數學廣角中培養學生“模型思想”的有效情境

張義紅

摘 要：數學廣角是義務教育課程標準實驗教科書從二年級上冊開始新增設的一個單元，本單元的目標是使學生接觸最基本的數學思想和方法，獲得探索數學知識、解決問題的基本方法并提升數學能力。數學廣角教學的核心思想是培養學生的“模型思想”，而“模型思想”的培養離不開有效的情境。

關鍵詞：數學廣角;模型思想;有效情境

一、幫助學生建立“植樹問題”中模型思想的問題對比情境

在“植樹問題”中，最重要的數學思想就是模型思想，如何讓學生理解從實際問題中抽象出數學模型的過程是教學“植樹問題”的核心。教學中可采用問題對比情境促進學生建立數學模型，如問題（1）：20米，5米分一段，共分幾段？這個問題是二年級學的平均分，對五年級學生來說借用以往的經驗可以輕松得出答案20÷5=4（段），且容易解釋列式的原因是平均分，也易畫出線段圖。出示對比問題（2）：20米，5米種樹1棵，共種幾棵？引發學生思考，進而動手操作，在第一問的線段圖上種一種，學生得出共種5棵。為什么呢？對比兩個問題找出共同點和不同點，兩個問題的共同點都是平均分，20米每5米為一段（一個間隔），都是平均分成4段，為什么種5棵樹呢，因為樹是種在線段圖的點上，一棵樹對應一條線段（間隔），最后一棵樹后沒有線段（間隔），所以共種20÷5+1=5（棵）。這樣的問題對比情境讓學生深刻建立起兩端都種時的數量關系模型：棵樹=間隔數+1，再次觀察線段圖一端種一端不種時剛好一棵樹對應一個間隔，這樣很容易得出一端種一端不種的關系模型：棵數=間隔數，同樣根據一一對應關系再次建立起兩端都不種的關系模型：棵數=間隔數-1。而封閉線路植樹可以展開線路轉化為一端種一端不種的情況。在學生知其所以然的基礎上建立起模型后，再次通過手指情境增強對“植樹問題”三種模型的鞏固記憶。而隱含的“植樹問題”如何對應上關系模型呢？主要是思考問題中有沒有點段對應。如鋸木頭，鋸在點上，鋸下的每段為線段（間隔），則有點線段的對應，并且木頭兩端不鋸，進而對應上兩端都不種的關系模型;再如鈴聲問題，鈴聲響的時間在點上，兩次鈴聲間的時長屬于段（間隔），則有點段對應，進而對應上兩端都種的關系模型;再如上樓問題，兩層樓間的步行時長屬于段，到達的每層屬于點，有點段對應，行走的第一層和最后一層間的時長屬于兩端都種的問題。這里的問題對比情境使得學生在知其所以然的基礎上建立起了數學模型，是培養學生數學能力的有效情境。

二、幫助學生建立“抽屜原理”中模型思想的操作情境

“抽屜原理”又被稱為“狄利克雷原理”或“鴿巢原理”，其來源于一個基本的數學事實，這個數學事實可以通過操作情境讓學生感悟出：把多于kn（k是正整數）個元素按任一確定的方式分成n個集合，那么一定有一個集合中，至少有（k+1）個元素的數學模型。這里的操作情境可以讓學生在課堂上真實操作。如下：把3本書放到兩個抽屜里，你會怎么放呢？學生通過操作發現：要么在一個抽屜里放2本書，而另一個抽屜里放1本書;要么在一個抽屜里放3本書，而另一個抽屜里不放。課堂上根據不同學生的匯報得出結論：不管是哪種情況，一定有一個抽屜里放入了至少2本書。雖然我們無法斷定哪個抽屜里放入了至少2本書，但這并不影響結論。然后將操作情境中的數變大，如把4本書放進三個抽屜內或把7本書放進三個抽屜，通過多次操作，讓學生感悟模型：一定有一個抽屜里至少放幾本書的結論要考慮平均分這個最不利的因素，那么一定有一個抽屜里至少放入了（每份數+1）本書。當然操作情境中的書可以換成鉛筆、小動物、數等，操作情境中的抽屜可以換成對應的筆筒、巢穴或數的集合等。如把3支筆放入兩個筆筒內，一定有一個筆筒內放入了至少2支筆;再如3支鳥飛入兩個巢內，一定有一個巢內飛入了至少2只鳥等，但是課堂教學時選取學生易操作的情境有助于學生建立起其中的數學模型。

三、幫助學生建立“烙餅問題”中模型思想的類比情境

烙餅問題屬于優化問題，其本質是“鍋”內空間的充分運用，如“鍋”內最多能放兩張餅，每次總要有兩個面接觸“鍋”就充分運用了空間，從“烙的餅數”共有幾個面而輕松算出“烙餅”時間。但是奇數張“餅”如何做到每次總有兩個面接觸“鍋底”呢，需要學生實際操作才能領會，而廚房的情境無法搬進教室，課堂中可用學生的手類比“餅”，手心、手背類比“餅”的正反面，可黑板畫圓類比“鍋”，通過操作讓學生感知交替式“烙餅”可以實現每次烙兩面。這樣的類比操作情境促使學生建立起數學模型。

參考文獻：

[1]李吉林.兒童情境學習課程體系及操作[M].北京：教育科學出版社，2018.

[2]干國祥.理想課堂的三重境界[M].桂林：漓江出版社，2019.