曲線軌道鋼軌橫向振動頻域響應特性研究

杜林林，劉維寧，劉衛豐，馬龍祥

(1.北京起重運輸機械設計研究院有限公司， 北京 100007；2.清華大學 土木工程系， 北京 100084；3.北京交通大學 土木建筑工程學院， 北京 100044；4.西南交通大學 土木工程學院，四川 成都 610031)

受城市既有布局的約束，同時兼顧客流分布的需求，城市軌道交通線路設計中往往設置大量的曲線軌道[1-3]。以北京地鐵為例，據不完全統計，不同線路曲線軌道占線路總長度的30%～50%。列車通過曲線軌道時產生的諸多問題一直是行業關注的焦點，如曲線軌道處的鋼軌波磨[4]。特別是，列車通過曲線軌道時引起的環境振動影響中，水平向振動強度大于鉛垂向振動強度的特殊現象[2]，現階段對其機理分析仍然很不充分。

地鐵列車運行于曲線軌道上時，通過設置曲線超高平衡列車離心力作用。曲線超高設置后即為固定設施，而列車實際運行速度，根據線路運營管理的需求，往往或大于或小于設計速度，造成曲線超高設置與實際行車速度不相適應的情況。此時，在未被平衡的離心力或向心力作用下，列車通過曲線軌道時車輛-軌道間將產生較為復雜的法向及蠕滑(包括橫向、縱向、旋轉)輪-軌相互作用，由此將產生較強的軌道橫向振動，對地表橫向振動產生影響[5]。為了研究列車通過曲線軌道時引起的地表橫向振動響應特性，應首先明確曲線軌道的橫向動力響應特性。由于頻響函數能夠有效反映曲線軌道結構的振動特性，本文將通過分析頻響函數研究曲線軌道橫向振動頻域響應特性。

對軌道結構動力響應特性的研究方法主要分為試驗測試法、理論模型分析法，其中理論模型分析法以其獨特的優勢被廣泛采用。針對曲線軌道動力學理論分析模型的研究，以往多采用直線梁模型模擬鋼軌的垂向、橫向彎曲振動以及扭轉振動。如王開云[6]采用直線Euler-Bernoulli梁(以下簡稱Euler梁)模擬曲線軌道鋼軌，建立三層離散點支承曲線軌道模型，對曲線軌道輪軌性能匹配問題開展了研究；Zhou等[7]采用直線Timoshenko梁模擬鋼軌，建立了三層離散點支承曲線軌道模型，研究了扣件失效情況下列車通過曲線段時的動力性能；Martínez-Casas等[8]視曲線軌道為圓形軌道結構的一部分，將圓形軌道視為周期性結構，采用直線Timoshenko梁模擬鋼軌，研究了不同軌道波磨條件下的輪-軌相互作用力。但以上研究均忽略了曲率半徑對曲線軌道動力響應特性的影響。

隨著軌道動力學的發展，針對曲率半徑對軌道結構動力響應的影響問題，部分學者開展了研究。

筆者曾通過考慮曲率半徑的影響，建立了離散點支承的曲線軌道力學模型，但該模型僅針對平面外振動響應進行了分析，未研究平面內橫向振動響應[9]。針對曲線梁橫向振動的研究，Culver等[10]采用Rayleigh-Ritz法并結合Lagrange算子法，得到了兩跨曲梁的橫向振動頻率響應；Chen[11]根據相鄰跨之間的彎矩關系，結合邊界條件，研究了離散周期支承曲線梁的平面內自振頻率特性；Yang等[12]通過模態疊加法研究了離心力作用下簡支曲線Euler梁的平面內振動響應，計算中僅取了梁的一階模態。以上學者主要研究了曲線梁的動力響應。關于曲線軌道橫向振動特性的研究，Kostovasilis等[13]采用曲線Timoshenko梁模擬鋼軌，建立可以考慮垂向/橫向相互作用的連續支承曲線軌道動力解析模型，得到了曲線軌道垂向/橫向耦合對軌道動力響應的影響；Dai等[14-15]采用曲線Euler梁模擬鋼軌，采用三角函數法擬合曲線梁的變形，得到了連續支承曲線Euler梁穩態動力響應。以上研究中均忽略了離散支承對曲線軌道動力響應的影響。

