基于離散度多目標(biāo)粒子群重頻組優(yōu)化算法

周仕霖

(西安科技大學(xué)， 西安 710600)

1 引言

雷達脈沖重復(fù)頻率(pulse repetition frequency，PRF)是雷達波形的一個關(guān)鍵參數(shù)，PRF的設(shè)計將直接影響雷達的探測性能。工作在中重頻模式的雷達通常將不同的PRF組合在一起形成重頻組[1]，實現(xiàn)解距離模糊和速度模糊，提升雷達波形的抗盲區(qū)性能。因此，重頻組設(shè)計也成為雷達波形優(yōu)化的重大課題。

雷達重頻組可從多個方面進行優(yōu)化，如解模糊、抗盲區(qū)、抗虛影等[2]。傳統(tǒng)雷達重頻組優(yōu)化算法是將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解，而對多目標(biāo)雷達重頻組優(yōu)化的研究相對較少。如針對解模糊優(yōu)化問題的重合算法(Coincidence Algorithm)、中國余數(shù)定理法[3]、一維集法[4]、滑窗聚類算法[5]及一系列衍生算法[6]等；針對波形盲區(qū)問題的遺傳算法[7]、模擬退火算法[8]、蟻群算法[9]等，均是解決了雷達重頻組的單目標(biāo)優(yōu)化問題。這些傳統(tǒng)方法雖然具有一定的積極意義，但存在計算速度慢、優(yōu)化結(jié)果受約束值和權(quán)重值影響較大的缺點[10]；并且，由于傳統(tǒng)優(yōu)化算法尋優(yōu)能力有限，利用其對多目標(biāo)雷達重頻組進行優(yōu)化時，不可避免的將多個目標(biāo)函數(shù)主觀結(jié)合為一個目標(biāo)函數(shù)進行求解，造成目標(biāo)函數(shù)主觀性過強，難以保證得到理想的效果[11]。

隨著帕累托(Pareto)概念的提出，針對多目標(biāo)優(yōu)化問題(multi-objective optimization problem，MOP)相繼出現(xiàn)了多種智能優(yōu)化算法，如非支配排序遺傳算法(non-dominated sorting geniting algorithm Ⅱ,NSGA-Ⅱ)[12]、多目標(biāo)粒子群算法(multi-objective particle swarm optimization， MOPSO)[13]、分布估計算法(estimation of distribution algorithm，EDA)[14]、基于分解的多目標(biāo)進化算法(multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition，MOEA/D)[15]等。但上述算法在對雷達重頻組進行優(yōu)化過程中存在多種問題，如NSGA-Ⅱ存在因交叉和變異隨機性過大，導(dǎo)致帕累托前沿(PF)趨近度不夠的問題[16]；MOPSO存在全局搜索能力較差、收斂速度慢的問題[17]；EDA算法模型不夠精確，難以處理較為復(fù)雜的雷達頻率選擇問題[18]等，因此，這些算法在對雷達重頻組進行優(yōu)化時，往往達不到理想的效果。

本文針對雷達重頻組優(yōu)化問題，以最小化虛影產(chǎn)生率、最小化盲區(qū)、最小虛影為目標(biāo)綜合設(shè)計重頻組，提出基于改進MOPSO重頻組優(yōu)化算法，求解出雷達重頻組的最優(yōu)pareto前沿，并引入灰色關(guān)聯(lián)度用于折中解的選擇，實現(xiàn)了雷達脈沖重頻組多性能優(yōu)化的目標(biāo)。

2 雷達重頻組能力分析

2.1 解模糊能力分析

如果PRF給定，則其最大不模糊距離

(1)

式(1)中，c=3×108m/s為光速常量;fr為PRF的具體數(shù)值。最大不模糊速度

(2)

式(2)中：λ為發(fā)射波束的波長，此處Vmu為實際值的絕對值。定義波束的不模糊探測空間為Rmu和Vmu，即

(3)

由式(3)可知：當(dāng)波束的波長參數(shù)確定時，該波束的不模糊探測能力即為定值，Smu在期望的距離和速度探測二維空間上平鋪即可得到該波束的探測模糊圖，如圖1。

圖1 不模糊空間在期望探測空間上平鋪示意圖

波束重頻組設(shè)計的首要問題即為期望探測空間的解模糊問題。為了能夠解距離模糊和速度模糊，重頻組在設(shè)計時有兩個基礎(chǔ)的約束，即

(4)

LCM(PRF1,PRF2,…,PRFM)≥fdmax

(5)

