整合與拓展：使習題更有生長力

文|何月豐

2020年11月19日，周四

今天教學了《梯形的認識》一課。中午和學生一起討論了人教版四年級上冊“練習十一”中的幾道習題。當討論到圖1 這道習題時，以往教學的情境就自然地浮現在腦海中，這讓我意識到：這道習題要好好對待。

圖1

師：同學們，第（1）小題你們會分嗎？我們就用畫直線的方式來表示自己的剪法，試一試吧！

（在黑板上畫兩個平行四邊形）

師：誰來展示？

我拿出三角板，示意大家只要把三角板放到黑板上表示自己的想法就可以了。此時舉手的學生很多，于是我請了一位學生來演示。在這位學生把三角板在黑板上放好以后，我畫出了直線。（如圖2）

圖2

師：我們來看一下，這樣剪是兩個梯形嗎？

生：（齊）是的。

此時分出的兩個梯形直觀看大小一樣，但學生的行為并沒有從“一樣”的角度思考，只是拿著尺子“豎著”一放。

師：你們都分對了嗎？

生：我還有不一樣的分法。

又看了兩幅學生作品，只是剪的位置不同，但都是“豎著”的。

師：我知道你們還有很多不一樣的剪法。不過老師在想，你們能不能分出兩個一樣的梯形？

生：（都信心十足的樣子）能！

師：好，那就開始吧！

教過這個內容的教師對我這樣的改變一定不陌生，因為這是這道習題經常會有的一種變式。

師：誰先來把你的方法展示給大家？

同樣請一位學生到黑板上用三角板在另一個平行四邊形中擺出自己分的方法，我畫出直線。（如圖3）

圖3

師：憑什么說這兩個梯形是一樣的呢？你這樣分是怎么想的？

生：我的想法是讓這一段和這一段一樣長。

根據這位學生的想法，我在圖上用大括號表示出他所說的一樣長的兩段。（如圖4）

圖4

師：這兩段一樣長就能說明這兩個梯形一樣，為什么呀？

生：因為這兩段一樣長了，那么這兩段也就一樣長了。這樣這兩個梯形的上底和下底就一樣了。

我隨著這位學生的解讀，進一步在圖上標注，（如圖5）然后與大家一起理解：平行四邊形的對邊相等，現在都去掉同樣長的一段，那么剩下的也是一樣長的，這樣兩個梯形的上底和下底就一樣了，高也一樣，這兩個梯形就一樣了。

