基于滑模PI控制的卡爾曼濾波在空間轉臺的應用

葉 青 李 雪 馮 宇 李 宇 方智毅

上海宇航系統工程研究所，上海 201109

0 引言

永磁同步電機(permanent magnetic synchronous motor, 簡稱PMSM)因其功率密度高、體積小、功率因數高和優越的動態響應速度[1-2]，近年來被越來越廣泛地應用于空間二維轉臺負載的驅動控制。由PMSM驅動的空間二維轉臺的超低速控制是一個新的研究領域。目前，空間二維轉臺負載對PMSM驅動系統最低轉速要求可能達到0.05(°)/s左右，對控制精度的要求也相應地越來越高。超低速PMSM系統是強耦合、非線性的，如果將傳統的PI控制+T法測速方法直接用于二維轉臺的超低速控制，則可能出現如下3個問題：1) T法測速的估計誤差較大導致速度跟蹤誤差較大，達不到要求的精度；2) 超低速工況下的摩擦力矩呈非線性，電纜力矩與角度成正比，傳統的PI控制難以消除這兩個干擾力矩的影響；3) 負載和電機的物理系數(主要是力矩系數和轉動慣量)的時變性導致：根據某一組系數確定的比例、積分系數不適用于所有的工況，傳統的PI控制缺乏自適應性。

國內外學者在解決PMSM低速高精度控制問題上做了很多研究[3-5]，在觀測器設計和滑模控制算法的應用方面有以下研究成果。文獻[6]采用插值的方法增加觀測器采樣周期之間的采樣點，提高了觀測精度。文獻[7]采用了卡爾曼濾波的方法獲取更優的低速工況的轉速。文獻[8]采用了高頻注入法，在低速控制時代替機械式位置傳感器來獲取速度角度信息。文獻[9]設計模糊PI 滑模觀測器提高系統的快速性和穩定性。文獻[10]通過擴展卡爾曼濾波(簡稱EKF)實現磁鏈、轉子位置和速度的精確估計，提高了直接轉矩控制的性能。文獻[11]設計的EKF觀測器，把光電碼盤信號的量化誤差考慮為測量噪聲，提升了轉子位置、速度的觀測精度。文獻[12]利用EKF對電機的電阻、電感參數進行識別，有效地改善了PMSM控制性能。文獻[13]設計分數階滑模變結構控制器，來提升系統的動態、穩態性能和魯棒性。文獻[14]采用模糊PID技術與滑模觀測器的新型混合估計策略，進一步提高了系統轉子位置和電機轉速的觀測精度。文獻[15]在直接轉矩控制中運用變指數趨近律滑模變結構控制策略，有效地抑制了滑模變結構的抖振，并且改善了轉矩和磁鏈的脈動過大的問題。文獻[16]設計了一種積分型滑模變結構控制器，通過觀測負載轉矩并反饋到滑模控制器中，使系統具有響應快速、無超調等優點，且對負載的力矩擾動具有較強的魯棒性。文獻[17]提出了一種上下界滑模變結構速度控制器，將速度誤差與系統狀態量的變化相關聯，通過預設負載轉矩的上下界值，實時改進滑模控制律，有效地提高系統的靜態、動態特性與魯棒性。

由于卡爾曼濾波算法和滑模控制算法在工程上都有較強的實用性，因此可以考慮將二者結合起來，應用于空間二維轉臺的超低速控制。本文主要針對空間二維轉臺PMSM的速度環設計展開研究。針對二維轉臺超低速控制的應用場景，提出了一種基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法來改進傳統的PI控制+T法測速方法。這一算法的優勢體現在如下3個方面：1) 卡爾曼濾波算法將滑模PI控制的抖振看作是白噪聲，再根據測量噪聲的隨機分布特性，提取出更準確的轉速信息，提高控制精度；2) 將摩擦力矩和電纜力矩看作是低頻干擾，消耗一定的控制力矩來消除低頻干擾對轉速控制性能的影響；3) 考慮了實際應用中力矩系數和轉動慣量的時變性，用Lyapunov方法確定滑模PI控制律中的控制參數，使得閉環系統必然穩定。為驗證基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法的可行性，本文設計了仿真試驗，將該算法與傳統的PI控制+T法測速方法進行了對比。

1 滑模PI控制算法理論分析

本節假定系統狀態可以準確測量，只討論滑模PI控制律的設計方法，狀態估計方法的討論在下一節中展開。本文中，電流環采用SVPWM算法[18]。在本節假定q軸電流[18]實際值與指令值總是相等的。

考慮某型二維空間轉臺PMSM速度環的被控系統模型

(1)

其中，t表示時間，J表示轉動慣量，ω表示機械角速度，b表示力矩系數，iq表示q軸電流，df表示摩擦力矩的大小，dθ>0表示電纜力矩系數，θ表示機械角。假設時變參數滿足：Jmin≤J(t)≤Jmax，bmin≤b(t)≤bmax，0≤df(t)≤dfmax。Jmax,bmin,dfmax,dθ>0已知，Jmin,bmax>0未知，這種參數給定在型號研制中常見。