式(4)與式(5)中，LCM為求最小公倍數(shù)運算；PRI為脈沖重復(fù)間隔(pulse repetition interval)，和PRF互為倒數(shù)；Rmax為雷達最大探測距離；fdmax為最大多普勒偏移頻率；M為解模糊所需最少PRF數(shù)目。

N表示重頻組中PRF總數(shù)目，M和N的設(shè)定通常可由M/N準(zhǔn)則得到，典型M/N為3/8組合，即8重頻組中只要在任意3個重頻下檢測到目標(biāo)存在，即上報目標(biāo)。由此可知在3/8組合下共有56種重頻搭配，由式(4)和式(5)可得每種搭配的解模糊距離及解模糊速度。只有當(dāng)所有搭配的解模糊距離和解模糊速度均大于期望的探測距離和速度時，重頻組才能在探測空間內(nèi)完全解模糊。

2.2 抗盲區(qū)性能分析

中重頻脈沖在探測時除距離盲區(qū)和速度盲區(qū)2種主要的探測盲區(qū)外，副瓣雜波、雜波、噪聲等因素也會造成探測盲區(qū)，為了簡化計算，僅考慮距離盲區(qū)和速度盲區(qū)2個主要因素。

由圖2可見在距離和速度2個維度上，單重頻組成的盲區(qū)。由于距離模糊和速度模糊的存在，單重頻波束的盲區(qū)分別在距離和速度維上延伸，在盲區(qū)圖上形成網(wǎng)格狀分布。當(dāng)目標(biāo)處于圖2中的黑色區(qū)域時，雷達或正在進行脈沖發(fā)射，或?qū)⒔邮盏降牟ㄊl段進行抑制，無法對目標(biāo)進行有效探測。

圖2 單重頻盲區(qū)延伸示意圖

如圖3所示，通過重頻組優(yōu)化，可以大幅減小雷達的距離盲區(qū)和速度盲區(qū)，大幅提升探測區(qū)域內(nèi)的波束非盲區(qū)區(qū)域。

圖3 重頻組優(yōu)化后盲區(qū)示意圖

2.3 抗虛影能力分析

虛影的產(chǎn)生原因主要有2種，一是由于目標(biāo)的回波在距離單元或速度單元上出現(xiàn)了延伸，跨越了2個或數(shù)個單元，以至達到檢測門限的回波數(shù)量，即達到報告的要求，上報虛假目標(biāo)；二是對目標(biāo)的模糊回波在M個PRF下進行了錯誤的相關(guān)，以致在特定的距離或速度上出現(xiàn)虛假目標(biāo)。

在設(shè)計重頻組時，保持較大的解模糊余量可以有效減少第1種方式引起的虛影。解模糊余量在探測空間上是波動的，只有在探測空間上的最小解模糊余量滿足要求時，才能保證其在所有探測空間上均降低虛影發(fā)生的概率。

在保證最小解模糊余量滿足要求的前提下，本文主要對第2種虛影問題進行優(yōu)化。此種方式的虛影產(chǎn)生機制如圖4所示，目標(biāo)1、目標(biāo)2、目標(biāo)3的回波在3個PRF中對準(zhǔn)，均為真實目標(biāo)。當(dāng)不同目標(biāo)的回波在某一單元內(nèi)對準(zhǔn)時，系統(tǒng)同樣上報發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，此目標(biāo)為回波錯誤相關(guān)所致。如果有K個目標(biāo)，則對參與上述過程的M個PRF而言，能夠得到的目標(biāo)數(shù)為，并且這些目標(biāo)可能分布于M重頻的解模糊空間內(nèi)[19]。

圖4 錯誤互相關(guān)產(chǎn)生虛影示意圖

如圖5所示，當(dāng)真實目標(biāo)個數(shù)一定時，對于服從3/8準(zhǔn)則重頻組，得到可能目標(biāo)數(shù)目是確定的KM，然而其最大解模糊空間卻不盡相同。在可能目標(biāo)數(shù)目一定的前提下，最大解模糊空間越大，虛影存在于期望探測空間內(nèi)的概率就越小。因此，為了減少因目標(biāo)回波錯誤相關(guān)造成的虛影，在保證重頻組解模糊余量滿足要求的前提下，可以通過擴大重頻組對應(yīng)的最大解模糊空間來降低虛影發(fā)生概率。

