大規模MIMO系統中塊高斯-賽德爾檢測算法*

葉倩倩，張治中，閔小芳，胡昊南

(重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

0 引 言

大規模多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)技術通過充分利用空間資源來提高無線通信的數據速率、頻譜效率和能源效率[1-4]。由于該技術增加了基站側和用戶側的天線數量，導致信號在接收端產生疊加，因此需要MIMO檢測算法對接收端的信號進行處理，恢復出發送信號。

最小均方誤差(Minimum Mean Square Error,MMSE)算法[5-6]利用“信道硬化”現象[7]可以實現接近最佳的誤碼率(Bit Error Ratio,BER)性能，而被認為是大規模MIMO系統最具有潛力的檢測算法之一。與具有檢測性能最優的最大似然(Maximum Likelihood,ML)算法[8]相比，雖然MMSE檢測算法復雜度得到了極大程度的降低，但仍存在高維矩陣求逆運算，復雜度為O(K3)。因此，近年來國內外學者著重于研究基于MMSE的近似檢測算法來避免矩陣求逆。文獻[9]提出利用Neumann級數展開算法，實現了復雜度從O(K3)到O(K2)的降低，但性能損失很大。文獻[10]提出了一種共軛梯度法，能夠實現比Neumann級數展開算法更優的性能，但是性能受搜索方向和步長影響較大。一些文獻也提出了通過求線性方程最優解避免矩陣求逆，如理查德森迭代[11](Richardson,RI)、雅克比迭代[12](Jacobi,JC)、對稱連續超松弛迭代[13](Symmetric Successive Over-Relaxation,SSOR)、Kaczmarz迭代[14]等算法雖然可以有效降低復雜度，但收斂性并不是很好。

針對天線規模增大而出現的傳統檢測算法高維度矩陣求逆等問題，本文將高斯-賽德爾[15](Gauss-Seidel,GS)迭代算法應用于大規模MIMO系統中，通過求解線性方程來避免復雜的高維度矩陣求逆，從而得到發送向量估計值。為了進一步加快GS算法收斂速率，本文提出一種低復雜度BGS信號檢測算法，將MMSE檢測器的濾波矩陣進行分塊預處理，然后通過構造分裂矩陣來加快算法的收斂速率，最終達到提高算法檢測性能的目的，且該算法的復雜度能夠在任意迭代次數下保持O(K2)。仿真結果顯示，BGS算法的性能比傳統GS迭代和Neumann級數展開算法更好，而且能以較少的迭代次數逼近MMSE檢測算法的性能曲線。在設定近似初始值后，能夠進一步提升BGS算法檢測性能。

1 系統模型

考慮在大規模MIMO系統上行鏈路中，每個用戶配置單根天線。令K和N分別表示用戶側和基站側的天線數量，且信道為瑞利衰落信道(該信道可用等效基帶信號表示，也就是說可以用復數來同時表示信道的衰減和時延特性，復數的模描述了信道對信號的衰減，復數的相位描述了信道對信號的時延，且它的實部和虛部服從于零均值的獨立同分布高斯過程)，則接收信號模型可用式(1)表示：

yN×1=HN×KxK×1+nN×1。

(1)

式中：y=[y1,y2,…,yN]T∈CN×1表示接收信號；x=[x1,x2,…,xK]T∈CK×1表示發射信號；n=[n1,n2,…,nN]T∈CN×1表示服從均值為0、方差為σ2分布的加性高斯白噪聲；H∈CN×K表示瑞利衰落信道矩陣，H(j,i)表示第i根發射天線到第j根接收天線的信道衰落系數。為了避免復雜的復數運算，可將式(1)轉換為等價的實數模型：

y=Hx+n。

(2)

式中：y∈R2N×1，x∈R2K×1，n∈R2N×1，H∈R2N×2K。即式(2)可以表示為

(3)

式中：Re(·)和Im(·)分別表示復數的實部和虛部。

MMSE檢測算法可以實現漸近最優的系統性能，其發送信號的接收估計值可以表示為

(4)