根據式(1)，關于z1,z2的系統模型方程可寫成

(2)

設控制律

iq=u0+v

其中PI控制律u0為

u0=-Kiz1-Kpz2

其中，Ki>0為積分系數，Kp>0為比例系數，現需要確定滑模控制律v。

設

(3)

其中滑模變量

s:=z1+cz2+cωc,c=Kp/Ki

開關變量

σ1=1,當sω<0時,σ1=0,其他

σ2=1,當sθ<0時,σ2=0,其他

常增益ks>0為任意小的正常數。下面給出定理1。

證明：設第一個Lyapunov函數為

則對V1求導，再代入控制律(3)，得到

所以當s≠0時，s在有限時間內收斂為0。當s=0時，再設第2個Lyapunov函數

所以如果在時刻t0時s(t0)=0，則在任意時刻t>t0，當t→∞時，

s(t)≡0?V2(t)→0?z1(t)→-cωc?z2(t)→0

所以閉環系統漸近穩定，證畢。

從式(3)中可見，滑模PI控制律需要已知的變量包括：θ,ω,Jmax,bmin,dfmax,dθ,dmax。其中：θ,ω需要用卡爾曼濾波算法進行估計；Jmax,bmin,dfmax,dθ是負載的固有物理量，可以經過事先實驗測得；dmax取決于位置環的控制律，是已知的。

可以看出滑模PI算法有以下3個優點：1) 需要在線估計的物理量較少，有可操作性；2) 只需已知轉動慣量上界和力矩系數下界，所以這一算法是通過施加強控制力來使系統穩定：只要增加控制力，就能提高魯棒性；3) 傳統PI控制律需要同時控制2個變量：跟蹤誤差和其積分，而滑模PI控制律只需控制一個變量s，這對于超低速工況是實用的。

2 卡爾曼濾波算法

本文提出的卡爾曼濾波算法參考了文獻[19]的設計，但是在處理干擾力矩方面有所不同。

伺服系統的勻速運動離散化方程為

(4)

式中，下標k表示該變量為第k個采樣周期的變量。基于(4)的卡爾曼濾波的過程及測量方程如下：

其中，X=[θ,ω]T為狀態變量，a表示角加速度，z為角度測量值，w,v分別為過程噪聲和測量噪聲，A,B,C定義為：

卡爾曼濾波算法如下：

(5)

在算法(5)的實施中需要已知角加速度ak，電機勻速轉動時ak約等于0，但是在仿真試驗中可以發現如果令ak恒等于0，則濾波性能較差。根據式(1)可知，ak的準確值應為

其中，iqk為第k個周期的q軸電流值，可以在線測量，但是在實際工程中b(t),J(t),df(t)未必已知，且θk和ωk尚需要進行估計。因此本文中提出ak的估計方法為

這一估計方法與文獻[19]不同，優點是：避免了控制與狀態觀測的耦合，信號的因果關系明確，易于工程實現。

3 基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法在空間轉臺超低速控制中的應用

在空間軌道運行的某型號高精度轉臺上的負載由PMSM拖動。PMSM的控制通常由外到內分為三環：位置環、速度環和電流環。一個典型的三環控制框圖如圖1所示。

圖1 PMSM的三環控制結構

圖1中APR，ASR和ACR分別表示位置環、速度環和電流環控制律，本文提出的算法可以被用來改進綠色虛線框中的環節。在空間高精度二維轉臺的一些應用場景中，要求負載繞方位軸和俯仰軸緩慢地勻速轉動，對一定范圍的空間區域進行掃描。這一具體要求體現在PMSM系統中，可以抽象為：位置環輸出恒定非零的速度環指令，要求PMSM轉速以足夠高的精度穩態精度可能要求達到0.01(°)/s跟蹤恒定的速度環指令。當速度環指令很小(可能達到0.05(°)/s)時，會帶來難以解決的控制問題，主要體現在如下3個方面：

1)電機轉速過低時，無法用傳感器直接測量速度，需要從角度信息中提取出速度信息；

2)摩擦力矩和電纜力矩在系統模型中呈現非線性，低速運行時，靜摩擦力的影響不可忽視；

3)由于二維轉臺兩軸間的耦合性，繞方位軸的轉動慣量會有很大幅度的變化，可能影響控制性能。

本文提出了基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法來解決這3個問題。綜合考慮第1節和第2節的算法，進行控制和狀態估計一體化設計：在每時每刻利用前一采樣時刻的估計值，用第2節的卡爾曼濾波算法求出當前時刻的估計值，然后將這一估計值代入到第1節的滑模PI控制律中求解電流環指令。這樣得到的基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法如下：