總之，以往針對曲線梁橫向振動的研究多集中在簡支曲梁，而關于曲線軌道橫向振動響應特性的研究忽略了離散支承或曲率半徑的影響。因此，有必要建立考慮離散支承及曲率半徑影響的曲線軌道平面內振動解析模型，并對其橫向動力響應特性進行研究。

為了得到曲線軌道橫向振動頻率響應特性，本文將建立一個考慮離散支承以及曲率半徑影響的曲線軌道平面內振動力學模型。將該模型映射至一個具有相同半徑的虛擬的圓形環梁中，利用圓形環梁的周期性條件，在一個基本元之內求解曲線軌道鋼軌的橫向振動響應。利用軌道結構頻域動力響應的基本性質，通過定義鋼軌數學模態以及廣義波數，進而采用傅里葉級數表示曲線軌道鋼軌平面內振動響應。最終，得到力學概念清晰的曲線軌道平面內振動頻域解析模型，并分析曲線軌道橫向振動頻域響應特性。

1 曲線軌道鋼軌平面內動力響應求解

1.1 曲線軌道鋼軌平面內振動力學方程

采用理論方法對曲線軌道平面內振動響應進行分析，在建立曲線軌道力學模型時，采用曲線Euler梁模擬曲線軌道鋼軌，采用彈簧阻尼支點單元模擬扣件，即可采用等間距離散點支承的鋼軌模型模擬曲線軌道，如圖1所示。此時，在橫向單位移動諧振荷載eiωFt作用下，曲線軌道鋼軌平面內振動力學方程組[16-21]為

圖1 曲線軌道平面內振動力學模型

(1)

(2)

為了在頻域內對方程式(1)、式(2)進行求解，首先需要對方程組內的變量t進行傅里葉變換，有

(3)

(4)

圖2 鋼軌橫斷面支承-約束示意圖

1.2 周期性結構動力響應的頻域模態疊加法

本文研究曲線軌道鋼軌的橫向動力響應，其中曲線軌道指具有恒定曲率半徑的有限長圓弧(暫不包括緩和曲線)。為了求解有限長曲線軌道的動力響應，可將曲線軌道力學模型映射至一個具有相同半徑的虛擬的圓形環梁中[8]，如圖3所示。將該虛擬的圓形環梁視為以支點間距L為基本周期長度的周期性結構，稱其周期長度L為基本元。結合周期性結構的性質，可對曲線軌道鋼軌平面內動力響應進行求解。

圖3 曲線軌道周期性

根據移動諧振荷載作用下周期性結構的頻域動力響應性質[23]，鋼軌平面內頻域動力響應滿足

(5)

在利用周期性結構性質對曲線軌道平面內振動響應進行分析時，基本元與相鄰單元的位移、內力關系如圖4所示。

圖4 基本元與相鄰單元平面內振動相互作用關系

以圖4所示基本元與左側相鄰單元為例，基本元左端位移、內力構成的狀態向量SkL與左側單元右端位移、內力構成的狀態向量S(k-1)R滿足位移協調和力的平衡

SkL=S(k-1)R

(6)

(7)

(8)

根據周期性結構性質，基本元左端點狀態向量SkL和右端點狀態向量SkR之間滿足

SkR=ei(ωF-ω)L/v·SkL

(9)

(10)

(11)

結合式(5)與式(11)，有

(12)

(13)

式中：Cn(ω,ωF)為傅里葉級數系數；ξn=2πn/L。

(14)

結合以上推導過程，定義鋼軌數學模態[25]為

(15)

(16)

式中：N為鋼軌數學模態計算上限，計算鋼軌數學模態數記為NMR，取為2N+1，即NMR=2N+1。

為了便于方程求解，定義廣義波數[26]為

κ=(ω-ωF)/v

(17)

結合式(14)中采用級數表達鋼軌平面內動力響應的方法，可采用鋼軌數學模態以及對應的模態坐標表示曲線軌道鋼軌的平面內動力響應，即

(18)

根據周期性結構的性質，采用頻域內鋼軌數學模態疊加法可對曲線軌道結構平面內動力響應進行求解。

1.3 曲線軌道鋼軌頻域動力響應的求解

(19)

(20)

聯立方程式(19)、式(20)，整理可得

G(κ,ωF)U(κ,ωF)=P(κ,ωF)

(21)

解式(21)可得

(22)

e-inκLB(z,κ,ωF)U(κ,ωF)=

(23)

1.4 曲線軌道鋼軌橫向振動頻率響應函數計算

對鋼軌橫向位移頻域響應作逆傅里葉變換，得

(24)

