R軟件在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用研究

汲守峰，劉 卉

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

0 引言

概率統(tǒng)計(jì)是研究自然界中隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)方法，廣泛應(yīng)用在金融、經(jīng)濟(jì)、生物、醫(yī)學(xué)、運(yùn)籌管理和工程技術(shù)等領(lǐng)域。在概率統(tǒng)計(jì)過(guò)程中幾乎每個(gè)環(huán)節(jié)都離不開統(tǒng)計(jì)軟件的輔助。目前的統(tǒng)計(jì)軟件主要包括Matlab，SAS，SPSS等商用專業(yè)軟件，但這些軟件除運(yùn)行環(huán)境封閉、下載安裝復(fù)雜、內(nèi)存占用較高外，還需要對(duì)不同的插件支付額外的專利費(fèi)用，而R軟件則不受這些條件的約束。由Ross Ihaka和Robert Gentleman開發(fā)的面向?qū)ο蟮腞軟件，是一款免費(fèi)開源且能夠自由有效地用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算和繪圖的計(jì)算機(jī)軟件[1]，它提供了廣泛的統(tǒng)計(jì)分析和繪圖技術(shù)，其功能包括程序編輯與運(yùn)算、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與處理、數(shù)組運(yùn)算(其向量、矩陣運(yùn)算功能尤其強(qiáng)大)，除此之外，用戶還可以根據(jù)自己的需要安裝現(xiàn)成的統(tǒng)計(jì)軟件包，它支持對(duì)包的代碼進(jìn)行修改和重新編寫[2-3]，因此，此軟件被統(tǒng)計(jì)學(xué)家、工程師和科學(xué)家廣泛使用。如張志成[4]使用R軟件對(duì)經(jīng)典的蒲豐投針實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了隨機(jī)模擬，從理論和實(shí)踐中得到了圓周率π的近似值；李秀敏等[5]使用R軟件通過(guò)隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)研究了統(tǒng)計(jì)學(xué)中幾種比較重要的抽樣分布問題，驗(yàn)證了中心極限定理的正確性；熊炳忠[6]則是利用R軟件對(duì)概率分布、大數(shù)定律、中心極限定理與假設(shè)檢驗(yàn)等進(jìn)行了模擬驗(yàn)證和分析。本文應(yīng)用R軟件，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)中中心極限定理的理論結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬，借助R軟件強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理和計(jì)算功能簡(jiǎn)化假設(shè)檢驗(yàn)中龐雜的數(shù)據(jù)計(jì)算過(guò)程，并利用其數(shù)據(jù)解析和圖形繪制功能進(jìn)行線性回歸分析，由此簡(jiǎn)化抽象復(fù)雜的問題，提高運(yùn)算效率，增加檢驗(yàn)結(jié)果的可視化程度。

1 中心極限定理的統(tǒng)計(jì)模擬

中心極限定理在概率統(tǒng)計(jì)中具有十分重要的地位，主要研究獨(dú)立的隨機(jī)變量序列之和的分布近似服從正態(tài)分布的有關(guān)問題。中心極限定理主要包含三大定理，其他定理的證明以及某些統(tǒng)計(jì)推斷都是建立在三大定理的理論之上。中心極限定理描述的內(nèi)容較為抽象，當(dāng)涉及的統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)較多時(shí)也不太容易計(jì)算和驗(yàn)證，可借助R軟件對(duì)概率模型進(jìn)行編程模擬，然后輸出統(tǒng)計(jì)制圖和數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果，增加結(jié)果的可視化程度。下面通過(guò)對(duì)服從二項(xiàng)分布和指數(shù)分布的隨機(jī)變量序列之和的直方圖與正態(tài)分布密度曲線對(duì)比，驗(yàn)證棣莫弗-拉普拉斯定理和萊維定理理論結(jié)果的正確性。

1.1 中心極限定理的二項(xiàng)分布統(tǒng)計(jì)模擬

棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理是關(guān)于二項(xiàng)分布漸近趨于正態(tài)分布的極限定理，也稱二項(xiàng)分布的中心極限定理。假設(shè)隨機(jī)變量X～B(n，p)，依據(jù)棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，隨著n→∞，X的分布將依概率收斂于正態(tài)分布N(np，np(1-p))。除用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明外，可應(yīng)用R軟件對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬并加以驗(yàn)證。

