植根數學本質 發展學科能力

吳英慧

《義務教育數學課程標準（2011版）》提出：數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識和技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。學生在數學學習中除了掌握基本的數學知識和技能，更重要的是通過具體的知識的學習，學會用數學思維思考。義務教育教科書人教版小學數學中的最后一單元為“數學廣角”，大多數教師對于“數學廣角”內容的教學都停留在了數學知識和技能上，而忽略了具體知識下的學科本質和學科能力的培養。本文以人教版五年級下冊的“數學廣角——找次品”為例，從三個方面談談自己的認識 。

一、創設情境，滲透三分原理

本單元的內容分為兩個例題，例題1的題干是在3個產品中抽檢到1件次品。在該題目中，學生初識“找次品”問題，需要掌握“找次品”問題的基本思路和方法。例題2是從8個零件中找到1個次品，探索找次品的一般方法。教材例題的情境設置以天平為工具，從簡單到復雜，從特殊到一般，讓學生在比較、猜想、驗證的活動中逐步感悟、總結和提煉。因此對于例題2，大多數教師的教學設計為把從8個零件中找1個次品的所有分法列舉出來，通過比較觀察發現把8個零件平均分成3份來稱量，所需的次數是最少的。如此下來學生雖然掌握了最優策略的技巧，但并不清楚為什么要盡量平均分成3份找到次品的次數就是最少的。

要理解到這樣的層面對于學生來說是存在一定的困難的，也是教師教學中經常忽略的。華羅庚曾經說過，對數學產生枯燥乏味、神秘難懂的印象的主要原因就是脫離實際生活。因此在教學中，創設多樣的現實情境，易于學生理解。如上課伊始，創設游戲情境，4個同學為一組合作，如何最快地在100個“張”字中找到“弧”字。學生在游戲中發現，分工合作，把100個平均分成4份，每個人在25個中找，可以把目標確定在更小的范圍。如果5個、6個……為一組合作，便可以盡量地平均分成5份、6份……在游戲中，滲透了找到最優策略的依據是由人數決定的。在探究利用天平找到次品時，學生通過遷移能夠更好地理解把待測物品分成3份也是由天平決定的。

二、聯結知識，體會優化本質

數學學習是一個新舊知識進行關聯形成新結構的過程。一直以來，教師總是習慣于根據教材編排進行“點狀式”教學，忽略了把完整的知識結構呈現給學生。結合之前所學的“沏茶問題”的優化本質是“能同時做的事情同時做”，“烙餅問題”的優化本質是“每次烙餅懂充分利用鍋位”，“打電話問題”的優化本質是“每分鐘都不放空接到通知的人”。

再看“找次品”問題的優化本質是“每次稱重都將次品限制在最少數量中”，而教材選擇的問題情境是根據天平的特點，次品的位置只能出現在左端托盤、右端托盤和剩余產品這三個位置中。通過“稱一次”就可以確定出次品的位置。想要達到稱量次數最少的目的，即要將完成稱量后將其限制在更小范圍內。因此，要使得這三個位置的數量盡可能相同，這樣無論次品在三個位置中的哪一個，都是在總數的三分之一里找次品，因此“找次品問題”的優化本質也可以轉化為“要把天平內外的三個位置都盡可能放滿”。

當學完“找次品問題”，教師有意識地引導學生去關聯、去歸納，在豐富的情境、現實中去抽象出其背后共性的特質，會發現最優策略的本質是將資源最大化地利用。

三、數學表達，發展學科能力

“找次品問題”中的教學目標之一是學習用圖形、符號等直觀方式清晰、簡明地表示數學思維的過程，培養邏輯思維的能力。“找次品問題”便涉及這樣的思維能力，需要讓學生抽象出一架虛擬的、數學化的天平，因此需要學生在腦海中建立“如果平衡……如果不平衡……”的表象進行邏輯推理。在教學例1時可以設計“你能用自己喜歡的方式表示出稱量的過程嗎？”學生或用口頭表述;或畫出簡易天平的示意圖直觀地呈現天平稱量的過程;或用流程圖;或用樹形圖……不管哪種方式教師都加以肯定，并引導學生進行清晰、嚴謹的邏輯推理。到例2時，零件數增多，推理步驟增加，就應該有意識地引導學生用更加簡潔的方式把各種可能性表示出來進行分析對比。在這個過程中，學生潛移默化地學會了數學的表達，發展了邏輯思維能力，學會用數學的思維進行思考，會用數學的眼光去看世界。

總之，數學的教學應該植根于知識本質，透過知識找到數學的價值，在學生的內心埋下理性的種子。