圖5 最大解模糊空間對虛影產(chǎn)生概率影響示意圖

3 多目標(biāo)優(yōu)化模型構(gòu)建

通過雷達重頻組能力分析可知，提升本文重頻組優(yōu)化目標(biāo)主要為以下2個方面：提高重頻組的抗盲區(qū)能力，提高在期望探測空間內(nèi)非盲區(qū)區(qū)域的比例；擴大重頻組最大解模糊空間，降低因回波錯誤引起的虛影發(fā)生率。

為確定在關(guān)注區(qū)域內(nèi)，重頻組非盲區(qū)區(qū)域(即可視區(qū)域)的占比，即圖3中空白部分占全部二維空間的比例。該比例可通過如下過程判定得出：計算重頻組內(nèi)每個PRF的不模糊距離和不模糊速度，并轉(zhuǎn)換為距離單元的個數(shù)；根據(jù)脈寬和多普勒抑制帶寬計算發(fā)射遮擋的距離單元和速度單元數(shù)；將重頻組的不模糊空間按照不模糊距離和不模糊速度為間隔，鋪滿整個關(guān)注探測空間。將關(guān)注探測空間根據(jù)距離單元和參考速度單元完全劃分為網(wǎng)格；在每一個網(wǎng)格上進行盲區(qū)判定：判定完所有網(wǎng)格后，將可視網(wǎng)格除以所有關(guān)注網(wǎng)格。

R和V分別為重頻組的最大解模糊距離和最大解模糊速度，在3/8重頻組中，解模糊所需的最少重頻數(shù)為3個，因此8個重頻共有56中組合，每種組合都可通過求解最小公倍數(shù)計算(即式(4))得到可以完全解模糊的最大脈沖重復(fù)周期(PRI)。通過PRI便能夠計算得到最大不模糊距離Rmax，即為R，以及最大不模糊速度Vmax，即V。通過上述方法，便能夠計算出Rmax與Vmax的56種組合，則該重頻組的最大解模糊距離R和最大解模糊速度V便為這56種組合中Rmax和Vmax的最小值。

式(4)和式(5)給出的是重頻組需滿足的最低條件，而R和V則是該重頻組能夠達到的最高條件，如果超過R和V，該重頻組將不能解模糊。一般R和V的計算結(jié)果非常大，完全能夠滿足關(guān)注探測范圍的要求。但是在最大解模糊空間內(nèi)產(chǎn)生虛影的總數(shù)是一定的，如果最大解模糊空間變大，那么虛影落在關(guān)注探測空間內(nèi)的概率就會降低，即虛影發(fā)生的概率將會減小。

在對重頻組進行多目標(biāo)優(yōu)化時，適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計將直接影響算法的收斂速度和效果。本文所提算法的適應(yīng)度函數(shù)如式(6)：

F=[f1,f2]

(6)

式(6)中，F(xiàn)為粒子適應(yīng)度；f1=Rdmax、f2=Vdmax分別為該重頻組的最大解模糊距離和最大解模糊速度。

PRF的上下限的確定方案有多種，本文選取了較為典型的確定方式。

由于已設(shè)定了占空比上限，且脈寬固定，那么PRI的下限即可確定，計算式即為

(7)

若PRI小于下限，則占空比將超過20%；PRI的下限與PRF的上限意義相同。

本文多普勒抑制帶寬占多普勒帶寬的比例選用最為典型的50%占比。多普勒帶寬通常為PRF，因此PRF的下限為

(8)

式(8)中bps為帶寬；dsb為多普勒抑制帶寬。

通過式(7)與式(8)及PRI與PRF的轉(zhuǎn)換公式，可得PRF的上下限。

4 基于離散度MOPSO算法

本文在傳統(tǒng)MOPSO的基礎(chǔ)上，通過引入離散度指標(biāo)，大幅提升MOPSO的全局搜索能力及收斂速度，求解最優(yōu)的pareto解集，并設(shè)置合理求解方法，求出最終的折中解。

4.1 傳統(tǒng)MOPSO概述

MOPSO算法是由CarlosA.Coello等在2004年提出來的一種多目標(biāo)優(yōu)化算法[20]，其通過將pareto思想與PSO算法相結(jié)合，將原先只能用于單目標(biāo)優(yōu)化的PSO算法擴展到多目標(biāo)優(yōu)化上。

MOPSO算法步驟如下[21]：

步驟1：初始化群體和Ak集。

給參數(shù)賦初值，生成初始群體P1，并把P1中的非劣解拷貝到Ak集中得到初始非劣解集A1。設(shè)當(dāng)前進化代數(shù)為k，在k小于總進化代數(shù)時完成步驟1～步驟4的內(nèi)容。

