考慮多軸柔性的人字行星齒輪傳動系統動態特性研究

王繼博

（重慶交通大學 機電與車輛工程學院，重慶 400074）

人字行星齒輪傳動系統具有結構緊湊、傳動平穩以及功率密度高等優點，廣泛應用于航空航天、船舶和風力發電等領域。目前，國內外學者對行星傳動系統的動態特性開展了大量研究，并取得了顯著成果。王峰等[1-2]建立了一種人字齒彎-扭-軸耦合非線性振動模型，研究了人字齒輪的非線性系統振動特性的影響機理；林何等[3]采用集中質量法建立了扭轉非線性動力學模型，研究了人字齒行星齒輪傳動的振動特性；Wang等[4]發現了人字齒行星傳動系統中的耦合振動模式和這些模式的多重性；Wang等[5]提出了一種人字齒輪嚙合振動的可控6階傳動誤差優化設計方法，并驗證了該方法的有效性；任朝暉等[6]建立了一種多自由度斜齒輪-轉子-軸承彎扭軸耦合動力學模型，分析了轉速等參數對傳動系統振動響應特性的影響；徐向陽等[7]建立了一種包含多浮動構件的行星輪系動力學模型，研究了柔性銷軸剛度對行星輪系均載性能的影響；張霖霖等[8]建立了人字齒行星輪系平移-扭轉耦合的非線性動力學模型，研究了嚙合相位對人字齒行星齒輪均載特性的影響；Wei和魏靜等[9-10]采用節點有限元法建立人字齒星型輪系動力學模型，研究了星型輪系的動態均載性能。

1 系統基本參數

圖1為典型的人字行星齒輪傳動系統，左端輸入，右端輸出。法向模數為15，壓力角為25°，螺旋角為8°，單側齒寬為185 mm，退刀槽寬度為40 mm。內齒圈、太陽輪、行星輪齒數分別為95、21、37。

圖1 人字行星齒輪傳動系

2 人字行星齒輪傳動系統動力學模型

基于廣義有限元思想，將系統劃分為軸段單元、嚙合單元和軸承單元[11]。

2.1 軸段單元

本文采用Timoshenko梁單元建立軸段單元的微分運動方程：

式中：Mi為軸段單元的質量矩陣；Ci為軸段單元的阻尼矩陣；Ki為軸段單元的剛度矩陣；分別為軸段單元的位移矩陣、速度矩陣和加速度矩陣。

2.2 齒輪嚙合單元

將人字齒等效為兩個螺旋線相反的斜齒輪，嚙合齒輪副沿輪齒嚙合線方向的相對總變形δ為：

式中：V為齒輪位移的投影向量；q為嚙合單元的位移列向量；e表示齒輪副的綜合嚙合誤差。

嚙合單元的運動微分方程為：

式中：mi（i=s、r、p）為齒輪質量；β為單側斜齒輪螺旋角；γ為齒輪嚙合角；Ixi、Iyi、Izi（i=s、r、p）為齒輪繞x、y、z這3個坐標軸的轉動慣量；c、k為齒輪嚙合剛度和阻尼；分別為齒輪在x、y、z坐標軸方向的加速度和繞三個坐標軸的角加速度。

2.3 軸承單元

將軸承支撐單元等效為彈簧和阻尼元件，其動力學方程為：

式中：Mb為軸承節點的質量矩陣；qb為軸承節點的位移列向量；Cb、Kb為軸承單元的阻尼、剛度矩陣。

2.4 系統整體動力學模型

根據有限元剛度矩陣的組裝原則，得到系統整體剛度矩陣，其整體運動微分方程為：

式中：Mz為系統的總體質量矩陣；Cz、Kz為系統的整體阻尼、剛度矩陣；Fz為外部激振力列向量；Y(t)為系統中所有節點的位移列向量。

3 系統動態參數的確定

3.1 時變嚙合剛度

基于Maatarm的時變嚙合剛度計算公式[12]，計算人字齒的時變嚙合剛度為：

式中：k0為單位接觸線長度的斜齒輪平均嚙合剛度；L(t)是人字齒輪中的單側斜齒輪接觸線長度相對于時間的函數。

3.2 嚙合相位

各行星輪之間嚙合相位差計算公式如下：

式中：v表示第v個行星輪；N為行星輪總數；Zs和Zr分別為太陽輪和內齒圈齒數。

3.3 綜合嚙合誤差

綜合嚙合誤差為：式中：為齒輪偏心誤差；為齒形誤差引起的等效嚙合誤差。

4 動態特性

4.1 軸柔性對動態嚙合力的影響

根據圖2和圖3可以看出：考慮太陽輪軸柔性后，外嚙合的左右齒動態嚙合力的數值相差不大；當嚙合頻率升高到5 000 Hz后，左右齒動態嚙合力數值趨于相等；行星輪軸柔性對外嚙合的動態嚙合力變化影響很小；太陽輪軸柔性和行星輪軸柔性對內嚙合的動態嚙合力影響可以忽略不計。

圖2 sp嚙合副左右齒動態嚙合力

圖3 rp嚙合副左右齒動態嚙合力

4.2 軸柔性對動態傳遞誤差的影響

根據圖4和圖5可以看出，內嚙合和外嚙合的動態傳遞誤差隨嚙合頻率的升高趨近于0。軸柔性變形對內嚙合的動態傳遞誤差影響不大，考慮太陽輪軸柔性后，外嚙合左右齒嚙合的動態傳遞誤差變化趨于相同，且在數值上相差較小，而行星輪軸柔性變形對外嚙合的動態傳遞誤差影響很小。

圖4 sp嚙合副左右齒動態傳遞誤差

圖5 rp嚙合副左右齒動態傳遞誤差

5 結論

（1）軸的柔性變形對外嚙合人字齒輪副左右側斜齒動態嚙合力的影響比內嚙合人字齒輪副左右側斜齒動態嚙合力的影響明顯。隨著嚙合頻率的增加，左右側斜齒動態嚙合力趨于相等。相對于行星輪軸的柔性變形，太陽輪軸的柔性變形對人字行星齒輪傳動系統動態特性的影響效果更顯著。

（2）隨著嚙合頻率的增大，人字行星齒輪傳動系統的內外嚙合動態傳遞誤差逐漸趨近于0。行星輪軸的柔性變形對內外嚙合副的左右側斜齒動態傳遞誤差影響都很微小，太陽輪軸的柔性變形對外嚙合的動態傳遞誤差影響明顯。考慮太陽輪軸柔性變形時，外嚙合左右側斜齒的動態傳遞誤差趨于相等。