基于數學核心素養淺談“復數的三角表示”的教學意義

◆摘? 要：2019年版普通高中數學教科書（A版）在復數章節中增加了選學內容“復數的三角表示”，較好體現了新課標要求的“形成和發展學生數學核心素養”。為保證高效完成教學任務和切實提高學生的數學能力，本文對此內容所蘊含的數學核心素養進行分析，并針對每種核心素養的培養提出合理的教學建議。

◆關鍵詞：“復數的三角表示”;數學核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》將復數的三角表示定位為選學內容，但同時和必修內容一樣為其設置了足夠的課時，并將“復數的三角表示”小節的教學目標設置為：通過復數的幾何意義，了解復數的三角表示，了解復數的代數形式與三角表示之間的關系，了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義。引入復數的三角表示，把剛學習的平面向量、三角函數和復數結合在一起，讓學生深刻體會到幾何與代數間的緊密聯系，是提升學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學運算等數學核心素養的有效載體。

新增“復數的三角表示”是為了讓學生深入理解復數的幾何意義，不要僅停留在運算的層面。因此從內容的重要性和教學的可行性出發，建議以必修內容的要求教學復數的三角表示，盡力做到所有學生都必選且有一定的收獲。由此，本篇文章基于新課標要求的數學學科核心素養，簡要分析復數三角形式的教學意義。

一、相關研究

為提升學生的數學核心素養，強調數形結合思想方法的優勢以及將數學文化融入課堂教學中，張筱瑋和劉印哲以HPM為教學模式，對復數章節進行了全新的教學設計。李東迪建議融入數學文化的復數三角形式的校本課程應按時開展，讓學生感受到學習過程中理性思維的作用，提升數學核心素養。賈凌云認為數學教學活動的核心是培養學生的能力，為訓練學生的思維方法和推理模式，她結合相關公式及高等數學知識，精心設計了關于復數的三角形式的教學思路。郝進宏借助平面向量以及三角函數，運用數學運算的思想方法探究了復數乘除的幾何意義，讓讀者認識到復數的本質及其運算規律。通過查閱相關文獻發現，由于復數的三角表示是新課標下的新教材中新添加的內容，因此大多數作者都集中討論了基于發展學生的數學核心素養，如何設計合理的復數的三角表示的教學方案。這對一線教師進一步開展復數的教學有很重要的指導意義，能幫助師生更深入把握復數的三角表示的教學要求，提高學生的數學思維水平和數學能力。但已有文獻中并沒有對“復數的三角表示”中數學核心素養的蘊含情況做一份詳細的總結，并提出教學過程中提升核心素養的策略。

二、教學意義

提高數學抽象素養。數學抽象素養指學生能從數量和圖形及其關系中抽象出數學概念及概念間的關系，并用數學語言予以表征。本節在探索復數的三角形式過程中，教師引導學生從熟悉情景（平面向量、三角函數）出發結合問題驅動，逐步抽象出復數的三角形式，學生需經歷從圖形關系到代數表征，再到幾何意義的兩個過程。師生一起經歷從數學情景到新概念的生成，提高了學生的學習興趣及學習成就感，也在無形中提升了學生數學抽象的核心素養。

提高數學運算素養。數學運算素養指在理解運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題。復數屬于代數領域，是培養學生的運算能力的重要載體，本節的運算主要包括復數三角形式與代數形式的互化及復數三角形式的乘、除運算。在推導過程中，也運用到許多有關三角函數及三角恒等變形的知識，因此不論是在新知學習還是習題鞏固中，都蘊含著大量的數學運算，且教材的例題、習題都注重知識點間的聯系和應用，注重訓練學生嚴謹的計算方法。

提高邏輯推理素養。邏輯推理素養指從一些相關定理命題出發，依據規則推理出其他命題，是得到數學結論的重要方式。學生從復數的幾何表示及三角函數角度出發，通過一系列嚴謹的推理轉化得到復數的三角形式;根據復數的乘法法則及三角恒等變換公式，經過論證得到復數三角形式的乘法法則及幾何意義。過程中，學生從已有知識出發，探索論證思路，并用嚴謹的數學語言表述結果，能有效訓練學生邏輯推理的能力和嚴謹的數學思維。

