一種基于偏振度估計的自適應導航方法*

張 原 邢 琰 熊 凱

北京控制工程研究所，北京 100094

0 引 言

太陽光在穿過地球大氣層時會發生散射現象，形成大氣偏振光。包括砂蟻和蜜蜂在內的許多動物都能利用大氣偏振光獲取方向信息，進行導航[1]。

基于偏振光的定向方法具有抗干擾性強，自身無源等優點，是一種完全自主的導航方式[1-4]。將偏振光與SINS、GPS等進行組合可以有效提高系統導航精度。同時，基于偏振光的導航方式還具備測量誤差不隨時間累積發散、敏感器體積小的優點，具有廣泛的應用價值。

現有的應用偏振光導航的方法中，大多通過偏振光敏感器的輸出解算偏振方向角，然后利用偏振方向角進行導航[1-5]。雖然有誤差補償與標定的過程[6-7]，但是讓偏振光敏感器的測量獨立于導航系統的其他部分，其測量誤差仍會一直存在于此后的導航運算中。光電式偏振光敏感器依據其測量原理，其誤差參數對于輸出結果的計算有相當的影響，尤其是偏振度的解算受影響極大。實際應用中，偏振度雖然不直接用于導航，卻與偏振光敏感器測量精度直接相關。事實上，當偏振度低到一定程度(通常認為小于0.05)時，偏振光敏感器輸出的信噪比會變得極低，此時其測量結果將不再可信[1]。然而現有的偏振光導航方法中，很少考慮到偏振度[1-5]。

針對現有的偏振光導航方法對于偏振度的重視不足，為了能夠準確地獲得偏振度，本文提出了一種應用于最大偏振度的“當前”統計模型估計方法，同時應用于導航中。“當前”統計模型是我國學者周宏仁在singer模型的基礎上，假設當前的加速度為瑞利分布提出的一種加速度預測模型[8]。自提出以后，許多學者都進行了相關的研究，其應用十分廣泛[9-11]。該方法借鑒機動目標跟蹤中的加速度“當前”統計模型的思想，根據最大偏振度本身的物理特性，假設被測量天空區域當前的最大偏振度為修正的瑞利分布，提出了均值自適應模型。仿真結果表明，該方法能夠在載體運動中準確地跟蹤最大偏振度的變化。

1 大氣偏振模式

太陽光在大氣中傳輸時，被大氣層中的空氣分子、氣溶膠粒子散射，大氣散射輻射具有偏振特性。在晴朗無云的條件下，大氣對于太陽光的散射主要是瑞利散射，散射后的光線主要是線偏振光，線偏振光以偏振度和偏振化方向來描述[1]。

偏振化方向為偏振光最大偏振度的方向，偏振方向同觀測點位置的太陽矢量方向垂直。偏振度P由散射角θ決定，散射角為散射后的光線傳播方向與原傳播方向的夾角

(1)

其中Pmax表示最大偏振度，理想天氣情況下Pmax=1。

太陽和天頂的連線稱為太陽子午線。根據瑞利散射理論，大氣偏振模式關于太陽子午線與太陽矢量所在的平面呈對稱分布[1]，如圖1所示，圖中虛線表示偏振方向。

圖1 大氣偏振模式示意圖

2 偏振光測量

2.1 偏振光敏感器工作原理

偏振光敏感器的結構如圖2所示，主要結構一對偏振敏感單元和一個對數減法器。偏振敏感單元由色彩濾光片、偏振片和光電轉換元件組成[2]。

圖2 敏感器結構示意圖

兩個偏振敏感單元的偏振片的極化方向相互垂直，天空偏振光經過敏感單元后兩路信號經過對數減法器形成敏感器輸出。其輸出為

(2)

其中P表示偏振度，φ表示太陽光最大偏振方向與第一敏感單元中偏振片極化方向的夾角。通常情況下，偏振光敏感器設置為三組，偏振片極化方向依次增加π/3，考慮到元器件參數、安裝等帶來的誤差，綜合各種誤差因素后實際的輸出為