令v=0，固定諧振荷載下鋼軌橫向位移響應為

(25)

橫向位移響應幅值為

(26)

采用數值積分法對式(26)進行求解，得

(27)

經以上分析，得到曲線軌道鋼軌橫向位移頻響函數的求解方法，經過Matlab數學軟件編程，可實現動力響應求解，程序求解思路如圖5所示。

圖5 平面內頻率響應函數求解思路

2 曲線軌道鋼軌頻率響應函數分析

2.1 鋼軌頻率響應函數計算

分析曲線軌道鋼軌橫向振動頻率響應函數，不同于列車通過曲線軌道時的輪-軌橫向動態耦合研究，曲線超高、軌底坡等因素會對列車運行時產生的不平衡力以及輪軌接觸狀態產生顯著影響[6]。本節主要研究固定諧振荷載作用下曲線軌道鋼軌橫向振動頻率響應特性，可忽略超高、軌底坡等因素的影響。

在分析曲線軌道鋼軌橫向位移頻率響應函數時，以地鐵整體道床軌道為例進行計算，軌道采用DTVI2扣件，鋼軌及DTVI2扣件參數見表1。為保證計算精度，鋼軌數學模態數取為21，κ取值范圍為[-40，40]，Δκ取0.039。

表1 T60鋼軌及DTVI2扣件參數[27]

對于軌道系統來說，扣件的離散支承引起了軌道結構剛度的周期性變化，其中扣件支承點處剛度最大，相鄰扣件支點跨中處剛度最小。由扣件支承引起的剛度變化將對軌道結構的動力響應特性產生影響。不同位置處軌道系統的剛度不同，這將對頻響函數產生影響。為充分反映曲線軌道鋼軌橫向位移的頻響特性，選取剛度最大的支點位置以及剛度最小的相鄰支點跨中位置進行計算，其中激振點與拾振點的關系如圖6所示，計算結果如圖7所示。

圖6 不同位置處頻響函數布置圖

為了對比由離散支承產生的剛度變化對鋼軌橫向位移頻響函數的影響，同時計算了連續支承曲線軌道鋼軌橫向位移頻率響應函數，其中連續支承等效剛度與離散支承相同，計算結果如圖7所示。

圖7 鋼軌橫向位移幅頻、相頻響應函數

由圖7可知：

(3)對比離散支承鋼軌支點處和跨中處與連續支承鋼軌的幅頻、相頻響應函數可知，離散支承引起了鋼軌橫向pinned-pinned振動峰值響應；該響應在跨中處取得最大值，在支點處取得最小值。

由以上分析可知，離散支承使曲線軌道鋼軌橫向位移產生了pinned-pinned振動峰值響應。接下來研究離散支承參數以及曲線半徑等因素對曲線軌道鋼軌橫向振動頻響特性的影響。

2.2 支承剛度及阻尼系數對曲線軌道鋼軌橫向位移頻響函數的影響

對支點的物理參數進行分析，研究支點橫向支承剛度以及阻尼系數對鋼軌橫向振動頻響函數的影響。

在研究橫向支承剛度的影響時，剛度選取為12.5、37.5、50.0 MN/m。在研究橫向支承阻尼系數的影響時，阻尼系數選取為4.175、16.700、29.225 kN·s/m。由于支點處及跨中處鋼軌頻響函數可以充分反映鋼軌橫向振動頻響特性，本節分析指標即為支點處和跨中處的頻響函數。其余計算參數如表1所示。

圖8為橫向支承剛度對鋼軌橫向位移幅頻、相頻響應函數的影響。

圖8 橫向支點剛度的影響

由圖8可知：

(1)根據計算公式求得不同橫向支承剛度所對應的一階自振頻率分別為86、157、183 Hz，與圖8中計算結果吻合良好。

(2)在低于一階自振頻率頻段的振動中，鋼軌振動性質類似于單自由度質量-彈簧系統，一階自振頻率的增大程度是橫向支承剛度增加程度的均方根值，且一階自振頻率點處的響應幅值隨剛度的增加而降低。

