探尋有效學法 彰顯內在價值
——《方程的意義》教學

文|夏向陽 張磊銘

一、教學實錄

1.情境引入，無縫對接。

師：這是一架天平，旁邊是一些砝碼。現在有20 克、40 克、50克、70 克、80 克物品各一件，把它們全部放在天平上，想一想，怎么放能使天平左右平衡？

生：把50 克、80 克的物品放在天平的左邊，把20 克、40 克、70克的物品放在天平的右邊。

師：說一說你的想法，為什么要這樣擺放？

生：50 克、80 克加起來一共是130 克，20 克、40 克、70 克加起來也是130 克，左右兩邊物品的重量相等。

師：數學上我們叫做質量相等，這兩個式子可以用哪個符號連接起來？

生：等號。

師：50+80=20+40+70，如果左右兩邊交換擺放，你們覺得可以嗎？

生：可以，因為左右兩邊的質量相等。

師：那就寫成20+40+70=50+80。

2.深入探究，內化新知。

（1）看圖列式。

師：同學們，從這幅圖中，你讀懂了哪些信息？

生：一個空杯子的質量正好是100 克。

師：接著老師在空杯子中放了一些水，用一個式子表示左邊這幅圖的意思，你能表示嗎？

生：空杯子和水的質量大于200 克。

師：能否用一個式子來表示？

生：a＞200。

師：請你介紹一下你這個式子表示什么意思？

生：把空杯子和水的質量一共看作a 克，它比200 克要重。

生：用100+x＞200 來表示。

師：請你說一說這個式子表示什么意思？

生：100 克表示空杯子的質量，水的質量是一個未知數，把它設為x 克，100+x＞200 就表示空杯子的質量和水的質量大于200 克。

師：兩種不同的式子，你們比較喜歡哪一種？并說說喜歡的理由。

生：比較喜歡100+x＞200，因為空杯子在上一幅圖中已經告知是100 克，這樣用100+x＞200 來表示就可以把兩幅圖聯系起來。

師：左邊這幅圖我們已經用式子合理地表示出來了，請同學們再接再厲，把右邊這幅圖也用一個算式表示。

生：100+x＜300。

師：同意這位同學這樣表示的請舉手。

師：結合這兩幅圖，你有什么發現？

生：通過這兩幅圖，我們也可以判斷出水的質量在100 克到200 克之間。

師：如上圖，現在把其中一個100 克的砝碼替換成一個50 克的砝碼，誰也能用一個式子表示？

生：100+x=250。

師：請看下面這幅圖，能用一個算式表示出來嗎？

生：2a=2.5。

師：這個式子可以嗎？

生：不可以，如果貓的質量和球的質量不相等，就不正確了。

生：a+b=2.5。

師：你用了兩個字母表示，這里的a 表示什么？b 表示什么？

生：a 表示貓的質量，b 表示球的質量。

師：你們覺得這樣表示合理嗎？

生：合理。

（2）分類歸納。

師：黑板上的5 個式子，老師編上序號。

①50+80=20+40+70

②100+x＞200

③100+x＜300

④100+x=250

⑤a+b=2.5

觀察上面的式子，將以上的五個式子分成兩類。

請你按同一個標準把它們分成兩大類，填寫在《學習單》上。

師：下面請同學們匯報一下按什么標準分成兩大類？

生1：①④⑤一類，②③一類。

師：說一說你這樣分類的標準是什么？

生：①④⑤是有等號的，②③是沒有等號的。

師：在數學上我們把左右相等的式子叫做等式，左右不相等的式子叫做不等式。

師：和他分法一樣的請舉手，還有沒有其他同學采用不同的分類標準？

生：①一類，②③④⑤一類。

師：很好，說說你的分類標準又是什么？

生：①的式子中沒有字母，②③④⑤的式子中都有字母。

師：字母表示的是未知數，也就是說①的式子中沒有未知數，而②③④⑤的式子中都含有未知數。

師：在數學上，我們把含有未知數的等式叫做方程，請你判斷一下上面哪些式子屬于方程。

生：④和⑤，因為它們既含有未知數，又是等式，所以是方程。

3.鞏固練習，遷移運用。

（1）創造方程。

師：請同學們在練習紙上創造出3 個方程。

（2）判斷方程。

①8÷x=7.5

②8x=7.5

③7.5-2x=3y

師：老師這里也有3 個式子，請同學們判斷一下是否屬于方程？

生：③不是方程。

師：說說你的理由。

生：7.5 后面沒有x，不能減。

師：同意他的想法嗎？

師：這個式子有沒有含未知數？是不是等式？

師：除了含有未知數x，還含有未知數y，有兩個未知數可不可以？只要含有未知數并且是等式，滿足這兩個條件的都是方程。

（3）感悟價值。

呈現題目：一個足球的白色皮有20 塊，比黑色皮的2 倍少4塊，黑色皮有多少塊？

師：請你列出算式。

生1：20÷2-4=6（塊）。

生2：20×2-4=36（塊）。

