可靠度分析中拉丁超立方和傳統舍選抽樣法對比研究

鮑俊文，胡欣宇，邢明源，趙少飛

(華北科技學院 建筑工程學院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

自20世紀中期巖土工程領域開展可靠度研究以來，巖土工程可靠度研究成果在工程實踐中產生了重大影響。目前，蒙特卡羅(Monte Carlo)方法是可靠度分析中的主要手段之一，還是檢驗其它可靠度計算方法精度的唯一途徑。由于巖土工程存在很多不確定性因素，該方法也大量應用到巖土工程可靠度分析。文獻[1]中詳細的介紹了該方法的原理。楊明等[2]應用蒙特卡羅法，分析了均質土坡的穩定可靠度。吳振君等[3]應用該方法對邊坡工程將進行了可靠度分析，討論了拉丁超立方抽樣(LHS)方法和蒙特卡羅傳統抽樣計算可靠度指標的各種方法，得到LHS法較傳統抽樣方法效率上有很大改善。針對蒙特卡羅傳統抽樣方法計算量大的問題，伍國軍等[4]基于拉丁超立方抽樣方法編制了有限元可靠度程序。由于蒙特卡羅方法的結果精度主要取決于抽出樣本的質量,符蓉[5]對比了拉丁超立方抽樣方法與傳統抽樣方法，得出拉丁超立方抽樣方法計算效率明顯優于傳統抽樣方法。曹偉等[6]應用LHS方法進行了邊坡可靠度的有限元分析，認為LHS方法相較于傳統抽樣方法更加高效，且計算結果較為精確。Nguyen和Chowdhury[8]提出一種應用于巖土工程的風險分析方法，得到了良好的結果。

為了對比蒙特卡羅方法中傳統抽樣方法和拉丁超立方抽樣結果的差別，采用Matlab軟件進行抽樣編程，分析了抽樣方法對條形基礎極限承載力可靠度結果的影響。

1 蒙特卡羅方法的原理

蒙特卡羅方法需要首先產生隨機變量樣本，然后計算得到函數的樣本，進而統計失效區域的樣本數來估計失效概率，該方法的優點是概念清晰，易于使用。這種方法的主要缺點是用于準確估計失效概率的樣本數應足夠大。這必然導致過大的計算量[1]。

可以寫成

(1)

(2)

其中，xi是sx(x)的一個樣本，N為樣本總數。

蒙特卡羅法實施即為上述計算積分過程。對于工程失效概率Pf

(3)

(4)

因為I(x)服從二項分布且參數為Pf，其方差為NPf(1-Pf)。Pf是I(x)的均值，Pf的方差可以估計為

(5)

(6)

2 傳統舍選法和拉丁超立方法原理

蒙特卡羅傳統抽樣方法有逆變換法和舍選法，由于逆變換法有一定的條件限制，適用于隨機變量X具有累積分布函數表達式情況。而舍選法僅需要隨機變量的概率密度函數表達式，本文選用舍選法與拉丁超立方抽樣方法進行對比。

2.1 舍選法

假如hX(x)和sY(y)為兩個概率密度函數。先從sY(y)抽取樣本，然后按下面步驟對生成的樣本進行選擇，使得選出的樣本分從hX(x)的分布。具體抽樣步驟如下：

10.秋季仔豬容易發生豬瘟、霉菌中毒、圓環病毒病、副傷寒、豬流感、喘氣病、藍耳病及球蟲病，故建議在此期間針對性的不間斷投服“金泰妙（45%泰妙菌素可溶性粉）”、 “金奇氟(20%替米考星)”、伊愛爾（0.6%伊維菌素預混劑）、“氟力佳（20%氟苯尼考可溶性粉）”，連用5～7 d。

(1) 在sY(y)中抽取一個樣本為y*。

(2) 在均勻分布[0, 1]區間隨機抽一個樣本u，若u

(3) 再重復(1)步驟就可以得到需要的樣本數量。

2.2 拉丁超立方法

在給定抽樣函數情況下, 拉丁超立方抽樣方法更能代表抽樣函數。對于n個相互獨立的隨機變量X1，X，…，Xn，抽樣的具體實施步驟如下:

