手持振動機械與手臂耦合系統主共振研究

楊志安，王思奇，李高峰

(1. 唐山學院 a.唐山市結構與振動工程重點實驗室；b.基礎部，河北 唐山 063000；2.華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山 063210)

手臂系統生物力學是理解振動引起疾病機制和評估振動暴露風險的重要基礎。手是一個可儲存動能與勢能的彈性體，當手握振動機械手柄時，激勵系統(手柄)與被激勵系統(手)會發生能量的轉移，由于手有阻尼會導致儲存的勢能以動能形式耗散，即手的組織會發生相對運動。產生的熱量會對手的組織、血管等產生傷害，長此以往會導致部分使用振動機械的人患雷諾氏癥(白指病)。為深入研究人體手臂振動與白指病發病機理的關系，需建立手持振動機械與人體手臂耦合系統振動方程。手臂系統中有很多非線性特性存在[1]，為了使人體手臂系統動力學模型更加準確，不能忽略非線性因素。

文獻[2-3]建立了手臂系統線性模型，并分析了不同范圍的頻率與手臂系統不同部位響應之間的關系，研究表明，整個手臂對低頻振動較為敏感，高頻振動對手部影響較大。文獻[4-5]建立了振動手柄和不同振動工具耦合的不同自由度手臂系統線性模型，分析了手臂系統的機械阻抗特性和振動功率吸收與外激勵頻率的關系，在較高振動頻率下，振動功率大部分被手和手掌吸收。文獻[6]探究了井窖孔制作機的手傳振動，并建立了手臂系統二自由度振動模型，研究表明，人體手臂系統對振動能量的吸收隨著振動能量的增加而增大，手臂前端吸收了振動所產生的絕大部分量。文獻[7]測量和分析了手指和手掌的吸收功率，結果表明，手傳振動能量吸收功率中高頻信號與白指病有關，因為在高頻率時大部分能量被手部吸收。文獻[8]通過實驗測試得出，人體在受到振動時確實存在非線性并且可能足夠大，以至于無法進行線性假設。根據以上研究，有必要對手持振動機械與人體手臂耦合系統進行非線性建模。

1 人體手臂系統在簡諧激勵下的振動模型

手臂是由皮膚、皮下組織、肌肉和骨骼組成的復雜的非均勻系統。本文由簡入繁，研究其非線性規律，以文獻[9]提出的單自由度手臂系統線性模型為基礎建立非線性模型。選擇文獻[10]給出的標準生物力學建模坐標系，即坐標原點設在手的第三節掌骨處，如圖1(a)所示，探究X方向上的振動規律。采用單自由度彈簧阻尼質量模型描述手持振動機械與人體手臂耦合系統，如圖1(b)所示。

(a) (b)圖1 手臂振動模型

手臂系統是非線性的，設人體手臂系統非線性項為立方項，根據牛頓第二定律得到系統的動力學方程：

(1)

式中，m為人體手部質量，k為剛度，k1為手部非線性剛度，c為手部阻尼，f(t)為手部受到的外界激勵。

其中手部受到的外界激勵f(t)有多種情況。首先研究系統受簡諧激勵時的情況，即f(t)=fcos Ωt，其中f為激勵力幅值。進一步化簡得：

(2)

2 耦合系統的主共振分析

主共振是指外激勵頻率Ω接近派生系統固有頻率ω0時產生的振動。非線性系統中的主共振和線性系統中的共振是不同的，在線性小阻尼系統中，即便是很小的激勵f也可以引起強烈的共振。所以，在非線性系統中分析主共振時需對除線性項以外的其他項加以限制，在其前面冠以小參數ε。對式(2)進一步整理得：

(3)

本文用多尺度法研究方程的近似解。研究一次近似解時，采用兩個時間尺度T0，T1，設系統(3)具有如下形式的解：

x(t，ε)=x0(T0，T1)+εx1(T0，T1)。

(4)

式中，T0=t，T1=εT0。

將式(4)代入式(3)，通過比較ε同次冪的系數，得到一組線性偏微分方程：

ε0：D02x0+ω02x0=0；

(5)

(6)

方程(5)的解為：

(7)

式中：

(8)

研究系統主共振問題，也就是外界激勵頻率與固有頻率接近時發生的情況，引入調諧參數σ，則有：

Ω=ω0+εσ，σ=0(1)。

(9)

將式(7)代入式(6)可得：

D02x1+ω02x1=

(10)

式中：

(11)

將式(8)代入式(11)，進行化簡，分離其實部和虛部得：

(12)

式中：

φ=σT1-β。

(13)

