解構 建構 重構
——《角的度量》教學與評析

執教|曹志國 評析|劉曉萍

《角的度量》這節課，教學內容并不復雜，如果教師站在測量教學的整體角度展開思考與設計，就可以把一節平常的概念教學課變成一節具有深度思維的探究課，教師用一環扣一環的精密設計展示學生思維的絢爛，讓學生經歷一場關于量角器的“解構、建構與重構”的智慧之旅。

【教學過程】

一、解構——在問題驅動中探尋本真樣態

1.情境引入，引發需求。

師：同學們，蘇州水上樂園是大家非常喜歡的地方。這是樂園里的滑滑梯（課件出示，圖略），你們認為玩哪一個滑梯，下滑得速度更快呢？為什么？

生：左邊的下滑的速度更快，因為它更陡。

師：你能用數學的語言再來說一說嗎？

生：左邊的角比右邊的角度數更大。

師：左邊的角比右邊的角大多少呢？如何精確地表達呢？同學們想一想，在以前的學習中，我們是如何精確地表示課桌的長度和課桌的面積的？

生1：為了精確地表示課桌的長度，我們學習了長度的度量單位“厘米”，然后再看課桌的長邊包含多少個1 厘米。

生2：為了精確地表示課桌的面積，我們又學習了面積的度量單位“平方厘米”和“平方分米”，然后再看課桌的面包含多少個面積單位。

師：是的，那么角的度量單位又是什么？這個角中又包含多少個度量單位？我們今天一起來探究“角的度量”。

2.規定標準，精確刻畫。

師：（課件出示半圓形）這是個半圓，我們將它平均分成18 份，再把其中的一份平均分成10 小份，每一小份所對的角，就是1 度的角?！岸取笔墙堑挠嬃繂挝唬? 度角記作“1°”。

