一類擬線性雙曲型方程Cauchy 問題經典解的整體存在性

周苗苗，聶大勇

（1.華北水利水電大學 數學與統計學院，河南 鄭州 450046；2.黃河水利職業技術學院，河南 開封 475004）

0 引言

其中，特征λ（u）=um；非齊次項f（t，x，u）=-un＋1；m，n 是非負整數；初始條件?（x）∈C1，且C1模有界。

1 兩類特殊情形

1.1 低階耗散情形

當n=0 時，式（1）可變為式（2）。

其中，m≥1，?（x）∈C1，且C1模有界。

定理1 假設初始數據?（x）的C1模充分小，則Cauchy 問題（2）在上半平面t≥0 上存在唯一的整體經典解［6］。

對上半平面t≥0 上任意點（t，x），向下做特征線x 軸于（0，α），它滿足式（3）所示的條件。沿特征線x=x（t，α），存在式（4）。 由此即得式（5）和式（6）。

對式（2）的第一式沿特征線關于x 求導，得到式（7）。 由于ux（0，x）=?′（x），求解得式（8）。

1.2 線性退化情形m=0

具線性退化特征（λ′（u）=0）的擬線性雙曲型方程的Cauchy 問題為式（9）。

其中，n＞0，?（x）∈C1，且C1模有界。

引理1 對Cauchy 問題（9），經典解u（t，x）在上半平面t≥0 上保持一致有界的充分必要條件是假設?n（x）≥0，?x∈R。

對式（9）的第一式兩端沿特征線關于x 求導，得式（11）。

注意到ux（0，x）=?′（x），得式（12）。

由式（10）和式（12），可得定理3。

2 一般情形

一般情形即考慮m＞0，n＞0 的情形。

設過點（0，α）的特征線為x=x（t，α），同理可以得到式（14）和式（15）。

引理2 Cauchy 問題（1）經典解u（t，x）的C0模在上半平面t≥0 上保持一致有界的充分必要條件是?n（α）≥0，?x∈R。

定理4 在假設?n（α）≥0，?x∈R 的條件下，有如下結論：

（1） 當m＞n 時， 如果初始條件的C1模充分?。▽嶋H上只要?′（x） 的C1模充分小即可）， 那么Cauchy 問題（1）在上半平面t≥0 上存在唯一的整體經典解。

當m＞n 時，如果(?m-n（x)） ′≥0，?x∈R，顯然也有A（t，α）＞0，因此，在上述條件下，Cauchy 問題（1）在上半平面上也存在整體經典解。

3 結語

本文主要研究了一類擬線性雙曲型方程中的非線性特征與非齊次項對Cauchy 問題經典解整體存在性的一些影響，得到了在低階耗散情形、線性退化情形和一般情形下保證經典解整體存在的充分必要條件，擴充了擬線性雙曲型方程Cauchy 問題經典解存在性的相關研究內容，也為流體力學、工程技術和生命科學等領域研究相關模型解的大時間性態提供了理論基礎。