情境代入法在應用型本科《線性代數》課程教學中的實施

劉曉燕

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2011-5640-0603

摘? 要：《線性代數》課程在授課內容上及演練過程中嚴謹有余，趣味不足，難以調動學習積極性，這是講授該課程的一大難點。對應用型本科大學而言，該課程作為必修課在各個專業廣泛開設，在教學方法上也得到了很大的發展。本文通過研究相關教學案例，將對案例的具體分析方法引入到對知識點的講解當中，既可以提高解題的效率，又可以有效提高課堂教學質量，提升學生學習熱情，使得該課程的講授更加合理、有效。

關鍵詞：情境代入? 線性代數? 課程教學? 實施

中圖分類號：G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2021）01（c）-0172-03

Implementation of situational substitution method in the teaching of linear algebra for application oriented undergraduates

LIU Xiaoyan

（Guangzhou Institute of technology and technology， Guangzhou， Guangdong? ?Province， 528138 China）

Abstract： The course of Linear Algebra is more rigorous in teaching content and practice.And it is difficult to arouse the enthusiasm of learning because of its lack of interest. For applied undergraduate universities， this course is widely offered as a compulsory course in various majors and has been greatly developed in teaching methods. By studying the relevant teaching cases， this paper introduces the concrete analysis method of the case into the explanation of the knowledge points. Which can not only improve the efficiency of solving problems but also improve the quality of teaching and students' enthusiasm for learning. It can make the course more reasonable and effective.

Key Words： Substitution of circumstance; Linear algebra; Course teaching; Implementation

1? 線性代數的教學背景與現狀

《線性代數》是本科院校理工類專業的一門重要基礎課。相對于另一門重要的數學基礎課《高等數學》而言，它的內容要少的多，但是很多學生還是覺得難以入門。這主要是是因為《線性代數》從一開始就是很多抽象概念，給初學者設置了許多的攔路虎。雖然有很多的學者在課程內容設置上對其進行了調整，但是由于初接觸者必須先掌握其特定的運算法則與相關定義，定義的抽象性就決定了前期的引入還是有其難處。

研究性教學是當今大學數學教學改革的一大熱點，數學史的研究培養學生的數學素養，數學知識的研究培養學生“研究性學習”的習慣，培養學生的自學能力和可持續發展的能力。在線性代數的課程教學改革中，案例教學、情境代入教學法都能夠很好地補充課程理論充分、應用不足的缺陷，將線性代數中的知識完美地應用于實例研究當中，是值得廣泛推廣和運用的教學手段。

隨著現代科技的發展，分析理論與工具的進步，線性代數在經濟、金融、控制等方面都有著極其重要的地位與作用。學好線性代數是掌握一般分析方法的理論前提和基礎，是進一步深化學習的有效工具。

2? 情境代入在課程教學中的實施

在現行的主流教學過程中，還是以定義引入為主，以解決線性方程組的解的結構問題為主線，輔以特征值和特征向量的性質，最后以二次型的標準化過程為目標，串聯起整個線性代數的知識內容。單就知識內容而言，線性代數的教學內容相對來說較為獨立，用不到本科階段前期所學的微積分部分的內容，這對很多學生而言是件好事，因為很多的學生對于需要用到微積分來解決問題的學科往往感到頭疼。

《線性代數》課程教學中一個需要主要解決的問題就是線性方程組的求解，整個課程幾乎都是圍繞這個內容展開。但是很多教材都是一開始便對行列式以及矩陣這兩個學生不熟悉的內容進行了詳盡的闡述，然后才開始運用這些知識來解決線性方程組的求解問題。如果我們可以直接從線性方程組或者多元一次方程組入手，以大家熟悉的高斯消元法為切入點，引出方程組的求解方法會更容易讓學生接受。例如：

求解線性方程組

解法一：利用Cramer法則

得到方程組的解：

解法二：利用高斯消元法

②-5①，③-3①得到新的方程組

將上式中③-7/9②得

得到原方程組的解：

顯然，使用消元法能夠讓學生更容易消化吸收，輔之以介紹Cramer法則，檢驗兩種算法結果的一致性，讓學生更快認可Cramer法則在求解線性方程組中的正確性。但是很顯然，Cramer法則在計算過程中涉及到高階行列式的計算，處理起來更復雜一些。

線性代數從計算層次來說只需要用到小學階段十進制的加減乘除四則運算，但是運算量卻是隨著階數的增加呈級數遞增趨勢。以一個三階行列式計算為例，只需要計算6個3元素相乘之和，但是四階行列式就需要計算4！=24個4元素相乘之和，五階行列式就需要計算5！=120個5元素的乘積之和……行列式的計算從定義式來說是繁復的，但是如果可以指導學生將計算進行公式化處理寫入計算機，以當前計算機處理運算的速度，這些運算根本就不值一提了。

在行列式的計算過程中，如果不使用定義式進行計算，那么就可以根據性質來對行列式進行處理，其中最重要也是最常用的一個性質就是將行列式某一行的k倍加到另一行，行列式的值不變。這也是矩陣的初等行變換里的運算是一樣的，只不過在行列式里面，這個性質是拿來做行列式運算，保證其運算的有效運行。而在矩陣里面，這只是一種變形方式，保障矩陣的形式可以變化成需要的形式。例如

