控制問題，文獻[2]中采用SO(3)模型研究了帶時滯的情況；文獻[3]中引入了事件觸發機制以減少系統內的通信；文獻[4]考慮了復雜的約束條件；Liu等[5]針對領導-跟隨結構的多航天器系統展開了研究；Lu和Liu進一步考慮了切換拓撲的情況[6]；現有研究還針對帶有避撞約束[7]、慣性不確定性[8]以及存在時滯[9]的情況進行了分析。

現有研究大多致力于使多航天器系統中所有航天器的姿態收斂到同一個固定的或時變的姿態，而在較為復雜的應用場景中，將整個系統劃分為多個分組進行控制是必要的，例如在SAR衛星編隊的協同監控[9-10]中，需要編隊中的衛星保持不同的姿態。對于這種分組情況，Weng等[11]在SO(3)模型上結合事件觸發機制研究了多個分組的姿態協同控制問題，而該研究中需要對每個分組設定領導者。文獻[12]采用修正羅德里格斯參數(modified rodrigues parameters，MRP)描述剛體姿態，并直接利用姿態和角速度信息設計了控制輸入，該研究中引入了分組一致的概念。分組一致是指，系統中所有個體的狀態量能夠同時收斂到多個固定值或時變值。這意味著系統可以劃分為多個分組，每個分組內部都能達到一致。關于分組一致的研究主要集中在基于質點模型的多智能體系統[13-16]。在文獻[12]的基礎上，文獻[17]進一步將分組姿態協同控制問題擴展到了有向拓撲結構，采用了一種變量代換和矩陣分解相結合的方法，解決了切換拓撲條件下的分組姿態協同控制問題?？傮w上，目前針對多航天器系統的分組姿態協同控制研究仍然較少。

將多航天器系統劃分為多個分組進行控制，可以直接將系統分割為多個孤立的子系統，并分別設計控制輸入，但這將破壞系統的整體性，同時增加了控制量，控制難度也隨之增加。而通過引入分組一致性理論中的入度平衡[18]條件，不需要對系統進行分割，在保持系統整體性的同時，僅需要設計一種控制輸入，就能夠實現系統內狀態量的分組一致，即多航天器的分組姿態協同，因此這一控制方法更具優勢。

本文基于分組一致相關理論，通過構造輔助變量，設計了分布式的控制輸入，對無向拓撲上的多航天器系統分組姿態協同控制問題進行了研究。本文其余內容安排如下：第1節中構建了基于無向圖的多航天器系統；第2節構造了輔助變量，并設計了分布式的控制輸入，對多航天器系統的穩定性進行了分析；第3節中對包含4個分組的多航天器系統進行了仿真；第4節給出了本文的結論。

2 多航天器系統構建

2.1 航天器姿態動力模型

考慮一個由N個具有相同運動特性的航天器組成的多航天器系統，并且該系統可劃分為s個分組。每個分組中航天器的數量為ni，并且每個航天器僅能夠被劃分到唯一的分組中。若航天器i屬于分組gj，那么存在映射Γ(i)=gj。采用MRP描述航天器的姿態，第i個航天器的姿態運動學和動力學方程可以記為：

(1)

式(1)中：σi(t)∈R3、ωi(t)∈R3和ui(t)∈R3分別表示MRP參數下航天器的姿態、角速度和控制輸入；正定對稱矩陣J∈R3×3表示航天器的轉動慣量。Gi(t)定義為：

(2)

其中

(3)

2.2 多航天器系統通信拓撲

由于本文中多航天器系統是分組的，因此基于現有關于分組一致的研究，本文采用如下假設。

假設1：系統通信結構為無向拓撲，若2個分組之間存在邊，則這些邊滿足入度平衡[18]。對于分組si和sj，存在節點vk1,vk2∈si和節點vk3,vk4∈sj，使得鄰接矩陣中ak1k3=ak2k4=1，并且ak1k4=ak2k3=-1。

假設2：L的非零特征值均為正實數。

定義1：稱多航天器系統達到分組姿態協同，當且僅當同一分組中的航天器i和航天器j滿足：

(4)

那么本文的研究目的可以描述為：設計一種控制輸入，使無向拓撲上的多航天器系統達到如式(4)描述的分組姿態協同。

3 控制器設計

3.1 分布式姿態控制器設計

為了便于表示，后續分析中將省略時間符號t。

首先，對航天器構造輔助變量，即：

(5)

式(5)中，參數μ>0。于是可知：

(6)

即多航天器系統的分組姿態協同問題轉化為了輔助變量si的分組一致問題。根據式(5)，得到：

(7)

從而可以設計控制輸入為：

(8)

由于每個航天器的控制輸入中僅利用了鄰居的姿態和角速度信息，因此控制輸入是分布式的。根據假設1可知：

(9)

因此對于航天器i，有如下等式成立，即：

(10)

將式(10)代入式(8)，可以得到：

(11)

對式(11)進行化簡，得到：

(12)

結合式(7)和式(12)，可知：

(13)