提高直觀想象素養。直觀想象素養指建立數與形的聯系，建立數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。復數的三角形式是代數與幾何的一次完美結合，無論是探索復數表示形式還是乘、除運算法則，都能將幾何圖形和代數關系聯系在一起。根據幾何關系得出復數三角形式，由復數的乘、除運算的三角表示得到其幾何意義，過程中學生在圖形與代數間來回穿梭，感受數形結合的魅力。

三、教學建議

創設合理數學情景，提升學生數學抽象素養。理解復數的三角形式需要學生從幾何關系抽象出代數關系，進而由代數表征抽象出幾何意義。過程中教師要創設合理數學問題情境，這也是培養學生數學抽象素養的有效途徑，教師需提前精心設計問題，鼓勵學生積極思考、主動探究，嘗試從向量中抽象出一般規律并用符號語言精簡表征數學概念，學生要領悟知識的產生過程及抽象解決問題的方法，切實提升自身的數學抽象素養。例如：在引入復數三角形式前向學生拋出問題，“復數[Z=a+bia，b∈R與平面向量OZ=（a，b）]一一對應，且向量既有大小又有方向，若把它表示在坐標中，復數的實部與虛部與復數的模及向量的夾角有什么關系呢？”。

加強運算訓練，提升學生數學運算素養。數學運算是貫穿本節的一條主線，教學時應加強數學運算的訓練，不斷提升學生的數學運算素養。教師不僅要著眼于習題訓練，也要向學生落實對基本概念、公式及法則的理解，只有打好基底才能建高樓;其次，除了要熟記基礎公式法則外，教師還要對一些典型的運算問題的方法進行總結歸納，強調蘊含其中的數學思想方法，讓學生在之后的解題中能自己得出結論，實現知識遷移。

有效建立知識體系，提升學生邏輯推理素養。邏輯推理是學習數學的重要思維品質，需要學生在已有的完整基礎知識上，有意識的建立新舊知識間的聯系，演繹推理，得到新舊知識間的邏輯關系。如，在新授課前，教師可幫學生做一個相關的思維導圖，讓學生能自然將復數和向量、三角函數聯系在一起，進而推導出復數的三角形式。

強調數形結合，提升學生直觀想象素養。由于復數的三角形式有明顯數形結合的特征，因此在教學過程中，教師要提前向學生說明數形結合思想方法的內涵及思路，讓學生在探究及解題過程中有意識地應用數形結合方法。解題時仔細觀察、聯想，挖掘題目中隱含條件，建立圖形與代數的關系，獲得最佳解法。例如：復數[Z=a+bia，b∈R與平面向量OZ=（a，b）]一一對應，我們借助向量的大小和方向來表示復數。從幾何的角度得出“用模來刻畫向量的大小”“以x軸的非負半軸為始邊，以向量[OZ]所在射線（射線OZ）為終邊的角[θ]來刻畫方向”，再利用三角函數知識，得到復數三角形式[Z=r（cosθ+isinθ）]。

新課改背景下，本篇文章基于有效提高學生的數學核心素養，簡要分析復數三角形式的教學意義及策略，希望教師能認識到此節內容的重要性，制定合理的教學計劃，讓學生學以致用。本篇文章還未深入探討各個數學核心素養在教材中的體現情況，之后筆者將對此部分內容進行更加細致的研究。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]張筱瑋，劉印哲.基于核心素養養成教育的“復數”教學再設計[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2021（02）：45-48.

[3]李東迪.高中數學復數三角形式的校本課程的教學探究[J].新課程，2020（46）：126.

[4]賈凌云.復數三角形式的教學與探究[J].數理化解題研究，2019（33）：17-18.

[5]郝進宏.復數乘法幾何意義的探究[J].中學生數學，2019（23）：2-3.

作者簡介

和婷英（1997.09—），性別：女;民族：納西族;籍貫：云南省麗江市;學歷：本科;研究方向：學科教學（數學）。