>layout(matrix(c(1，2，3，4)，ncol=2，byrow=T))

sim<-function(m=20，n=50，p=0.2)

{y<-rbinom(m，n，p)

x=(y-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))

hist(x，prob=T，breaks=30，main=paste("n="，n，"p="，p，"m="，m))

curve(dnorm(x)，add=T)}

sim()

sim(200)

sim(2000)

sim(20000)

輸出統(tǒng)計(jì)制圖結(jié)果，圖1為隨機(jī)產(chǎn)生的四組來(lái)自于B(50，0.2)的隨機(jī)變量序列統(tǒng)計(jì)直方圖(柱狀圖)與對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布密度曲線(曲線圖)，比較發(fā)現(xiàn)，隨著產(chǎn)生的個(gè)數(shù)m越大，兩者近似效果越好，直觀地解釋和驗(yàn)證了棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。

1.2 中心極限定理的指數(shù)分布統(tǒng)計(jì)模擬

>layout(matrix(c(1：4)，ncol=2，byrow=T))

lambda<-0.05

for(n in c(5，15，30，50)){

mu<-n/lambda

sumx<-numeric(1000)

sdsumx<-sqrt(n)/lambda

for(i in 1：1000){

sumx[i]<-sum(rexp(n，rate=0.05))}

hist(sumx，prob=T，main=paste("hist ogram.sumx，n="，n)，col=gray(.5)，lwd=2)

real<-dnorm(seq(mu-3*sdsumx，mu+3*sdsumx，0.01)，mu，sdsumx)

lines(seq(mu-3*sdsumx，mu+3*sdsumx，0.01)，real，lty=1，col=2，lwd=2)

box()}

由圖2可知，當(dāng)n>15時(shí)，樣本值和的直方圖與正態(tài)分布概率密度曲線近似精度較高，直觀解釋了中心極限定理中獨(dú)立隨機(jī)變量和隨變量個(gè)數(shù)增加而趨近于正態(tài)分布的結(jié)論。

2 假設(shè)檢驗(yàn)中的數(shù)據(jù)計(jì)算和分析

假設(shè)檢驗(yàn)往往會(huì)涉及大量的計(jì)算，有些計(jì)算簡(jiǎn)單但需要多次重復(fù)，而有些計(jì)算需要一些特殊的技巧或查閱相關(guān)分布表，如F分布、t分布、χ2分布等分位數(shù)和分位點(diǎn)的計(jì)算。實(shí)踐中很多統(tǒng)計(jì)計(jì)算都需借助計(jì)算機(jī)軟件，否則會(huì)使統(tǒng)計(jì)工作難以高效開展。下面應(yīng)用R軟件對(duì)大學(xué)生的期末考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

2.1 雙正態(tài)總體樣本均值差的t假設(shè)檢驗(yàn)

選取兩個(gè)年級(jí)GM18和GM19《概率統(tǒng)計(jì)》期末考試成績(jī)，并假設(shè)GM18～N(mu1，sigma1^2)，GM19～N(mu2，sigma2^2)，應(yīng)用R軟件計(jì)算兩個(gè)年級(jí)置信水平為90%的平均成績(jī)差的置信區(qū)間：

>GM18<-c(81，69，76，62，67，60，77，63，71，76，70，42，76，86，88，74，100，37，81，31，60，68，68，82，79，74，81，98，80，5，20，60，36，57，47，68，61，56，48，43，63，63，78，68，42，69，38，81，74，83，76，83，96，44，69，54，85，50，64，78，84，66，70，52，92，87，93，37，58，36，12，26，4，42，36，36，61，51，63，4)

GM19<-c(51，84，68，84，93，61，99，75，74，62，54，66，86，56，61，57，77，78，73，92，18，59，48，87，68，36，68，76，53，69，67，65，49，50，57，81，52，78，48，94，45，59，68，82，27，77，77，96，59，73，58，63，55，86，77，62，67，89，47，54，73，77，65，52，48，81，70，72，81，77，80，65，67，60，64，34，61，20，46，51，59，57，82，51，62)

t.test(GM18，GM19，conf.level=0.9)