(3)

其中Δfpi(i=1,2,3)表示是加性誤差，Δki(i=1,2,3)表示乘性誤差，Wfpi(i=1,2,3)表示測量噪聲，為0均值白噪聲。其中各路敏感器的Δki(i=1,2,3)不同所導致計算時的誤差影響最大。

偏振光敏感器誤差系數的來源通常是元器件參數不一致以及安裝誤差等導致的，一般通過標定獲得，不考慮標定殘差認為是固定的常數[5-6]。

2.2 偏振光敏感器輸入角與航向

所使用的坐標系定義如下：

載體坐標系(簡稱b系)：載體坐標系固聯在載體上，坐標原點在載體的質心，x軸沿載體橫軸指向右，y軸沿載體縱軸指向前，z軸垂直x-y平面，并沿載體的豎軸指向上。

導航坐標系(簡稱n系)：以載體質心為坐標原點，x軸正方向指向東，y軸正方向指向北，z軸正方向指向天頂向上。

敏感器坐標系(簡稱m系)：以偏振光敏感器參考方向為x軸，在不考慮安裝誤差的情況下相當于等于b系繞z軸轉-90°,對應旋轉矩陣為

(4)

(5)

(6)

俯仰角和滾轉角可以通過其他測量得到，因此式(6)可以看作偏振光敏感器輸入角與載體航向間的關系式。

假設載體運動方向在水平面的投影與航向一致，以速度的方向表示載體運動方向，則有

(7)

其中ve表示東方向速度，vn表示北方向速度。

3 跟蹤導航濾波器結構

3.1 最大偏振度的“當前”統計模型

“當前”統計模型是機動目標跟蹤中常用的一種表征目標加速度統計特性的模型。目標以某一加速度機動時，“當前”統計模型認為機動加速度可能取值的范圍可以縮小。因為當目標現時正以某一加速度進行機動時, 下一瞬時機動加速度的取值范圍是有限的, 而且總是在“當前”加速度值附近。

針對最大偏振度的這一特性，可以參考加速度“當前”統計模型的思想，構建類似的最大偏振度“當前”統計模型。

加速度“當前”統計模型認為，由于物理上的限制, 目標現時加速度值越大, 在下一瞬時目標加速度大幅度偏離此值的概率就越小。因此采用修正的瑞利分布來描述加速度的統計特性。

參考加速度“當前”統計模型，最大偏振度的概率密度采用修正的瑞利分布來描述，當前最大偏振度預測值為最大偏振度均值。

(8)

其中μ為唯一待定參數，根據均值即為分布的期望可得到

(9)

其中E[Pmax]為最大偏振度均值，在每一個時刻μ有確定取值，各時刻不一定相同，相應的最大偏振度方差為

(10)

采用一階時間相關模型來描述最大偏振度：

(11)

3.2 最大偏振度方差自適應導航算法

所研究的問題針對地表附近的情況，加速度的測量通過加速度計獲得。選取導航濾波用的狀態變量為

X=[δvTPmax(Δb)T]T

(12)

其中δv速度誤差，Δb表示加速度計漂移矢量。

根據式(1)，實時的最大偏振度Pmax可以通過偏振度P和散射角θ反向求取。太陽矢量的反方向即為太陽光原本的傳播方向，視線方向的反方向即為散射后偏振光的傳播方向，這兩個方向的夾角即為散射角θ，有

(13)

θ不在濾波器中估計，作為一個參量處理。

根據捷聯慣導速度誤差方程，不考慮姿態誤差，有

(14)

(15)

綜合上述各式可以得到導航使用的狀態方程

其中

(16)

其中-α3×3=diag(-αbe,-αbn,-αbu)，αbe，αbn，αbu分別為對應的時間常數的倒數，Wb為加速度計比力測量噪聲。

對于式(3)而言，任意一路的偏振光測量模型均存在P和φ的取值不唯一卻使得輸出結果相同的情況，因此需要至少兩個偏振光敏感器輸出作為測量，以保證Pmax和ψ能夠被估計。其中任意兩組均可作為測量使用，這里選用前兩組。

