基于時變嚙合剛度與齒側間隙的斜齒輪副動力學研究

羅 輯 王繼博 姚 璐

（重慶交通大學 機電與車輛工程學院，重慶 400074）

齒輪作為傳動系統中的主要零部件，其工作性能與力學行為對整個機械設備都有重大影響。齒輪系統的振動與其他構件的振動有著明顯差別，所受動態激勵復雜，需要深入研究各類因素對齒輪系統動力學特性的影響。王峰等[1-2]提出了一種基于接觸分析與齒輪軸扭轉變形的時變嚙合剛度計算方法，基于力與振動位移分解的方法建立了斜齒輪動力學模型。尹樁等[3]發現齒側間隙與嚙合頻率的改變會對斜齒輪副的動力學特性產生較大影響。康博強等[4]發現齒輪系統在特定的參數下會產生劇烈的共振響應與幅值跳躍現象。

本文提出基于時變接觸線長度的斜齒輪副時變嚙合剛度計算方法，對比了不同螺旋角下斜齒輪副的時變嚙合剛度，建立了基于時變嚙合剛度與齒側間隙的斜齒輪副彎扭軸耦合動力學模型，對單對斜齒輪副進行了動力學分析，有助于斜齒輪副的故障診斷與減振設計。

1 齒輪副內部激勵

1.1 時變嚙合剛度

斜齒輪在嚙合時先由一端嚙入，再逐漸從另一端嚙出。嚙合接觸線由短變長，再又長變短。本文通過計算斜齒輪時變嚙合接觸線的長度，求得齒輪的彈性變形，進而求得斜齒輪的時變嚙合剛度。由于實際嚙合接觸線的計算過程復雜，因此在MAATAR等對齒輪瞬時接觸線研究的基礎上，推導出斜齒輪時變嚙合剛度k(t)的計算方法，即[5-7]：

式中：k0為單位接觸線長度的斜齒輪平均嚙合剛度；L(γ)為斜齒輪副瞬時接觸線長度；t為時間歷程；Tm為嚙合周期。

1.2 齒側間隙

由于齒輪副正常嚙合時需要潤滑油來防止齒輪運轉過程中出現齒面溫度升高引起齒面膨脹導致齒輪副卡死的現象，以及齒輪副在制造、安裝過程中存在誤差，因此需要在輪齒嚙合面之間保留一定的齒側間隙。

目前，在齒輪動力學中為了便于計算動態嚙合力，通常采用非線性間隙函數f(x)[8]：

式中，D為齒側間隙的一半。

2 斜齒輪副彎扭軸耦合動力學模型

斜齒輪副運轉過程中，由于斜齒輪副存在螺旋角，會產生較大的軸向力，使得斜齒輪副傳遞不僅存在橫向振動與扭轉振動，還會產生軸向振動。本文使用集中參數法建立了單對斜齒輪副的6自由度彎扭軸耦合動力學模型，如圖1所示。

圖1 單對斜齒輪副6自由度彎扭軸耦合動力學模型

在綜合考慮時變嚙合剛度與齒側間隙的基礎上，根據牛頓運動方程，得到斜齒輪副的動力學微分方程為[9-10]：

式中：mp、mg、Ip、Ig分別為主、從動輪的質量與轉動慣量；yp、yg、zp、zg、θp、θg分別為主、從動輪中心點的切向、軸向與扭轉振動位移；cpy、cgy、kpy、kgy分別為主、從動輪在中心點處的等效支撐阻尼與等效支撐剛度；Fy、Fz分別為齒輪端面嚙合線方向和軸向動態嚙合力；Rp、Rg分別為主、從動輪的節圓半徑；Tp、Tg分別為作用在主、從動輪上的扭矩。

