一道平面幾何題的多角度證明

鞏繼忠

摘 要：針對平面幾何題“在△ABC中，∠A=60°，且AB=2AC.求證：△ABC是直角三角形”的證法進行探究，分別從“角”“邊”兩方面入手，運用平面幾何、三角函數和平面向量等知識，給出了多種證法。

關鍵詞：直角;直角三角形;勾股定理及其逆定理;相似三角形;平面向量

題目：在△ABC中，∠A=60°，且AB=2AC.求證：△ABC是直角三角形。

證法探究及證明：要證明一個三角形是直角三角形，常從“角”或“邊”兩方面入手。從“角”入手，這是因為，根據直角三角形的定義，有一個角是直角的三角形是直角三角形。所以，要證明一個三角形是直角三角形，只需證其一個角是直角即可;從“邊”入手，這是因為，根據勾股定理的逆定理，三角形中如果一邊的平方是另外兩邊的平方和，那么這一邊所對的角是直角。所以，要證明一個三角形是直角三角形，只需證其一邊的平方是另外兩邊的平方和即可。

一、從“角”入手，證∠ACB=90°

1.證法一 證法探究考慮題給條件∠A=60°，且AB=2AC，聯想等邊三角形的判定及性質，延長AC邊至M，使CM=AC，連接BM，即可證得∠ACB=90°.這一方法就是平面幾何證明中的“補短法”。

證明：延長邊AC至M，使CM=AC，連接BM，如圖（1）.

因為AB=2AC，

所以AB=AM，又∠A=60°，

所以BM=AB，

所以BC⊥AM，

所以∠ACB=90°，

即△ABC是直角三角形。

2.證法二 證法探究欲證∠ACB=90°，可證∠ACB與一直角相等.作AB邊上的高線CD，只需證 △ABC∽△ACD即可.

證明：作CD⊥AB，垂足為D，如圖（2）.

因為∠A=60°，所以=.

又AB=2AC，所以=.

所以=.

又∠BAC=∠CAD=90°，

所以△ABC∽△ACD，

所以∠ACB=∠ADC=90°。

即△ABC是直角三角形.

3.證法三 證法探究根據三角形內角和定理，欲證∠ACB=90°，可證∠A+∠B=90°.于是，作AB邊上的高線CD，只需證△ABC∽△ACD即可。

證明：作CD⊥AB，垂足為D。

因為∠A=60°，所以=，∠ACD=30°。

又AB=2AC，所以=.

所以=.

又∠BAC=∠CAD，

所以△ABC∽△ACD，

所以∠B=∠ACD=30°，

所以∠ACB=90°。

即△ABC是直角三角形。

4.證法四 證法探究考慮直徑所對的圓周角是直角，以邊AB為直徑作圓，證點C在以邊AB為直徑的圓上即可。

證明：以邊AB為直徑作圓O，連接OC，如圖（3）.

因為AB=2AC，所以AC=OA，

又∠A=60°，

所以OC=OA，

所以C點在圓O上，

所以∠ACB=90°。

即△ABC是直角三角形。

二、從“邊”入手，證AB2=AC2+BC2

1.證法一 證法探究運用余弦定理進行證明.

證明：因為∠A=60°，AB=2AC，

所以BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A，

所以BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos60°，

所以BC2=AC2+AB2-2AC2，

所以AB2=AC2+BC2.

所以△ABC是直角三角形。

2.證法二 證法探究運用平面向量的模進行證明。

證明：因為，

所以，

所以2，

又因為∠A=60°，AB=2AC，

所以2，

所以2，

即AB2=AC2+BC2。

所以△ABC是直角三角形。