(1) 每一個隨機變量Xk被分成M個區域，使得xk1

(2) 假定U是服從[0,1]區間上的均勻分布，從中抽取一個樣本u，在每個區域中抽取Xk在第m個區間段抽取的樣本為

(7)

在整個區間，共抽取隨機變量Xk的M個隨機變量。

3 抽樣方法的對比

3.1 條形基礎極限承載力計算

巖土工程中，條形基礎的極限承載力常用Hansen公式計算，極限承載力qu為

qu=0.5γBNγ+cNc+γmdNq

(8)

圖1 承受均布荷載的淺基礎

以某一條形基礎為例[1]，基礎寬度為2m，埋深為0.5m,土的重度均取20kN/m3，黏聚力和內摩擦角為隨機變量，服從正態二元分布，黏聚力的均值和標準差分別為20kPa和5kPa，內摩擦角的均值和標準差分別為30°和6°，兩者的相關系數為-0.5。根據Hansen公式計算的極限承載力qu的均值為1148.5kPa，基礎承受的荷載q為1000kN/m。

3.2 舍選法計算

用傳統舍選法，隨機抽樣數量分別為3,000、5,000、50,000、200,000和500,000，計算該淺基礎相應的失效概率和變異系數，結果如表1所示。

表1 傳統舍選法結果

3.3 拉丁超立方法計算

對于上述算例，假設粘聚力和內摩擦角相互獨立，在拉丁超立方抽樣中M取5，為了對比兩種抽樣方法，抽樣數量一樣，分別為3,000、5,000、50,000、200,000和500,000，失效概率和變異系數如表2所示。

表2 拉丁抽樣法結果

3.4 結果對比分析

兩種方法的結果如圖2所示。由圖2可知，當抽樣個數達到50,000時，拉丁超立方抽樣方法所計算的失效概率已經趨于穩定，而使用傳統舍選法抽樣需要達到200,000時，失效概率才趨于穩定。采用蒙特卡羅進行可靠度分析時，要得到失效概率穩定值，傳統舍選法抽樣數量為拉丁超立方抽樣數量的4倍，表明使用拉丁抽樣方法可以大大減少抽樣數量。

兩類抽樣方法所得到失效概率的變異系數差別顯著，如圖3所示。傳統舍選法變異系數隨著抽樣數量的增加，減小緩慢，而拉丁超立方抽樣法得到變異系數減小明顯。隨著抽樣數量的增加，兩類抽樣方法所得變異系數的比值由1.0，增加到2.0以上。對于達到同樣的變異系數，需要的樣本數量差別懸殊，例如當抽樣數量為500,000時，變異系數為8.0%，而拉丁超立方法的樣本數量50,000時，達到了相同的變異系數。這表明，達到相同的變異系數，拉丁超立方抽樣數量可以減小到樣本數量的1/10。

圖2 失效概率隨抽樣數量的變化

圖3 變異系數隨樣本數量的變化

除了達到穩定失效概率時，兩種抽樣數量差別懸殊外，在配置為Intel酷睿雙核i3-6100臺式機上,計算時間有很大的差異。以抽樣數量為5,000 為例，計算過程表明，傳統舍選法所用的時間約為65.17 s，而拉丁超立方抽樣方法計算所用的時間為2 s，這表明在相同抽樣數量的情況下，拉丁超立方抽樣方法計算所用的時間要遠小于傳統舍選法。

傳統舍選法計算的失效概率為0.35%，而拉丁超立方抽樣方法為0.32%，兩種方法的結果差異，是由于舍選法中土的粘聚力和內摩擦角被認為是二元正態分布的隨機變量，而拉丁超立方抽樣法中，假設粘聚力和內摩擦角相互獨立，這是導致兩者結果略有差異的原因。

4 結論

(1) 采用蒙特卡羅法計算工程的失效概率時，拉丁超立方法得到失效概率所需要抽樣數量顯著小于傳統舍選法所需的抽樣數量，需要的樣本數量約為舍選法數量的25%。

(2) 拉丁超立方法通過增加樣本數量能夠更有效減小失效概率的變異系數，相同抽樣數量時其失效概率變異系數小于舍選法所得結果的一半。