圖5

師：看來，這樣分確實可以得到兩個一樣的梯形。還有不一樣的分法嗎？

此時舉手的學生當然還有很多。其中一些學生是本來就有不一樣的想法，另一些學生則是通過剛才的解釋產生了新想法。于是我又請了一位學生上來擺一擺三角板并進行解釋。

師：看了你們的方法我在想，這把三角板是不是可以繼續旋轉？

我將三角板放在第二位學生放的位置上，然后逆時針旋轉一點點。（如圖6）

圖6

師：這樣分出的兩個梯形一樣嗎？

生：（齊）一樣！

此時就不用再講道理了，我繼續旋轉，繼續問，如此重復幾次。

師：能一直旋轉過去嗎？

生：（齊）能。

我略停頓了一會兒，有幾位學生開始喊：不能不能！

師：為什么不能？

生：旋轉到角上就不行了，這樣不是梯形，是三角形。

現在學生都反應過來了，紛紛表示到角上不可以。我則繼續旋轉三角板到角上。（如圖7）

圖7

學生七嘴八舌說開了：不行不行，是三角形了。

師：看來真不行！那我現在往回旋轉。

于是我將三角板開始順時針旋轉，一邊旋轉一邊問“是不是兩個一樣的梯形”。等旋轉到直角梯形過一點點之后，我停下了。

師：這樣旋轉過去一直行嗎？生：到角上還是不行的。

根據這位學生的想法，我直接將三角板移動到另一條對角線上驗證。

師：看來確實到這里就不行了，又變成兩個三角形了。那么，在旋轉到這個角上之前一直行嗎？

我一邊說一邊晃動三角板。大部分學生還是在喊“行的”，不過也有一些學生開始意識到其中的問題。靜靜地觀察，那些意識到有問題的學生開始舉手了。

生：旋轉到和左右兩條邊平行的時候就不行了。

師：什么意思？他說有一個時候會不行，大家自己在數學書上擺一擺。

在操作過程中，越來越多的學生發現還有不行的時候。請學生到黑板上操作，我畫出直線。（如圖8）

圖8

師：你們為什么認為這樣就不行了呢？

生：因為這個時候是兩個平行四邊形，不是梯形。

師：果然不行。這樣一來老師想到一個問題，如果我旋轉一周，一共會有幾個位置不行呢？

生：（齊）3 個。

于是我將這3 個位置都畫出來如圖9。

圖9

當我畫完之后，已經可以聽到一些不同的聲音了：不對，應該是4 個位置！

師：什么？有4 個位置，還有一個位置在哪里呀？

學生靜靜觀察、想象，舉手的學生開始多起來了。（此時不安排操作，而是借助想象）

師：第4 個不行的位置在哪里？誰能擺出這個位置？

請一位學生到黑板上操作，她的三角板所擺的位置如圖10。

圖10

這位學生一擺出這個位置，沒有舉手的學生便恍然大悟：對哦！這樣也分出兩個平行四邊形了。

我隨著這位學生的擺法和大家的聲音畫出這條直線，標注第4個位置。（如圖11）

圖11

師：這4 個位置是不行的，另外的位置都行。現在你們認為，要分成兩個一樣的梯形，一共有幾種方法？

生：（異口同聲）無數種。

【日志解讀】

回顧整個習題教學過程，在深化學生對梯形認識的同時，較好地實現了鍛煉學生思維的目的。從要求學生“分出兩個一樣的梯形”開始，學生的學習就逐步進入了思維鍛煉區。首先，面對“分出兩個一樣的梯形”這一要求時，雖然學生都表現出信心十足的樣子，但完成這個任務確實不易（學生需要找到實現兩個梯形上底和下底相等的方式，而且兩個梯形的方向還是顛倒的）。在這個過程中學生必然要經歷較為深入的思考，由此就產生了比較深刻的思維活動，進而實現了鍛煉思維的目的。其次，在“旋轉三角板”這個環節，學生需要經歷觀察、想象、對比等思維活動，由此才能發現三角板旋轉過程中會出現分出兩個三角形和兩個平行四邊形的情況，這對學生空間觀念的要求是比較高的，思維鍛煉的目的再次實現。最后，在已經可以直觀看到有三個位置不能分出兩個一樣的梯形時，進一步思考“一共有幾個位置不行”，從而發現還有一種不成功的情況，則是對學生思維的再一次鍛煉。

以上便是我對這則教學日志中蘊含的教學意義的理解，主要體現在對學生的思維鍛煉上。但其實，這個教學意義并不是我一開始就預設的。這道習題之所以這么教，起初只是基于自己以往教學經歷的“就題論題”，即只想把這道習題教好。但在教學過程中我慢慢發現，這樣教，學生的思考深入了，思維活躍了。這引起了我的反思：其中是否有法可循？于是，我細細地梳理和記錄教學的過程，并從中找到了一點方法：整合與拓展。

先看整合。在前文敘述中已經提及，這道習題這么教主要是基于以往的教學經歷。這是指我知道學生在后續的練習中極有可能還會遇到要求將一個平行四邊形分成兩個一樣的梯形的習題。那么，何不在此時就將教材上的這道習題與學生后續可能還會遇到的類似習題整合在一起呢？特別是，教材上的原題過于簡單，而“分成兩個一樣的梯形”則一下子提升了其思考的力度，兩者主題一致，實現遞進。因此，這樣的整合就極大地增強了這道習題的思維鍛煉價值，使習題更有生長力。

再看拓展。這道習題不管是“分出兩個梯形”還是“分出兩個一樣的梯形”，教學中必然會牽涉分出兩個三角形和兩個平行四邊形的情況，但教學最終的落腳點更多還是在如何分成功的方法上，對于不成功的方法則是點到即止，即這道習題的教學目標是使學生學會正確分的方法。對此，我在教學中不僅將不成功的情況開展“大張旗鼓”的教學，還向前走了一步———思考“一共有幾個位置不行”，這在我以往的教學中是不曾出現過的，我也不曾在一些相關的習題中見到過這樣的要求。因此，向前又邁出的這一步，不管是對我還是對這道習題而言，都具有拓展性。當然，更重要的是，拓展的一步再次增強了這道習題的思維鍛煉價值，使習題更有生長力。

由此可見，對習題的整合與拓展才是上述習題教學中實現對學生進行思維鍛煉的關鍵。那么，整合與拓展能否成為在習題教學中鍛煉學生思維的常規手段呢？這當然是可行的。比如上面教學日志中所講的“練習十一”第6 題的第（2）小題：在梯形紙上剪一刀，使剪下的圖形中有一個是平行四邊形。有一定教學經驗的教師很快就能想到與此題相關的習題，如：在梯形紙上剪一刀，剪下的兩個圖形可能會是什么圖形？如此，便可將兩者進行整合。在教學過程中，進一步可以拓展認識到“在梯形紙上剪一刀，剪下的兩個圖形不可能是兩個平行四邊形”。

仔細一想，像這樣同一主題下具有一定關聯的習題，在我們的日常教學中是非常多見的。備課時，面對一道習題，經常性地想一想與此題相關聯或相似的習題有哪些、這些習題可否整合、還能不能進一步拓展，常常能讓習題更具生長力，更能鍛煉學生的思維。

通過上述分析不難發現，整合與拓展其實是內在的兩個抓手，而其在習題上和教學上的外在表現形式，則是變式教學。

變式教學，是中國數學“雙基教學”的四大理論特征之一，“變式練習”更是已經成為了數學教育的“中國經驗”之一。具體做法有很多，比如針對同一類數學問題，可以變換條件、變換問題、變換內容、變換形式、變換位置、變換敘述方式、變換解題思路等等。這樣的變換在我們平時的習題教學中已經普遍存在，教師經常使用。比如在上面的教學日志中，基于整合與拓展，我采取了“變換問題”的方式開展變式教學，即將“分出兩個梯形”變換成“分出兩個一樣的梯形”，進一步變換成“三角板能一直旋轉過去嗎”和“一共有幾個位置不行”。

由此可見，有效開展變式教學，需要有一定的前期準備，整合與拓展無疑是一種比較好的準備方式。特別是，基于整合與拓展的變式教學，不僅僅是為了避免機械重復，即實現“在變化中進行重復，在重復中獲取變化”，更是想讓習題具有更強的生長力，追求“在變化中加深理解，在理解中鍛煉思維”的高階目標。