考慮速度誤差的存在，式(7)可表示為

(17)

以加速度計輸出為

(18)

其中[·]×表示對應的反對稱矩陣，F表示加速度計輸出矢量，a，g和v分別表示導航系下的加速度矢量、重力矢量和速度矢量，ωie表示地球自傳角速度，ωen表示在地球表面附近移動因地球表面彎曲引起的導航系旋轉角速度，WF表示加速度計測量噪聲，為0均值白噪聲。

偏振光敏感器輸出取前兩路

(19)

式(17)和(19)構成了偏振光敏感器與速度的內在聯系。

考慮到式(3)中存在速度誤差和速度保持同步變化的情況，這會使得含誤差的速度方向與真實速度方向保持一致，此時僅依靠偏振光敏感器并不能對速度誤差的估計有所幫助，因此需要引入新的測量，這里選取里程計作為新的測量工具。考慮到隨運行時間增加，里程計輸出數量級會遠大于加速度計和偏振光敏感器，因此這里選取里程計輸出的增量Δs作為測量值使用。有

(20)

其中Δt表示采樣周期，Vs表示測量噪聲。式(19)和式(20)聯立則為量測方程，含有誤差的速度通過加速度計解算得到。

4 仿真校驗

仿真中設定載體運動軌跡為起始靜止，以4m/s2加速度在30°角斜坡上運動，水平方向為北偏東33°，加速20s后開始勻速運動，斜坡勻速運動10s后轉為平地勻速運動，50s后以4 m/s2減速運動10s，之后保持線速度不變以6(°)/s角速度向右旋轉360°后結束。運動過程包括上坡、加減速和轉向。

采樣周期0.01s。初始時刻太陽方位角1.6902rad，太陽高度角0.1959rad，Pmax=0.4。地理位置東經E110°北緯N38°。偏振光敏感器的誤差參數為Δk1=0.90, Δk2=1.05, Δfp1=0.010, Δfp2=0.012 偏振光敏感器測量噪聲方差2.5×10-4， 誤差條件下直接利用測量計算偏振光敏感器的輸入角誤差在0.12rad左右[11-12]。

Pmax按照如圖3所示規律進行變化，其過程包括線性增加和減少以及按照三角函數波動變化。

圖3 最大偏振度變化曲線

仿真結果如圖4和圖5所示。

圖4 最大偏振度估計誤差

圖5 速度誤差的估計誤差

仿真結果顯示，濾波后速度誤差，最大偏振度和加速度計漂移均收斂。

1)載體姿態不變僅在加速和勻速之間轉換時，估計誤差變化較小，說明加速度的變化對估計結果影響較小；

2)載體轉向時，航向角時刻在變化，使得偏振光敏感器輸入時刻變化，反映到濾波結果中就是最大偏振度誤差在產生小量波動；

3)最大偏振度估計發生波動時，速度誤差估計真實值附近發生波動，這是由于偏振光敏感期中偏振度與偏振方向的耦合，導致了以偏振方向作為速度方向校正時估計誤差隨著偏振度產生波動，反映了偏振度變化對導航精度的影響。

圖6 模型最大偏振度估計結果和估計誤差

5 結論

“當前”統計模型作為機動目標跟蹤中應用最廣泛的模型，有其優越性。根據模型假設中的共通處，本文提出了一種最大偏振度的“當前”統計模型，并應用于導航中。利用偏振光敏感器輸出和里程計增量輸出為測量，以及偏振光敏感器輸入角與航向之間的關系來同時估計加速度計速度誤差和最大偏振度。相對于以往的偏振光導航方法，該方法直接使用偏振光敏感器的輸出作為測量，取消了解算偏振方向角的過程，通過濾波器估計最大偏振度，將最大偏振度納入了導航系統的考慮范圍。數值仿真結果表明，該方法可以實現對于速度偏差信息和最大偏振度的估計，對于最大偏振度有良好的跟蹤效果。