方程組(12)上下兩式聯立可解出a，φ，于是方程(6)的一次近似解為：

x(t)=a(T1)cos(ω0T0+φ)+O(ε)。

(14)

由穩態系統可知，D1a=0，D1φ=0，即：

(15)

由式(15)可得穩態系統的幅頻響應方程：

(16)

化簡得：

J1a6+J2a4+J3a2+J4=0。

(17)

式中：

根據Routh-Hurwitz判據，可知穩態解穩定的充要條件是：

(18)

式(18)說明系統主共振穩態解與調諧參數有關，并說明對于系統主共振的幅頻響應方程式(17)，在一定的范圍內可能存在三個穩態解，但是這些穩態解不一定都是穩定的。

3 數值分析

3.1 主共振幅頻響應分析

為了定量求解，根據文獻[11]給出人體手臂參數，給各參數賦值：

m=0.45 kg，c=178 Ns/m，k=66.5 N/m，k1=6.65 N/m，f=10 N。

按照式(17)、式(18)計算系統主共振幅頻響應曲線，并研究其穩定性。其中橫坐標為調諧參數、縱坐標為振幅。

圖2為手臂系統主共振隨外激勵力幅值f變化的幅頻響應曲線。由圖2可以看出，隨著調諧值的不斷增大，振幅并沒有發生“跳躍”現象，也就是屬于很弱的非線性問題。當增大外激勵力時，系統振幅幅值會隨著外激勵力的增大而增大，共振區域也隨著增大，且共振區域變化較大。

圖2 激勵力不同時的幅頻響應曲線

圖3為手臂系統主共振隨手部阻尼c變化的幅頻響應曲線。由圖3可以看出，隨著阻尼系數c的不斷增大，振幅并沒有發生“跳躍”現象；隨著手臂系統阻尼系數c的增加，系統受到的阻力增大，振幅幅值降低，共振區域變化較小。

圖3 阻尼不同時的幅頻響應曲線

圖4為手臂系統主共振隨非線性剛度k1變化的幅頻響應曲線。由圖4可看出，手直接接觸振動工具時，系統非線性剛度較小，曲線不會發生“跳躍”現象；當手戴防護設備時會增加系統非線性剛度，非線性剛度達到5.1×106時，曲線會發生“跳躍”現象。此時，便不可忽略非線性項的影響，而且隨著非線性剛度的不斷增大，“跳躍”現象會更加明顯。

圖4 非線性剛度不同時的幅頻響應曲線

圖5為手臂系統在三種不同調諧值下的阻尼幅頻響應曲線。由圖5可以發現，隨著阻尼增加系統振幅會不斷減小。在一定范圍內，振幅變化速率較快。

圖5 調諧參數不同時的阻尼幅頻響應曲線

圖6為手臂系統在三種不同調諧值下的激勵力幅頻響應曲線。由圖6可以發現，隨著外激勵力F不斷增大，振幅也會逐漸增大。

圖6 調諧參數不同時的激勵力幅頻響應曲線

3.2 主共振時間歷程分析

設式(5)、式(6)線性微分方程的初始條件分別為：

(19)

(20)

將式(19)代入式(7)，得φ=0，所以：

x0=acosω0T0。

(21)

式(6)消除永年項得：

(22)

將式(8)代入式(22)，并進行歐拉變換，解得：

(23)

解得主共振的一次近似解為：

x=x0+εx1。

(24)

選取初始位移a=0.008，調諧值σ=0.1，其他值不變。應用Matlab軟件，根據四階Runge-Kutta法(數值法)得到時間響應曲線及其相圖，并與Simulink仿真形成的圖作比較。

圖7和圖8分別為數值法得到的時間響應曲線和相圖。由圖7可知，隨著時間增加，系統主共振位移逐漸減小并趨于穩定。由圖8可知，隨時間增加，系統逐漸穩定，形成了一個有一定厚度的極限環。圖9與圖10分別為Simulink仿真得到的時間響應曲線和相圖，與數值法得到的大致相同。

圖7 數值法時間響應曲線

圖8 數值法相圖

圖9 Simulink仿真時間響應曲線

圖10 Simulink仿真相圖

4 結論

建立手持振動機械與人體手臂耦合系統動力學模型，用多尺度法得到系統幅頻響應曲線。分析系統各參數對主共振幅頻響應曲線的影響，可以得出，單位時間內系統振幅變化較快，這使得手部內各組織相對運動更加劇烈，能量耗散于手部，從而誘發雷諾氏癥；減小振幅可降低相對運動程度。因此，對于預防此類職業病提出的建議為：可通過減小外激勵幅值來減小系統振幅；可通過增加阻尼減小系統振幅；還可以通過在特定頻率段內使用振動機械來避免過大振幅。