設(shè)當(dāng)前進化的粒子j，在j小于群體規(guī)模時完成1)～3)的內(nèi)容。

1) 計算Ak集中粒子的密度信息。把目標(biāo)空間用網(wǎng)格等分成小區(qū)域，以每個區(qū)域中包含的粒子數(shù)作為粒子的密度信息。粒子所在網(wǎng)格中包含的粒子數(shù)越多，其密度值越大，反之越小。

步驟3：更新Ak集。

進化得到新一代群體Pt+1后，把Pt+1中的非劣解保存到Ak集中。

步驟4：Ak集的截斷操作。

當(dāng)Ak集中的粒子數(shù)超過了規(guī)定大小時，需要刪除多余的個體以維持穩(wěn)定的Ak集規(guī)模。

結(jié)果表明:組成按碳數(shù)歸類時，采用標(biāo)準(zhǔn)氣中n-C4架橋定量和樣品氣中n-C5架橋定量時，計算的烴露點是一致的，兩者相差在0.2℃以內(nèi);而中特殊組分單獨定量分析時，采用標(biāo)準(zhǔn)氣中n-C4架橋定量和樣品氣中n-C5架橋定量，計算的烴露點也是一致的，兩者相差也在0.2℃以內(nèi);但采用特殊組分單獨定量時，計算的烴露點比組成只按碳數(shù)歸類時計算的烴露點低，最大偏低值達到6℃左右，說明采用兩種數(shù)據(jù)處理方式獲得的組成結(jié)果對計算的烴露點有較大影響。

步驟5：輸出Ak集中的粒子信息。

4.2 離散度MOPSO算法構(gòu)建

任何尋優(yōu)算法尋優(yōu)的目標(biāo)就是為了尋找數(shù)據(jù)空間中的極值點，如圖6中A、B、C、D四點。

圖6 離散度MOPSO算法原理示意圖

觀察圖6可知：若尋優(yōu)算法采用等步長的搜索方法(ab搜索路徑)去尋找最優(yōu)點時，在數(shù)據(jù)變化范圍較大的極值附近(紅色凸起處)，由于搜索步長過短，尋優(yōu)算法需經(jīng)過多次“無意義”搜索，才能逐漸開始收斂；但在數(shù)據(jù)變化范圍較小的極值附近(藍(lán)色低洼處)，由于步長過長，尋優(yōu)算法無法直接到達極值，許多次在極值附近“徘徊”搜索，造成收斂速度變慢。

基于以上分析，本文通過引入離散度指標(biāo)，對傳統(tǒng)MOPSO算法進行優(yōu)化。離散度指標(biāo)表達式如下所示：

(9)

(10)

由式(9)和(10)可知：當(dāng)粒子群的離散程度增大時，其步長也將增加，即當(dāng)MOPSO算法開始進行尋優(yōu)或當(dāng)粒子群處于急劇變化的數(shù)據(jù)空間時，MOPSO算法尋優(yōu)速率將會增大，保證算法的尋優(yōu)效率；當(dāng)數(shù)據(jù)空間的離散程度趨于緩和時，MOPSO尋優(yōu)速率將隨之變小，保證算法尋優(yōu)的精確性。基于離散度改進后得MOPSO迭代式如下：

(11)

4.3 折中解選擇

離散度MOPSO算法雖然能夠提供一組解集，但是具體選擇哪一種解，還需要決策者根據(jù)實際問題進行討論，本文設(shè)計利用TOPSIS[22]對Pareto解集[23]進行排序，其決策過程如下：

1) 對適應(yīng)度函數(shù)矩陣進行歸一化處理：

(12)

式(12)中，fi,d為第i個解的第d維空間子目標(biāo)函數(shù)值；ω為解集總數(shù)；ai,d為各適應(yīng)度函數(shù)歸一化后值。

2) 求“最優(yōu)解”和“最劣解”：

(13)

(14)

3) 計算各非劣解與A+、A-之間的距離：

(15)

(16)

4) 計算各非劣解與A+和A-之間的貼進度：

(17)

將所求得的Mi按照數(shù)字大小進行排序，Mi越大則表示其越接近最優(yōu)方案。

5 仿真實驗

5.1 算法參數(shù)設(shè)置

為驗證本文算法性能，以某一雷達系統(tǒng)為基礎(chǔ)，根據(jù)其參數(shù)進行仿真環(huán)境設(shè)計。雷達系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示。通過表1的雷達系統(tǒng)參數(shù)數(shù)據(jù)計算可知，雷達PRI的下限為PRId=τ/dcycle=7/0.2=35 μs，對應(yīng)PRF的上限為PRFu=1/PRId=28 571 Hz；設(shè)定多普勒抑制帶寬不超過多普勒帶寬的50%[1]，則PRF的下限為PRFd=2×1.67×103/0.5=6 667 Hz，對應(yīng)的PRI的上限為PRIu=1/PRFd=150 μs。