2)根據算法(5)計算出Xk,Pk，令θk=Xk(1),ωk=Xk(2)；

3)計算z2:=ωk-ωc，z1:=z1+Tz2；

4)計算PI控制輸入和滑模控制輸入：

u0k=-Kiz1-Kpz2

(6)

其中

σ1k=1,當sωk<0時，σ1k=0,其他

σ2k=1,當sθk<0時，σ2k=0,其他

5)輸出電流環指令iqck=u0k+vk。

由于這一算法常用于轉臺的恒定轉速控制，因此可以取定dmax=0。

基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法的控制框圖如圖2所示。

圖2 控制框圖

針對二維轉臺超低速控制面臨的3個控制問題，基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法在以下3個方面予以解決：

1)卡爾曼濾波器的設計考慮了滑模控制固有的抖振現象，可以根據電流環輸出和位置環輸出估計出較為準確的角速度，根據文獻[20]的定理2.10可知，卡爾曼濾波器能夠實現無偏估計。

2)由定理1的證明可知，滑模控制算法以盡可能大的控制力使滑模變量收斂為0，使得摩擦力矩和電纜力矩對滑模變量的收斂速度沒有影響，進而對速度跟蹤誤差的收斂性沒有影響。

3)由式(3)可見，滑模PI控制律不需要已知當前的轉動慣量大小，只需已知轉動慣量的最大值，再由定理1的證明可知轉動慣量的變化對系統穩定性沒有影響，對滑模變量的收斂速度也沒有影響。

4 仿真校驗

根據某型二維轉臺負載和電機型號確定模型參數，其中J≤12kg·m2，b≥7N·m/A，轉動慣量時變，按照圖1搭建Simulink仿真模型，用基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法改進速度環。現給定角度測量干擾的標準差為0.001°，要求速度跟蹤的穩態跟蹤誤差在0.01(°)/s以下。

首先給出超低速工況(速度跟蹤指令為0.05(°)/s)下的仿真結果，與傳統的PI控制+T法測速方法進行了對比，如圖3所示。

圖3 超低速工況下的仿真曲線

由圖3可見，卡爾曼濾波算法保證在超低速工況下速度估計誤差始終在0.006(°)/s以下，如圖3(c)所示。同時從圖3(c)中可見T法測速的估計誤差遠遠大于卡爾曼濾波的估計誤差，這會引起控制性能的下降。滑模PI控制算法保證了速度跟蹤性能良好，如圖3(a)所示。由圖3(d)可見q軸電流始終在0.2A內變化。由圖3(b)可見，基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法保證速度跟蹤的穩態誤差在0.005(°)/s以下，滿足控制精度要求，而傳統方法不能滿足設計要求。

由圖3(b)可見本文提出的算法并不能保證跟蹤誤差在0(°)/s左右變動，這是因為卡爾曼濾波器對速度估計始終有一個正的偏差，如圖3(c)所示。這可能是卡爾曼濾波算法中對干擾的估計不精確引起的。更多的仿真試驗結果表明，隨著速度指令的提高，速度估計的偏差逐漸減小，直到不明顯。而速度跟蹤精度與速度指令基本無關，始終能夠保持跟蹤精度小于0.01(°)/s。在不同速度指令下，本文提出的算法與PI控制+T法測速方法的控制精度對比如圖4所示。

圖4 不同速度指令下跟蹤精度對比

從圖4可見，本文提出的算法在速度指令提高時精度更高，而傳統方法正好相反。這是因為T法測速在速度指令提高時，差分運算時會引入更大的噪聲。

下面給出速度指令階躍變化工況下的速度響應，速度指令為0.05(°)/s→0.25(°)/s→0.15(°)/s。仿真結果如圖5所示。

圖5 階梯速度指令下的仿真曲線

仿真結果表明卡爾曼濾波的速度估計誤差始終在0.004(°)/s以下，如圖5(c)所示。同時滑模控制算法保證了速度跟蹤性能良好，速度動態接近一階慣性環節，如圖5(a)所示。由圖5(b)可見，速度跟蹤的穩態誤差在0.004(°)/s以下，滿足控制精度要求。

5 結論

提出了一種基于滑模PI控制的卡爾曼濾波算法，用于空間高精度二維轉臺上PMSM的低速控制。這種算法改進了傳統的PI控制+T法測速方法，有以下3個優點：1)卡爾曼濾波算法能夠更準確地估計較低的轉速，提高控制精度；2) 能夠克服非線性干擾力矩引起的低頻干擾；3) 對模型不確定性具有足夠強的魯棒性。仿真試驗結果表明，當PMSM運行于低速區域時，本文提出的算法對環境噪聲有足夠強的魯棒性，能夠保證閉環系統的速度跟蹤性能良好；在超低速工況下，本文算法保證速度跟蹤精度較PI控制+T法測速更優，且速度估計誤差遠低于PI控制+T法測速。