基于核心素養(yǎng)建構(gòu)圓模型 圓滿解決電磁學(xué)問(wèn)題*

陳紅林

(曲靖市第二中學(xué) 云南 曲靖 655000)

1 構(gòu)建圓模型解決電場(chǎng)問(wèn)題

電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)作為描述電場(chǎng)力的性質(zhì)與能的性質(zhì)兩個(gè)重要物理量，在高考中經(jīng)常涉及.而點(diǎn)電荷作為一種重要特殊的物理模型，要充分利用圓或球的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行物理建模，比如點(diǎn)電荷的等勢(shì)球面；點(diǎn)電荷任意半徑R的球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等；均勻帶電球殼或者球體在球外空間產(chǎn)生的電場(chǎng)可以等效于電荷集中于球心處的點(diǎn)電荷；等量同種電荷關(guān)于連線中心對(duì)稱的兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等、方向相反；等量異種電荷關(guān)于連線中心對(duì)稱的兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)相同等等，都可以科學(xué)地建構(gòu)圓或球的模型來(lái)解決電場(chǎng)相關(guān)問(wèn)題.

【例1】均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場(chǎng)等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場(chǎng).如圖1(a)所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過(guò)半球頂點(diǎn)和球心O的軸線，在軸線上有M和N兩點(diǎn)，OM=ON=2R.已知M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，則N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為( )

圖1 例1題圖

圖2 例2題圖

解析：如圖2(b)在半球體AB右側(cè)補(bǔ)上另一個(gè)電荷量為q的半球體，則建立了一個(gè)均勻帶電荷量為2q的球體模型，由對(duì)稱性可知，右半球在M點(diǎn)的電勢(shì)φM′等于左半球在N點(diǎn)的電勢(shì)，即

φN=φM′

(1)

根據(jù)球體內(nèi)M點(diǎn)與O點(diǎn)電勢(shì)相等得

(2)

由式(1)、(2)解得

(3)

故選項(xiàng)B正確.

以上兩個(gè)例題在學(xué)生正確的物理觀念前提下，先通過(guò)假設(shè)法來(lái)建立球體模型，再采用對(duì)稱的思想進(jìn)行科學(xué)推理最后得出正確結(jié)論.充分體現(xiàn)了物理核心素養(yǎng)中的物理觀念與科學(xué)思維.

2 構(gòu)建圓模型解決磁場(chǎng)中的問(wèn)題

帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，所以要在充分利用圓的相關(guān)性質(zhì)上去建構(gòu)軌跡圓模型，常用的軌跡圓模型有如下幾種:

(1)對(duì)于在磁場(chǎng)中入射速度方向恒定、大小變化的粒子，可以如圖3建構(gòu)“放縮圓”解決臨界問(wèn)題，如當(dāng)圓軌跡與直線邊界相切時(shí)存在臨界值.

圖3 放縮圓

(2)對(duì)于在磁場(chǎng)中入射速度大小恒定、方向變化的粒子，可以如圖4建構(gòu)“旋轉(zhuǎn)圓”解決臨界問(wèn)題.

圖4 旋轉(zhuǎn)圓

設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)半徑為R，則平面內(nèi)有粒子通過(guò)的最大面積為4πR2，粒子能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為2R.

(3)沿圓形磁場(chǎng)半徑方向射入磁場(chǎng)的粒子，必沿半徑方向射出磁場(chǎng)(即徑向入射必徑向出射).

(4)當(dāng)圓形磁場(chǎng)的半徑與軌跡圓半徑相等時(shí)，存在兩條特殊規(guī)律，如圖5所示.

規(guī)律一：帶電粒子從圓形有界磁場(chǎng)邊界上某點(diǎn)射入磁場(chǎng)，則粒子的出射速度方向與圓形磁場(chǎng)上入射點(diǎn)的切線方向平行，如圖5(a)一點(diǎn)發(fā)散成平行.

規(guī)律二：平行射入圓形有界磁場(chǎng)的相同帶電粒子，其所有粒子都從磁場(chǎng)邊界上的同一點(diǎn)射出，并且出射點(diǎn)的切線與入射速度方向平行，如圖5(b)平行會(huì)聚于一點(diǎn).

圖5 圓形磁場(chǎng)的聚焦問(wèn)題

圖6 例3題圖

解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)圓法作圖建構(gòu)如圖7所示的圓模型，可知帶電粒子可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)A.

圖7 圓模型

【例4】如圖8所示，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在ad邊中點(diǎn)O，垂直于磁場(chǎng)射入一速度方向與ad邊夾角θ=30°，大小為v0的帶正電粒子.已知粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，ab邊足夠長(zhǎng)，粒子重力不計(jì)，求：

(1)粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)v0的大小范圍；

(2)如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間.

圖8 例4題圖

解析：此題屬于入射速度方向恒定、大小變化的粒子，如圖9所示可以改變軌道半徑畫(huà)放縮圓，當(dāng)半徑為R1時(shí)軌跡與ab邊相切其速度最??；半徑為R2時(shí)軌跡與dc邊相切其速度最大.

(a)

由幾何關(guān)系得

(4)

(5)

又因?yàn)?/p>

(6)

聯(lián)立上式得

(7)

如圖9由對(duì)稱性可得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為

(8)

【例5】(2009年高考理綜海南卷)如圖10所示，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形.質(zhì)量為m，電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域.在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng).電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng).不計(jì)重力，求：

圖10 例5題圖

(1)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大??；

(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積.

(2)如圖11所示，以D為圓心，a為半徑的圓周與電子最上邊軌跡CEA圓弧所圍的區(qū)域，就是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域.其面積為

圖11 例5題分析圖

例3，例4和例5這3個(gè)例題以帶電粒子的軌跡圓分別建立旋轉(zhuǎn)圓、放縮圓、磁聚焦物理圓模型，讓學(xué)生運(yùn)用抽象與聯(lián)想、推演與計(jì)算、模型與建模等思維方法來(lái)組織、調(diào)動(dòng)相關(guān)的知識(shí)與能力，解決生活實(shí)際情境或?qū)W習(xí)探索情境的問(wèn)題[1].