Welch Two Sample t-test

data：GM18 and GM19

t=-1.1433，df=145.35，p-value=

0.2548

alternative hypothesis： true difference in means is not equal to 0

90 percent confidence interval：

-8.492335 1.554100

sample estimates：

mean of x mean of y

61.82500 65.29412

結(jié)果顯示，在方差不等的情況下，均值差的置信水平為90%的置信區(qū)間為(-8.492 335，1.554 100)，0被包含在區(qū)間內(nèi)部，由此認(rèn)為兩個(gè)年級(jí)的“成績(jī)相同”。但兩個(gè)年級(jí)成績(jī)均值分別為61.825 00和65.294 12，二者是否存在顯著性差異？可通過(guò)R軟件進(jìn)一步驗(yàn)證。

2.2 雙正態(tài)總體樣本均值的F假設(shè)檢驗(yàn)

>var.test(GM18，GM19)

F test to compare two variances

data：GM18 and GM19

F=1.8175，num df=79，denom df=84，p-value=0.007404

alternative hypothesis： true ratio of variances is not equal to 1

95 percent confidence interval：

1.175249 2.819119

sample estimates：

ratio of variances

1.81751

可以看出，兩個(gè)正態(tài)總體方差以95%的置信水平落入?yún)^(qū)間(1.175 249，2.819 119)內(nèi)，區(qū)間端點(diǎn)明顯大于1，因此可認(rèn)為兩個(gè)年級(jí)的成績(jī)存在顯著性差異，且p=0.007 404(<0.05)，也支持該結(jié)論的正確性。

3 線性回歸中的統(tǒng)計(jì)模擬和數(shù)據(jù)分析

在刑事科學(xué)技術(shù)中，辦案人員往往根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)遺留的蛛絲馬跡尋找案件的突破口。例如利用從現(xiàn)場(chǎng)提取的足跡長(zhǎng)度推算出犯罪嫌疑人身高的近似值。現(xiàn)隨機(jī)抽取10個(gè)樣本，并測(cè)得以下數(shù)據(jù)(見表1)，應(yīng)用R軟件對(duì)其進(jìn)行回歸分析。

表1 樣本的足跡長(zhǎng)度與身高 cm

利用R軟件做散點(diǎn)圖(圖3)，觀察兩者的大致關(guān)系。

圖3 足跡長(zhǎng)度與身高關(guān)系的散點(diǎn)圖

>x<-c(21.6，22.3，23.6，24.6，25.3，25.8，26.7，27.1，28.2，28.4)

y<-c(156.3，160.8，165.3，170.1，172.6，173.6，179.1，179.2，185.2，186.6)

plot(x，y，ylab="f(x)"，type="b"，col=2，lwd=2)

應(yīng)用R軟件內(nèi)嵌函數(shù)做出線性回歸直線，與散點(diǎn)圖進(jìn)行比較(圖4)。

>cb<-lm(formula=y～x)

summary(cb)

summary(cb)$coefficients[，1]

nihe<-predict(cb)

plot(x，y，ylab="f(x)"，type="p"，col=1，lwd=2)

lines(x，nihe，col=1，lwd=2)

legend("topleft"，c("nihe"，"sandian")，lty=1：2，col=1：1，lwd=2)

圖4 足跡長(zhǎng)度與身高的散點(diǎn)圖與擬合曲線

圖3反映出足跡長(zhǎng)度與身高存在較為明顯的線性關(guān)系，與圖4對(duì)比不難看出，回歸直線與散點(diǎn)圖存在較為顯著的近似關(guān)系，這為辦案人員根據(jù)足跡長(zhǎng)度預(yù)測(cè)犯罪嫌疑人身高提供了科學(xué)依據(jù)。

4 結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用R軟件對(duì)概率統(tǒng)計(jì)問題進(jìn)行了輔助研究。在數(shù)據(jù)處理中通過(guò)R軟件的合理應(yīng)用，省去了復(fù)雜的計(jì)算和繁瑣的推導(dǎo)過(guò)程，增強(qiáng)了數(shù)據(jù)的處理速度和統(tǒng)計(jì)制圖的繪制能力，有效提升了工作效率。