計算行列式：

若從行列式的定義出發，展開之后有24項4個元素的乘積之和，加上對每一項的符號判斷，處理起來并不方便。如果可以從行列式的性質入手，將行列式進行等價變形：

運用行列式的基本性質處理之后再來計算行列式，顯然工作量會減少很多。

從該課程的整個知識體系來說，初等變換是其中最重要的一個處理手段。無論是向量組的線性相關，線性無關性判斷，向量組里面極大無關組的尋找，線性方程組解的結構，還是特征值的計算，正交變換的確定，以及行列式的簡便運算等，都需要用到初等變換。初等變換涉及到的計算并不難，但是過程卻很繁瑣。一個n×m階的矩陣，一行初等變換下來要做m次加法運算，整個矩陣就需要做n×m次的加法。當然，在現在的教學條件下，計算次數多并不是一個問題。此時引導學生自己去掌握一些計算處理軟件，如Matlab，Lingo等，這樣將對學生的主動學習起到很好的促進作用。當然，有條件的院校，完全可以根據自身條件開設相關的實驗課程。

隨著信息化時代的飛速發展，網絡科學問題滲透于工科課程的很多方面。特別是在線性代數課程中，網絡科學的滲透表現的更為突出。為了讓學生了解科學前沿問題并提高學習興趣， 在講授矩陣特征值與特征向量的概念、計算方法和幾何意義時， 引入復雜網絡中節點重要性的排序和同步問題， 舉例說明特征值和特征向量在其中的應用， 以此將網絡科學中的研究問題滲透到線性代數的教學中來。這樣不僅可以激發學生的學習熱情，還能夠提高理論學習的理解效果。

情境教學的重要手段之一就是案例教學。線性代數的理論知識由于其獨立性，基本是自成體系，所以除了以前所學的數字的四則運算是熟悉的，其他基本都是新概念，要學生理解起來難度是相當大，所以引入案例分析十分必要。當然，在設置案例的過程中，必須結合學生的所學專業、學校的培養目標，綜合考慮教學的條件，選擇較為普遍的事件引入概念，或介紹較為前沿的研究成果，激發學生的學習熱情。例如，可以運用經濟學里面的投入產出模型，構建矩陣的思維模式;可以通過對能量圖的計算，將與矩陣特征值相關聯的譜理論進行推廣。比如在對矩陣的分析中，可以引入人員分配問題，讓學生對矩陣有一個直觀的感受與概念。在對行列式的計算進行講解前，結合《高等數學》里面所涉及到的向量積的概念，可以直觀地解釋三階行列式的按行展開。降階是行列式計算里面的一個重要處理思路，而降階跟高等數學積分運算里面的降次處理手段相結合，讓學生體會到降階可以極大簡化運算，減少運算次數。

3? 情境代入教學的優點與限制

通過情境代入教學，就是通過線性代數在各個領域的應用，使用行列式或者矩陣來刻畫和分析各種實際問題。這樣不僅可以極大地調動學生的學習熱情，還可以擴展學生的視野，提升學生的知識層次。通過情境代入式教學方法，可以將線性代數里面枯燥的理論轉化為對實際問題的探究。這一方法的使用可以有效地將抽象概念與定理進行具體化，使得相關的知識點更加通俗易懂。

情境代入的教學方法的優點是顯然的，但是情境教學的實施也有其局限性。其一，對于學生而言，很多學生始終對數學類課程抱著難學的偏見，一開始就拒絕各種輸入，這是數學類課程教學中經常會遇到的一個現象;還有學生缺乏動手能力，或者對新知興趣不大，這也會讓教師的教學熱情減退。其二，對教師而言，要施行情境代入式的教學模式，需要教師對各種數學類處理軟件有著相當的了解，另外，也需要教師對各不同專業學科知識與線性代數的發展前沿動態有所掌握，這樣才能在課堂上如行云流水，將線性代數這門基礎課講清楚、講好，讓學生能聽得進去，進而可以運用線性代數的相關理論做一些事件以及應用分析，這也算是對教師的較高層次的教學要求。

4? 結語

在線性代數的教學過程中，普遍存在課程理論性太強，學生的學習基礎參差不齊，應用推廣起來難度較大等現實問題。加強教學效果的主要方式可以使用案例引入，通過對案例的分析引出線性代數的相關理論。有條件的院校可以結合計算機教學，開設相關的計算機編程教學的課程，運用Matlab這一數學軟件，實際操作一下如何使用矩陣解決問題的方法，促進教師對學生掌握線性代數知識把握的程度，激發學生的學習興趣，提升學生的學習思維模式，擴展學生的視野，將線性代數這一門跟現代技術結合緊密的學科知識掌握好。更進一步地，可以讓學生對現代科學的前沿研究有一定的了解。而這些對教師而言，可以提升自身對學科知識的理解，于學生而言，更是為他們打開了一扇通往運用技術處理實際問題這條道路的入口。

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