在MMSE檢測算法中，若有一個可逆矩陣X與濾波矩陣W近似，并滿足

(5)

則W-1可用式(6)表示：

(6)

當N?K時，W具有對角占優特性。若式(6)中的X用D來表示：

(7)

式中：D為W的對角矩陣，E=W-D。在Neumann級數展開中，若只取式(7)的前i項，則

(8)

雖然該算法在極大程度上減少了算法復雜度，但是當i≥3時，其計算復雜度仍為O(K3)。

2 基于GS改進的檢測算法

2.1 BGS迭代算法

本文將矩陣求逆問題轉換為求解形如Ax=b的K維線性方程。在大規模MIMO系統中的信道矩陣H滿秩，并且滿足列漸進正交，因此W是對稱正定矩陣。基于此，可以引入GS算法求解該問題。為了進一步加快GS算法收斂速率，本文提出的BGS信號檢測算法對GS算法的濾波矩陣分解進行優化處理，將分解公式W=D-L-U中的對角矩陣D轉化為分裂矩陣DB。而分裂矩陣DB則是由濾波矩陣W進行分塊預處理構造，可以表示為

(9)

式中：ai,j和di,j分別表示矩陣A和矩陣DB的第i行第j列元素。

將DB帶入GS算法的分解公式，則

W=DB-LB-UB。

(10)

式中：DB為W的分塊對角矩陣，LB和UB分別為W的分塊下三角矩陣和分塊上三角矩陣。

因此，BGS算法的迭代方程為

(11)

式中：x(0)是初始解。

令B=(DB-LB)-1UB，則式(11)表示為

(12)

式中：B表示BGS算法迭代矩陣。

綜上所述，基于BGS的信號檢測算法偽代碼如下：

輸入：信道衰落矩陣H，接收信號y；

(1) 計算MMSE濾波矩陣W=HHH+δ2I；

(3) 初始化：x(0)=0；

(4) 根據式(9)計算分塊對角矩陣DB；

(5)計算LB和UB；

(6)循環

(7) fori=0,1,2,3,…

(8) 根據式(11)更新x(i+1)；

(9) end for

在大規模MIMO系統中，由于N?K，所以為了減少算法收斂所需要的迭代次數，采用一種近似的初始估計值[16]，如下所示：

(13)

式中：D表示W的對角矩。

2.2 收斂性分析

迭代矩陣B=(DB-LB)-1UB的特征多項式為

|λI-B|=|λI-(DB-LB)-1UB|=

|(DB-LB)-1(λ(DB-LB)-UB)| 。

(14)

由于|(DB-LB)-1|≠0，所以特征值滿足

|(λ(DB-LB)-UB)|=0 。

(15)

又因為濾波矩陣W具有對角占優特性，所以式(15)高次方程的根模|λ|<1，因此該迭代過程是收斂的。

2.3 復雜度分析

(16)

由式(16)可知，所提出的BGS信號檢測算法的第i次迭代的計算復雜度來自兩部分[17]。

第二部分是求解線性方程(16)。令F=(DB-LB)，式(16)的計算如下：

當m=1時，

(17)

當m=3,5,…,K-1時，

(18)

式(17)和(18)中的fm,m表示F的第m行m列元素，m=1,3,5,…,K-1。

綜上所述，該算法的復雜度能夠在任意迭代次數下保持O(K2)。表1給出了不同算法的計算復雜度。

表1 不同算法的復雜度

3 仿真與分析

3.1 收斂率仿真

為了驗證本文所提出算法的收斂速率，本節通過Matlab仿真，對比分析基于GS信號檢測算法和基于BGS信號檢測算法的收斂性。設基帶信號為64QAM調制，K=16，并定義α=N/K。以‖x(i+1)-x(i)‖作為檢測算法收斂誤差的準則，兩種算法在不同天線規模下的收斂誤差仿真如圖1所示。

