匯聚線索，巧求角度

郝艷麗

步入初中，數學學習逐漸從以直覺、直觀、猜想、合情推理為主的學習模式走向以理性、說理、證明、思辨為主的學習模式。幾何證明題目，恰好考察了學生們的證明和說理的能力。解決這類問題，要學會匯聚線索巧求角度，這也契合數學核心素養的要求。本文以旋轉全等的題目為例，從問題出發，通過證明全等解決求角度的問題。在七年級學習階段，求角度主要有三個思路：利用內角和定理，利用平角的定義，或者利用外角定理。

一、分析教學難點，確定教學方法

證明題的難點在于沒有做題思路，無法建立起從已知到問題的連接。為培養學生分析問題、解決問題的能力，教師要發揮引導作用，通過問題串的遞進式教學法，帶領學生由淺入深地去分析條件、剖析思路、解決問題、總結方法，滲透數學思想。

二、遞進設置問題，引領總結方法

例1：如圖1，四邊形ABCD與四邊形DEFG都是正方形，若正方形DEFG繞D點旋轉到如圖所示的位置，請猜測CG與AE的數量關系與位置關系，并說明理由。

教學過程：

教師提問：請同學們看圖1，大膽猜測CG與AE的數量關系與位置關系？

學生1回答：CG=AE，CG⊥AE

教師提問：證明線段相等可以從證明三角形全等入手，請同學們思考。

學生2回答：證明△CDG和△ADE全等。

教師追問：確定目標后，我們再分析題目中的已知條件，該如何證明呢？

學生3回答：因為四邊形ABCD與四邊形DEFG都是正方形，所以CD=AD，GD=DE，∠ADC和∠GDE都是直角，所以∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，也就是說∠CDG=∠ADE，根據SAS可以證得△CDG≌△ADE。

教師點評和提問：這位同學回答的很好，接下來根據全等的性質容易得到CG=AE，但是要怎么證明CG⊥AE呢？

教師追問：假設CG⊥AE，那么∠AHC或者∠GHE是多少度呢？

學生4回答：90°。

教師提問：很好，那么我們想證明CG⊥AE，也可以通過求∠AHC或者∠GHE。求角度需要把線索集中，線索包括題目中的已知條件和已證明的結論。集中線索可以是圖形上的集中，也可以是數量關系上的集中，請同學們嘗試。

學生5回答：可以在圖形中集中，我發現∠DAE是我們證明全等的三角形的內角，而∠DAE和∠AHC都在△AHQ中。

教師追問：很好，我們可以把這兩個角在圖形上集中起來，請同學們嘗試求出∠AHC或者∠GHE？

學生6回答：根據三角形內角和是180°，∠AHC+∠DAE+∠AQG=180°，根據全等三角形對應角相等∠DAE=∠GCD，根據對頂角相等可知∠AQG=∠CQD，所以∠AQG+∠DAE=∠GCD+∠CQD=90°，所以∠AHC=90°。

教師點評：非常好，請同學們總結寫題過程，歸納寫題方法。

學生7回答：根據問題和已知條件，確定需要證明全等的三角形。根據圖形，將所求的角匯聚在一個三角形中，再根據內角和180度求角度。

學生8回答：證明線段的數量關系是通過證明全等，證明線段的位置關系是通過證明角度求解。

教師點評：同學們的總結都非常精彩，我們在學習新知識要通過猜測——探究——驗證——總結的過程將知識內化。解決線段數量關系和位置關系的方法就是匯聚線索，巧求角度。

三、積累活動經驗，解決復雜問題

例2：如圖2，△ABC與△CDE都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，若等腰直角三角形△CDE繞C點旋轉到如圖所示的位置，請猜測BD與AE的數量關系與位置關系，并說明理由。

四、完成課堂練習，及時反饋總結

例3：如圖3，△ACE為等邊三角形，∠ABD=∠EDB=60°，（1）試判斷BD、AB、DE之間的數量關系并說明理由。（2）連接AD與BE交于F點，求證：①AD=BE;②求∠AFB的大小。

五、完成課后練習，提升學習效果

例4：如圖4，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的兩點，AD=CE，且AE與BD交于點P，BF⊥AE于點F，（1）求證：△ABD≌△CAE;（2）求∠PBF的度數。

在初中數學教學中，幾何有關的內容也是初中數學的重難點，也是思維靈活性和思維嚴密性要求較高的章節。由于幾何的內容對學生來說較為抽象，所以教師應側重引導學生總結方法，培養數學思維，激發學生對數學學習的興趣，為學生將來的幾何學習奠定基礎。

參考文獻

[1]王凱旋.全等三角形證明中角的轉化[J].中學數學研究（華南師范大學版），2019（20）：48-50.

[2]章建躍.研究三角形的數學思維方式[J].數學通報，2019，58（04）：1-10.

[3]武麗虹，葛余常.全等三角形[J].中學數學教學參考，2019（Z2）：59-63.