生3：x×2+4=20。

師：同學們列出不同的算式，我們一一來進行分析。

師：這個x 在這里表示什么意思？

生：表示黑色皮的數量。

師：對這個算式有沒有不同意見？

生：應該是x×2-4=20。

師：結合題目中“黑色皮的2倍少4 塊”，假設黑色皮為x 塊時，相應的方程是x×2-4=20。

師：遇到比較復雜的解決問題，我們可以用線段圖來幫忙。根據題目的意思，老師畫了一幅線段圖。

師：結合線段圖，你可以堅持原來的算式，也可以更改算式。

師：根據線段圖，算式怎么更改？

生1：20÷2+4=14（塊）。

生2：（20+4）÷2=12（塊）。

師：究竟哪個算式正確？我們請這兩位同學來說一說。

生2：白色皮的塊數再加上4塊，正好是黑色皮塊數的2 倍，除以2 就是黑色皮的塊數，所以算式是（20+4）÷2=12（塊）。

師：聽明白他的意思了嗎？顯然（20+4）÷2=12（塊）是正確的。

師：解決問題時分析數量關系很重要，那聯系題目后你覺得這道題的數量關系式是什么？

生：黑色皮塊數×2-4 塊=白色皮塊數。

師：那黑色皮的塊數是未知的，可以用字母表示為b，b×2-4=20。

師：請同學們進行思考，剛才這道題用算術方法解答時錯的同學很多，你知道這是什么原因？

生：比黑色皮的2 倍少4 塊，在列算式時少4 塊不是“減4”，反而要“加4”，這樣才符合題目的意思。

師：那用今天學會的方程來解答，又有什么特點？

生：設黑色皮的塊數是b，根據題目的意思，只要列出b×2-4=20，算式很順。

師：像這樣的題目，我們設未知數為b 或者x，意思就十分順暢。隨著我們進一步學習解方程，以后就能解答出b 是多少塊。

（4）文化滲透。

師：說到方程，還有一段數學史：

早在三千多年前，埃及人就會用方程解決數學問題了。在我國古代，大約兩千年前成書的《九章算術》中就記載了用一組方程解決實際問題的史料。法國數學家笛卡爾第一個提倡用字母表中后幾個字母x、y、z 代表未知數，這種用法成為當今的標準用法，形成了現在的方程。

4.激勵評價，總結回顧。

師：同學們，今天我們首先通過觀察，列出5 個式子，再把5 個式子進行分類，然后進行總結，最后慢慢體會方程的優越性，像這樣通過“觀察——分類——總結——體會”來解決問題，是一種很重要的學習方式，希望同學們能夠舉一反三、觸類旁通。

師：同學們，今天這節課主要學習了方程，那你是否思考過為什么要學習方程？

生：它更加簡單、簡便。

生：解決問題可以用多種方法解答。

師：學了今天這節課，你有什么收獲？又有什么問題？

二、教學思考

1.讓分類的思想散發光芒。

縱觀教材，對“方程”概念的揭示采用的是“找相同點”，然后歸納出“像……這樣，含有未知數的等式就是方程”。這樣的提煉概念對于學生來說缺乏相應的深刻性和主動性。如何使學生進入深度思考，建立高階思維？分類就是一種很好的思想方法和學習方法。分類這種思想方法在小學階段有著廣泛的運用，需要教師適時滲透和引入。如方程的意義教學，方程的本質特征一是含有未知數，二是等式。這兩個本質特征，借助分類的思想加以分辨，緊扣學生的認知經驗和認知基礎，貼近學生的思維發展區，能夠完美地達成教學目標。同時，也習得了一種良好的學習方法，為學生的持續性發展奠定基礎，埋下伏筆。

2.讓方程的價值受益終生。

當學生能用算術方法來解答時，一般不太喜歡用方程來解答。究其原因，一方面是先入為主的心理反應，學生在一至四年級的數學學習中，對算術方法解決問題已經根深蒂固，形成了思維定勢。另一方面，方程解答格式程序化、過程復雜化，學生覺得用方程解答太繁瑣、不簡便。筆者在學習材料的選擇時作了精心挑選，呈現了如下的題目：一個足球的白色皮有20 塊，比黑色皮的2 倍少4 塊，黑色皮有多少塊？讓學生用以前的算術方法來解答，借助常用的工具——線段圖分析后，判定大部分學生用算術方法解答容易出錯，正確率低。為什么會出現如此狀況，原因就在于黑色皮的2 倍比20 塊多4塊這句話的理解，也就是說不能憑借題目中的“少4 塊”就可以確定“減4 塊”，而是需要用“逆向思維”分析才能確定數量關系式，最后列出相應的算式。但今天學習方程的意義，其中一個重要的教學目標就是體會、感悟方程的優越性。當師生得出此題的數量關系式：黑色皮數量×2-4 塊=白色皮20 塊時，只要把黑色皮的數量設為未知數x，方程x×2-4=20 就呼之欲出，教學的難點就迎刃而解。算術方法（20+4）÷2 的逆向思考和x×2-4=20 的順向思考，對比之后就十分鮮明。因此，教師不應該用說教的方式簡單處理，而要創設認知沖突，形成認知需求，從而使學生自覺地運用方程來解決問題，欣賞方程思想所帶來的理解上的便捷。