從而根據式(13)得到多航天器系統的閉環方程為：

(14)

記分組gk中所有輔助變量的均值為：

(15)

并對該均值求導可知：

(16)

由于Laplacian矩陣是對稱矩陣，因此有：

(17)

這意味著每個分組內輔助變量的均值是時不變的常值。因此，若每個分組初始時刻輔助變量的均值互不相同，且系統能夠達到分組姿態協同，那么最終各個分組的協同姿態和協同角速度仍將保持互不相同。

3.2 穩定性分析

定理1若通信拓撲為無向拓撲的多航天器系統滿足假設1和假設2，那么給定如式(8)的控制輸入，多航天器系統能夠達到分組姿態協同。

證明選定Lyapunov函數為：

V=sTs/2

(18)

顯然有V≥0成立。

對Lyapunov函數V沿式(14)求導，得到：

(19)

Ω={s|sTL?I3s=0}

(20)

即系統(14)是漸近穩定的。而sTL?I3s=0意味著s=0或者L?I3s=0。當s=0時，有：

s1=s2=…=sN=0

(21)

而根據si=0可知：

由于L1N=0成立，因此當L?I3s=0時，有：

Ls1=Ls2=Ls3=0

(22)

式(22)中，s1、s2和s3分別為向量s在第1、第2和第3個方向上的分量。即：

(23)

因此可知若Γ(i)=Γ(j)，那么將有

si=sj

(24)

綜上所述，在本文設計的控制輸入作用下，多航天器系統能夠達到分組姿態協同。證畢。

4 仿真結果與驗證

多航天器系統的無向通信拓撲如圖1所示。

以一個包含19個航天器與4個分組的系統為例，基于MATLAB平臺進行仿真。其中航天器1～4組成分組g1，航天器5-8組成分組g2，航天器9～14組成分組g3，航天器15～19組成分組g4。根據圖1可以確定，在鄰接矩陣A中，元素a15=a26=-1，a16=a25=1，a710=a89=-1，a79=a810=1，a1215=a1314=-1，a1214=a1315=1。因此，多航天器系統的無向通信拓撲滿足入度平衡。

圖1 多航天器系統的無向通信拓撲示意圖

設定航天器的轉動慣量矩陣J=I3，仿真時長共100 s，并設定參數μ=1。航天器的姿態時間響應和角速度時間響應分別如圖2和圖3所示。縱坐標的上角標1、2和3表示第1、第2和第3個方向上的分量，下角標i表示航天器的編號。

根據圖2結果可知，分組g1和分組g2中，航天器的姿態分別達到了協同，并且2個分組的協同姿態并不相同。在3個分量上，2個分組的協同姿態各自穩定在一個常值。

圖2 航天器的姿態時間響應曲線在3個方向上的分量

根據圖3結果可知，分組g1和分組g2中，航天器的角速度都收斂到零，這意味著最終多航天器系統是靜態的。

圖3 航天器的角速度時間響應曲線在3個方向上的分量

圖2和圖3的結果表明，在本文給定的控制輸入作用下，多航天器系統達到了靜態的分組姿態協同。

與本文基于滑模變量提出的控制輸入不同，文獻[12]直接利用姿態和角速度信息設計了控制輸入。采用同樣的拓撲結構和初始條件，對文獻[12]提出的控制輸入進行仿真復現，與本文提出的控制輸入進行比較。

圖4表明，在文獻[12]控制輸入作用下，多航天器系統中2個分組的姿態也能夠分別達到協同，并且協同姿態是時變的。

圖4 航天器的姿態時間響應曲線在3個方向上的分量(文獻[12]提出的控制輸入與本文提出的控制輸入)

圖5表明，2個分組的角速度也分別達到了協同，并且協同角速度均不為零，即多航天器系統最終達到了動態的分組姿態協同。

圖5 航天器的角速度時間響應曲線在3個方向上的分量(文獻[12]提出的控制輸入與本文提出的控制輸入)

對于以衛星編隊為代表的多航天器系統來說，由于大多數時候需要衛星保持在期望的姿態以朝向地面，因此靜態的分組姿態協同相比動態的分組姿態協同更具有現實應用意義。

通過對比圖2、圖3和圖4、圖5可知，在控制效果上，本文及文獻[12]的控制輸入都能夠使多航天器系統達到分組姿態協同。從最終的協同姿態和協同角速度來看，文獻[12]中的控制輸入能夠使多航天器系統達到動態的分組姿態協同，而本文的控制輸入能夠使多航天器系統達到靜態的分組姿態協同，更貼近工程應用需求；從達到分組姿態協同的速度來看，本文提出的控制輸入能夠使系統更快達到分組姿態協同，控制效率上更具優勢。

5 結論

1) 通過設計輔助變量，能夠將分組姿態協同控制問題轉化為分組一致問題；

2) 本文提出的控制輸入是分布式的；

3) 本文提出的控制輸入能夠使多航天器系統達到靜態的分組姿態協同，并且在控制效率上更具優勢。