圖1 不同算法的收斂速率對比

圖1中可以看到，GS算法和BGS算法在大規模MIMO信號檢測中的收斂性較好，能夠以較低的迭代次數使收斂誤差達到在10-5。此外，當天線規模相同時，本文所提出的BGS算法的仿真曲線位于GS算法的下方，可以判斷出BGS算法收斂速度更快，并且算法的收斂速度隨著α的增加而加快。

3.2 BER性能仿真

為了驗證本文所提出算法的檢測性能，本節給出Matlab環境下的蒙特卡洛仿真結果，對比分析MMSE算法、Neumann算法、GS算法以及BGS算法在不同天線規模和調制階數下的BER性能。大規模MIMO系統上行鏈路中，假設每個用戶為單天線模式。在瑞利衰落信道中，設置各天線的發射功率為1 W，基帶信號調制方式為64QAM調制，天線規模N×K為64×16、128×16、256×16的仿真結果分別如圖2(a)～(c)所示，其中i表示不同算法迭代次數以及Neumann級數的展開項數。

圖2 64QAM調制下不同檢測算法的BER性能對比

由圖2(a)可知，當迭代次數i增加時，不同算法的檢測性得到了不同程度的改善。以MMSE算法BER性能曲線作為參考，在迭代次數相同的條件下，Neumann級數和GS算法檢測性能不如BGS算法。在大規模MIMO系統中，BGS算法中的分裂矩陣DB比GS算法中的對角矩陣D含有更多的信道信息，可以有效降低系統的誤碼率，加快算法收斂速率，以較少的迭代次數逼近MMSE檢測性能。在N×K為64×16、迭代次數i=4時，BGS算法的檢測性能便能和MMSE算法相匹配。當基站側的天線數量增加時，能提供的分集增益越高，通過分析圖2可以看出，不同算法的檢測性能都隨著α的增加而得到極大的提升。在相同誤碼率下，N×K為64×16時比N×K為128×16時需要的信噪比更高，而N×K為128×16時比N×K為256×16時需要的信噪比更高，且N×K為256×16的性能比N×K為64×16的性能有8 dB左右的增益。

此外，在相同信道和天線發射功率下，設置基帶信號調制方式為256QAM調制，天線規模N×K為64×16、128×16、256×16的仿真結果分別如圖3(a)～(c)所示，其中i表示不同算法迭代次數以及Neumann級數的展開項數。

圖3 256QAM調制下不同檢測算法的BER性能對比

由圖2和圖3可知，當采用256QAM調制時，各算法所需要的信噪比比64QAM調制更高，其性能損失超過了5 dB。此外，當N×K為128×16時，BGS算法只需要迭代3次就可達到近似MMSE檢測算法的BER性能，此時BGS算法復雜度僅為MMSE算法的16.41%，對比GS迭代算法復雜度降低了12.5%。

為了進一步提高高階調制下系統的檢測性能，采用式(13)的近似初始估計值與零向量初始值進行仿真比較。設基帶信號為256QAM調制，N×K=256×16，i=2的仿真如圖4所示。

圖4 設置初始值的BGS算法BER性能對比

由圖4可知，若采用近似初始值，BGS算法能在迭代次數i=2時接近MMSE的BER性能曲線，而此時算法的復雜度仍然保持在O(K2)。因此，采用近似初始估計值的BGS算法在高階調制下的大規模MIMO系統中具有較好的檢測性能。

4 結 論

本文引入GS算法來求解大規模MIMO信號檢測高維度矩陣求逆問題，通過迭代得到發送信號估計值。為了加快算法收斂速率，提出了BGS信號檢測算法。通過理論分析，BGS算法復雜度能夠在不同迭代次數下保持在O(K2)；通過仿真分析，在大規模MIMO系統中，不僅BGS算法收斂性較好，而且檢測性能比Neumann級數算法和GS算法也更好。在設置近似初始值后，在高階調制下的大規模MIMO系統中也能夠近似MMSE檢測性能。由理論推導和仿真分析可知，BGS算法可適用于大規模MIMO信號檢測。