（學生觀察1°角，在作業紙半圓圖上畫出1°的角，并說說感受）

（課件出示2°、5°、10°的角，學生先估一估每個角分別包含幾個1°，是多少度；之后再課件演示驗證）

（課件出示20°、100°、180°的角，學生再說說分別包含多少個1°，是多少度）

師：一個角的度數是多少，就是看什么？

生：就是看這個角中包含多少個1°的角。

師：在圖上，你能找出多少個1°的角，這些角有什么共同的特點？

生：圖上有180 個1°的角，這些角大小相等，角的頂點都在同一個點上。

3.異中求同，凸顯本質。

課件依次出示30°、90°、150°的角，其中90°的角有三個：分別為0°～90°、60°～150°、80°～170°。

師：你能說出這些角的度數嗎？你是一度一度地去數的嗎？又是怎么看出來的？

生1：第一個角是30°，因為角的一條邊指向刻度20，另一條邊指向刻度50，50-20=30，也就是這個角中包含了30 個1°的角。

生2：第二個角是90°，因為角的一條邊指向刻度0，另一條邊指向刻度90，說明有90 個1°的角，這個角是90°。

生3：第三個角一條邊指向刻度60，另一條邊指向刻度150，說明也有90 個1°的角，這個角也是90°。

生4：第四個角一條邊指向刻度80，另一條邊指向刻度170，這個角還是90°。

師：這三個角有什么不同點，又有什么相同點？

生1：這三個角的開口方向不同，角的兩條邊所在的位置也不一樣。

生2：但是，這三個角的度數是相同的，都包含了90 個1°的角。

課件出示150°的角，指名學生讀出角的度數。

師：30°、90°、150°這三個角，哪個最大？哪個最小？

生：150°的角最大，30°的角最小。

師：是的，一個角包含的度量單位越多，它的度數就越大；包含的度量單位越少，它的度數就越小。

4.逐步演變，生成工具。

師：圖上有180 個1°的角，這幅圖給你的感覺怎樣？

生：密密麻麻，比較模糊，看不清楚了。

師：是的，如果把每一個1°的角的兩條邊都畫出來，圖上就會密密麻麻，反而看不清楚了?，F在，我們只在圓周上留下一些刻度線。

課件演示，逐漸形成單圈刻度量角器。

師：同學們，這就是角的度量工具——量角器。量角器上所有角的頂點叫做量角器的中心，0°所在的線叫做量角器的0 刻度線。

二、建構——在多元度量中探析本質內涵

1.多元找角，抵達本質。

（1）看一看。

師：在這個量角器上，你看到了什么？

生1：我看到了量角器的中心，量角器的0 刻度線。

生2：我看到了在量角器的周邊上有一圈刻度，從右邊開始依次是0°、10°、20°……一直到最左邊是180°。

師：我們還需要有一雙善于“透視”的眼睛，能夠發現量角器上很多的“隱藏”的邊和隱藏的角。

學生互相說一說自己在量角器上看到了什么，并組織全班交流。

（2）畫一畫。

師：你能在老師給你的紙質量角器上找出一個70°的角，并把它畫出來嗎？

學生在紙質量角器上畫角，全班交流，展示學生不同的畫法。

師：這些畫法有什么不同點和相同點？

生：角的位置不同，開口方向不同，兩條邊所在的刻度線不同。畫出的所有角都是70°，它們都包含了70 個1°的角。

師：三種方法哪一種一眼就能看出畫出的是70°角？

生：方法1，角的一條邊和量角器的0 刻度線重合，只要看角的另一條邊指向的刻度就可以知道答案，更加快捷方便。如果用方法2 和方法3，還需要再進行計算，顯得比較麻煩。

2.觀察比較，再生工具。

師：為了使用方便的需要，量角器也在不斷地變化。

課件呈現，在原來單圈刻度量角器的外面再增加一圈刻度，形成雙圈刻度的量角器。

師：現在的這一圈刻度與剛才的一圈刻度有什么相同和不同的地方？

生：相同點是兩圈刻度都是從0°到180°；不同點是刻度的方向是相反的，里面的一圈是從右到左依次為0°到180°，而外面的一圈是從左到右依次為0°到180°。

學生之間互相說一說、指一指，介紹自己手中的量角器，再全班交流。

教師強調左右0 刻度線分別與外圈和內圈的對應關系，以及這個雙圈量角器上也同樣存在很多被隱藏的線和角。

3.多元度量，方法優化。

師：同學們猜想一下，可能是什么原因讓我們又發明了有兩圈刻度的量角器？

教師通過具體的例子，引導學生評析一圈刻度量角器在度量時的相對不便，兩圈刻度量角器在度量時的相對便捷性。

逐步出示四個角，學生分別讀出每一個角的度數。

師：上面的四個角在度量的時候，你分別看的是內圈還是外圈？你有什么發現？

生：如果角的一條邊對著的0 刻度線在左邊，就看外圈；如果角的一條邊對著的0 刻度線在右邊，就看內圈，這樣能一下子就看出答案。

師：第四個角，如果老師一定要看外圈的刻度，可以嗎？方便嗎？

生：看外圈也是可以的，用180-135=45，不過這樣需要計算，不太方便。

4.鞏固練習，靈活運用。

課件出示：70°、110°、35°三個角，開口方向不同，學生量出它們的度數。

學生動手操作，指名上講臺演示，全班交流。

師：此時，我們可以精確地刻畫課前問題中左邊的角比右邊的角大的度數了。

三、重構——在多維聯接中探求本源結構

1.熟悉與陌生的融通。

談話：同學們有沒有想過，量角器是一個半圓，如果把兩個量角器拼起來呢？

師：（課件出示）現在的量角器中，包含了多少個1°的角呢？

生：360 個1°的角。

課件出示一個角，一條邊指向290°，另一條邊指向350°。

師：你知道這個角的度數嗎？

生：這個角是60°，因為350-290=60，這個角里面包含了60 個1°的角。

師：一圈刻度的、兩圈刻度的和圓形的量角器，它們形狀雖然有些不一樣，但是在度量角的時候有什么一樣的地方？

2.過去與現在的聯接。

師：同學們，為了精確地刻畫這個世界，我們進行長度的度量、角的度量，你能找出它們都有什么相同點嗎？

生：都需要先確定度量的單位。

3.已知到未知的呼喚。

師：我們已經學習了長度、面積、角度的度量，都是要先確定度量單位，再看被度量的物體中包含了多少了度量單位。在以后，我們將學習物體的體積，猜測一下，你覺得我們又該如何去研究體積的度量呢？

【評析與思考】

本課研究的測量對象為角，教師堅持“學為中心”的理念，站在圖形測量的知識體系中精心設計環節，環環相扣，在觀察、操作、交流等體驗性活動中幫助學生建立1°角大小的表象，通過建構、想象、推理等一系列“高階”思維活動，師生共同再造了量角工具，發展了學生的空間觀念，提升了學生的測量素養。

一、基于數學現實，引發測量需求

每個學生都有自己個體性的“數學現實”，這種“數學現實”即為學生學習中的前概念。生活中，滑滑梯的“陡”與“緩”是十分常見的，學生對其有了一定的感知，這也是滑得快與慢的直接原因，這些構成了學生的“數學現實”。