表1 雷達系統(tǒng)參數(shù)

根據(jù)PRF范圍設(shè)置算法的初始種群，設(shè)定種群數(shù)量為50，迭代次數(shù)為100，并且w、c1、c2分別設(shè)置為0.8、0.5、0.5。同時，仿真設(shè)定目標(biāo)數(shù)量為3個。

5.2 仿真結(jié)果分析

為了驗證離散度MOPSO算法，本文以傳統(tǒng)MOPSO作為對比進行多次仿真實驗。

1) 2種算法尋優(yōu)能力分析

圖7表示離散度MOPSO算法pareto前沿，其中pareto前沿曲線上黑色圓圈為折中解。由圖7可看出本文所提出的離散度MOPSO算法能夠依據(jù)pareto理論求解出符合雷達重頻組多目標(biāo)優(yōu)化模型所要求的非劣解集，并依據(jù)數(shù)據(jù)特征，求解其折中解，克服了傳統(tǒng)優(yōu)化算法將多個目標(biāo)函數(shù)人為結(jié)合為一個目標(biāo)函數(shù)造成的主觀性過強的缺陷。

圖7 離散度MOPSO算法pareto前沿曲線

圖8為根據(jù)離散度MOPSO算法與傳統(tǒng)MOPSO算法計算得到的pareto前沿曲線。明顯可以看出，離散度MOPSO算法pareto前沿曲線明顯低于傳統(tǒng)MOPSO算法pareto前沿曲線，即離散度MOPSO算法尋優(yōu)能力、收斂性優(yōu)于傳統(tǒng)MOPSO算法。

圖8 2種算法pareto前沿曲線

2) 雷達重頻組優(yōu)化效果分析

2種算法得到的重頻組非盲區(qū)區(qū)域比例如圖9所示。當(dāng)優(yōu)化算法為MOPSO時，重頻組非盲區(qū)區(qū)域比例在94%左右，在實驗中得到的最高比例為94.32%，而當(dāng)優(yōu)化算法為離散MOPSO時，重頻組非盲區(qū)區(qū)域比例在97.5%左右，在實驗中得到的最高比例為98.36%。綜合來看，本文所提出的離散度MOPSO算法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)MOPSO算法，且高達97.5%，能較好的減少盲區(qū)的比例。2種算法所得重頻組在期望探測范圍內(nèi)虛影數(shù)目分布如圖10所示。由圖可知，2種算法在出現(xiàn)虛影數(shù)目上存在明顯的區(qū)別。MOPSO算法得到的重頻組虛影數(shù)普遍多于離散度MOPSO算法的結(jié)果得到的重頻組虛影數(shù)，即離散度MOPSO算法抗虛影能力優(yōu)于MOPSO算法。

圖9 2種算法的非盲區(qū)區(qū)域比例曲線

圖10 2種算法的虛影數(shù)目曲線

由圖11與圖12可知：離散度MOPSO算法所得重頻組最大解模糊距離最小值為12 259.170 km，平均值為5 184 788.303 km；最大解模糊速度的最小值為12 259 170 m/s，平均值為 5 184 788 302.635 m/s；傳統(tǒng)MOPSO算法最大解模糊距離最小值為4 106.973 km，平均值為2 548 111.957 km；最大解模糊速度最小值為1 134 752.257 m/s，平均值為2 425 804 926.692 m/s。因此，離散度MOPSO算法所得重頻組最大解模糊距離和最大解模糊速度值均大于傳統(tǒng)MOPSO算法，即離散度MOPSO算法尋優(yōu)能力更強。

圖11 最大解模糊速度曲線

圖12 最大解模糊距離曲線

6 結(jié)論

針對中重頻雷達系統(tǒng)的性能優(yōu)化問題，提出了一種基于離散度多目標(biāo)粒子群重頻組優(yōu)化算法。與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，本文算法克服了主觀因素帶來的影響；與多目標(biāo)優(yōu)化算法相比，本文算法收斂效果好，優(yōu)化程度明顯，但參數(shù)選取未實現(xiàn)自適應(yīng)，有待進一步改進研究。