(3)支點橫向支承剛度的變化對鋼軌橫向pinned-pinned振動峰值響應沒有影響。

(4)在一定頻率范圍內(250 Hz以內)，鋼軌橫向振動響應與荷載相位差隨著支點橫向支承剛度的增加而減少，振動響應同步性增強。

圖9為橫向支承阻尼系數對鋼軌橫向位移幅頻、相頻響應函數的影響。

圖9 橫向支承阻尼系數的影響

由圖9可知：

(1)根據計算公式求得不同支承阻尼系數所對應的一階自振頻率分別為132、127、115 Hz，與圖9中計算結果吻合良好。

(2)在低于一階自振頻率頻段的振動中，鋼軌-支承橫向振動表現為單自由度質量-彈簧系統振動，一階自振頻率隨橫向支承阻尼系數的增加而略有減小；響應幅值隨阻尼系數的增加而顯著降低。

(3)支點橫向支承阻尼系數變化對鋼軌橫向pinned-pinned振動峰值頻率沒有影響；但響應峰值隨著阻尼系數的增加而略有增大。

(4)當荷載頻率小于一階自振頻率時，相位差隨著支點橫向支承阻尼系數的增加而增大，振動同步性降低；當荷載頻率大于自振頻率時，相位差隨著阻尼系數的增加而減小，振動同步性增強。

2.3 曲線半徑及支點間距對曲線軌道鋼軌橫向位移頻響函數的影響

2.2節分析了支點物理參數對鋼軌橫向振動頻響函數的影響，現討論曲線軌道鋼軌的曲率半徑以及離散支承間距等參數對鋼軌橫向振動頻響函數的影響。

在研究曲線半徑的影響時，選取曲線半徑分別為100、300、500 m進行計算。在研究支點間距的影響時，選取支點間距分別為0.45、0.6、0.9 m進行計算。分析指標為支點處和跨中處的鋼軌橫向位移頻響函數。其余計算參數見表1。

圖10為不同曲線半徑時的鋼軌橫向位移幅頻響應函數以及部分半徑對應的相頻響應函數。

圖10 半徑對鋼軌橫向位移頻響函數的影響

由圖10可知：

(1)曲線軌道鋼軌橫向振動一階自振頻率及響應幅值不受曲線半徑變化的影響。

(2)曲線軌道鋼軌橫向pinned-pinned振動峰值及峰值頻率不受曲線半徑變化的影響。

(3)地鐵曲線軌道半徑對鋼軌橫向位移頻響函數幾乎沒有影響。

圖11為支點間距對鋼軌橫向位移幅頻、相頻響應函數的影響。

圖11 支點間距的影響

由圖11可知：

(1)根據計算公式求得不同支點間距所對應的一階自振頻率分別為144、127、105 Hz，與圖11中計算結果吻合良好。

(2)在低于一階自振頻率頻段的振動中，鋼軌-支承橫向振動表現為單自由度質量-彈簧系統振動，支點間距減小，相當于增加了鋼軌橫向支承剛度及阻尼，因此，一階自振頻率隨支點間距的減小而增大，且一階自振頻率點處的響應幅值隨支點間距的減小而降低。

(3)由pinned-pinned振動峰值頻率計算公式求得不同支點間距對應的一階pinned-pinned振動峰值頻率分別為1 038、584、260 Hz，與圖11中計算結果吻合良好。

(4)支點間距減小時，振動峰值頻率增加，振動幅值降低；當支點間距減小一半時，振動峰值頻率增大4倍。

3 結論

本文采用曲線Euler-Bernoulli梁模擬曲線軌道鋼軌，建立了離散點支承曲線軌道平面內振動響應頻域解析模型，其具有力學概念清晰準確、求解高頻響應效率高的特點。利用該模型計算分析了支點橫向支承剛度、阻尼系數、曲線半徑及支點間距對曲線軌道鋼軌橫向振動位移頻響函數的影響，得到以下結論：

(1)曲線軌道鋼軌橫向振動一階自振頻率為單自由度質量-彈簧體系自振頻率；調整支點橫向支承剛度及阻尼系數，僅對改變一階自振頻率有一定效果。

(2)扣件支點橫向支承剛度對鋼軌橫向pinned-pinned峰值響應幾乎沒有影響，扣件支點橫向支承阻尼系數對鋼軌橫向pinned-pinned峰值響應影響很小。

(3)曲線軌道離散支承引起了鋼軌橫向pinned-pinned振動峰值；通過調節扣件支點間距，可以有效地調整軌道結構動力響應顯著頻段的分布范圍。

(4)地鐵軌道正線最小曲線半徑為300 m，半徑對曲線軌道橫向位移頻響函數幾乎沒有影響。