在教學實踐中，教師正是基于這樣的對學生的認識，單刀直入地提出了問題：“你能從數學的角度分析一下兩個滑滑梯滑得快與慢的原因嗎？”這一問題的提出，無疑是具有挑戰性的，對學生的思維是有撞擊的，通過對這個問題的思考，可以讓學生迅速聯想到其中角的大小不同是導致“兩個滑滑梯滑得快與慢的主要原因”，從而產生了比較大小的需求。接著，教師追問：“左邊的角比右邊的角大多少呢？如何精確地表達呢？”“以前的學習中，我們是如何精確地表示課桌的長度和課桌的面積的？”這樣的知識經驗的正遷移，不僅有助于學生梳理研究問題的脈絡，更是一種學習方式上的思考，就是用舊知解決新問題，完善知識結構的同時，更是研究問題意識的全面激活，引發了學生用數學的語言、數學的符號去精準表達角的大小的學習欲望，進而體會建立統一度量單位的重要性。。

二、多維構建表象，理解測量本質

在實踐活動中，教師引導學生從觀察1°角的大小開始，逐步走向對若干個1°角所組成的2°、5°、10°角的觀察與估測，進而探究20°、100°、180°角的實際意義，在表征“每個角分別包含多少個1°、是多少度”的活動中，逐步感悟“一個角的度數是多少，就是看這個角中包含多少個1°的角”的測量本質。在這三個環節中，教師圍繞“多少個1°、是多少度”這個核心問題，引導學生對角的度量單位進行了深度探索，使學生理解與把握了度量單位的實際意義，體悟了測量結果的數學意義。

學生空間觀念的發展需要多種表象的支撐。教學中，教師組織學生在看一看、估一估、量一量、比一比等活動中，重點對1°、10°、30°、90°等展開了學習活動，引導學生在建立對這些特殊角的良好表象基礎上，更好、更靈活地開展測量活動。

對第二學段的學生來說，思維的發展已經達到了一定的層次，只是單純地直觀操作已經無法滿足他們學習的需求，更高階的思維需要加以滲透。在指向測量本質的學習探索中，估測、想象、歸納、對比、直觀思考以及分析和推理等思維活動得到了充分體現。對比一：三個分別為0°～90°、60°～150°、80°～170°的90°角的對比活動，學生發現：雖然這三個角的開口方向不同，角的兩條邊所在的位置也不一樣，但是，這三個角的度數是相同的，都包含了90 個1°的角，都是90°的角。對比二：學生對30°、90°、150°這三個角進行比大小中，進一步感悟了“一個角包含的度量單位越多，它的度數就越大；包含的度量單位越少，它的度數就越小”的數學道理。對比三：在畫指定70°角的活動中，教師展示三種不同結果，繼續以“這些畫法有什么不同點和相同點”為核心問題啟發學生進行深入思考：角的位置不同，開口方向不同，兩條邊所在的刻度線不同，但它們都包含了70 個1°的角，進而推理得出“畫出的所有角都是70°”的結論。三次對比活動直抵角的度量本質，學生空間觀念得到充分發展的同時，量角器這一度量角的工具也得到了自然建構。

三、溝通深化結構，提升測量素養

深度的數學學習需要從知識的碎片化向結構化轉化。所謂的知識結構化就是把所學的知識要素按其相互作用、相互聯系的方式和秩序組合起來,使知識由繁雜變成簡化概括,使學生對知識的體系和結構產生形象化的感覺和認識。本節課中，教師將角的度量內容放在圖形與幾何領域計量單位知識體系中進行整體架構，導入時，“左邊的角比右邊的角大多少呢？如何精確地表達呢？同學們想一想，以前我們是如何精確地表示課桌的長度和課桌的面積的？”這一問題，喚醒了學生圖形測量的相關經驗，建立統一度量單位的需求呼之欲出，而這樣的經驗將影響著學生對本課角的度量單位探索、解決相關問題的學習。

臨近課尾，教師獨具匠心設計了三個活動，引領學生多維拓展、整體思考。活動一：“熟悉與陌生的融通”環節，看似教師隨意一問：“一圈刻度的、兩圈刻度的和圓形的量角器，它們形狀雖然有些不一樣，但是在度量角的時候有什么一樣的地方？”在拓展與延伸中，又把學生的思維從遠處回歸到角的度量的本質：不論用哪個量角器，都是要看被量角中包含了多少個度量單位。活動二：“過去與現在的聯接”環節，教師再次引發學生展開對比：“長度的度量、角的度量，它們有什么相同點嗎？”在異中求同中再次奏響度量主旋律，即都是要先確定度量單位，再看被度量的物體中包含了多少個度量單位?；顒尤骸耙阎轿粗暮魡尽杯h節，教師再次拋出問題：“以后，我們將學習物體的體積，猜測一下，你覺得我們又該如何去研究體積的度量呢？”引發學生繼續從度量的意義、度量的方法等去展開求索，這是一個引領學生從“學會”走向“會學”的好問題。