斜齒輪副的法向動態嚙合力Fn可分解為沿齒輪端面嚙合線方向的動態嚙合力Fy與沿齒輪的軸向動態嚙合力Fz，則有：

式中：β為斜齒輪副螺旋角；cm、k(t)分別為斜齒輪副法向嚙合阻尼、法向嚙合剛度；f(x)為齒側間隙函數。

3 實例分析

為進一步研究齒輪系統相關參數對斜齒輪副動力學響應的影響，本文以表1斜齒輪副基本參數為基礎，采用4階龍格庫塔數值積分法[7]在Matlab中進行編程求解，獲取斜齒輪副振動響應。

表1 斜齒輪副基本參數

3.1 螺旋角對斜齒輪副動力學特性的影響

斜齒輪在嚙合過程中，斜齒輪的時變嚙合剛度的幅值波動較為平緩，且隨著螺旋角變化，斜齒輪重合度發生改變，對其時變嚙合剛度也會產生影響。由圖2的不同螺旋角下斜齒輪副時變嚙合剛度曲線可以看出，隨著螺旋角β的增大，斜齒輪副的時變嚙合剛度波動幅值逐漸減小，波形也發生了明顯變化。

圖2 不同螺旋角下斜齒輪副的時變嚙合剛度

通過研究不同螺旋角下主動輪的軸向z振動位移曲線與扭轉振動位移可以發現，主動輪的軸向振動位移存在明顯的周期性，且隨著螺旋角β的增大，主動輪軸向振動位移的分布趨勢大致相同，但其軸向振動位移逐漸增大，振動幅值也逐步上升。如圖3所示，隨著螺旋角β的增大，主動輪扭轉振動位移的波形發生了明顯變化，其振動幅值逐漸減小。

圖3 不同螺旋角下主動輪的扭轉振動位移

由不同螺旋角下斜齒輪副的軸向動態嚙合力Fz可以發現，斜齒輪副的軸向動態嚙合力是隨著螺旋角β的增大而增大的。也就是說，螺旋角越大的斜齒輪副越容易發生軸向竄動。

3.2 不同工況下的斜齒輪副動力學特性

為了研究不同工況對斜齒輪副振動響應的影響，在不改變除斜齒輪副驅動轉矩外其他參數的情況下，對斜齒輪副在不同驅動轉矩下進行了動力學分析。

通過對不同工況下主動輪的切向y振動位移與扭轉振動位移進行研究可以發現，不同工況下主動輪的切向振動位移曲線與扭轉振動位移曲線分布趨勢相同，但其數值與波動幅值隨著驅動扭矩的增大而增大。圖4為不同工況下的主動輪扭轉振動位移。

圖4 不同工況下的主動輪扭轉振動位移

將不同工況下的斜齒輪副沿齒輪端面嚙合線方向的動態嚙合力Fy進行對比可以發現，Fy的數值隨著所施加的驅動扭矩的增大明顯上升，但是其波動趨勢保持不變。

4 結論

（1）對斜齒輪副時變接觸線長度進行推導后，提出了一種基于時變接觸線長度的斜齒輪副時變嚙合剛度計算方法，可以快速有效地求出斜齒輪副的時變嚙合剛度。

（2）基于力、位移分解法建立了綜合考慮時變嚙合剛度與齒側間隙的單對斜齒輪副6自由度彎扭軸耦合動力學模型，并采用4階龍格庫塔數值積分法運用Matlab進行編程求解，獲取了斜齒輪副振動響應。

（3）研究了不同螺旋角與不同工況下的斜齒輪副振動響應之間的變化規律。隨著螺旋角β的增大，時變嚙合剛度波動幅值逐漸減小，主動輪的軸向振動位移逐漸增大，振動幅值逐步上升，扭轉振動位移振動幅值逐漸減小；斜齒輪副軸向動態嚙合力Fz隨著螺旋角β的增大而增大。隨著驅動扭矩的增大，主動輪的切向振動位移與扭轉振動位移分布趨勢相同，但其數值與波動幅值隨著驅動扭矩的增大而增大；斜齒輪副端面嚙合線方向的動態嚙合力Fy隨著所施加的驅動扭矩的增大明顯上升。