斜拉橋多索-淺拱-彈性約束模型及面內(nèi)自由振動(dòng)

蘇瀟陽(yáng)，康厚軍，皮梓豪，叢云躍

（湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

斜拉橋由于受力性能好、抗震性能強(qiáng)、造型優(yōu)美 及優(yōu)越的跨越能力在大跨度橋梁中占有十分重要的地位.但由于斜拉橋跨度的不斷增大以及新材料的不斷應(yīng)用，結(jié)構(gòu)也變得更輕更柔，其動(dòng)力學(xué)問(wèn)題也就更為突出.因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)斜拉橋的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了大量研究.Gattulli 等[1]通過(guò)經(jīng)典變分公式，建立了斜拉橋索-梁結(jié)構(gòu)橫向動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)控制方程，并對(duì)其特征值問(wèn)題進(jìn)行了參數(shù)分析.本課題組[2-5]采用傳遞矩陣法對(duì)斜拉梁、雙索梁結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的分析.通過(guò)考慮斜拉橋中橋塔的振動(dòng)，提出了多梁離散彈簧動(dòng)力學(xué)整體模型，并對(duì)斜拉橋的整體豎彎剛度進(jìn)行了評(píng)估，探究了拉索對(duì)斜拉橋豎向振動(dòng)頻率的影響.Cao 等[6]提出了由四根拉索和橋面梁組成的斜拉橋模型，并對(duì)該模型的線性特征值問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，該模型將橋面塔視為剛性，忽略了橋塔的振動(dòng).然而，在實(shí)際工程中，大跨度斜拉橋的橋面梁一般具有一定的預(yù)拱度以滿足排水的需要，上述研究都沒(méi)有考慮斜拉橋橋面梁的初始構(gòu)型，這對(duì)理解斜拉橋的動(dòng)力學(xué)行為難免有偏差.鑒于此，考慮橋面梁的初始構(gòu)型，Kang 等[7]建立了斜拉橋的雙索-淺拱動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)端部軸向簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的1 ∶1 ∶1 內(nèi)共振動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了研究.叢云躍等[8]基于索和淺拱的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)雙索淺拱的面內(nèi)自由振動(dòng)進(jìn)行了研究.

以上研究均將斜拉橋的邊界條件模擬為簡(jiǎn)支，實(shí)際上在基礎(chǔ)變形以及由于基礎(chǔ)變形所引起的附加慣性力的影響下，這可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出的模型固有頻率顯著降低[9]，尤其是低階的頻率.所以建立相應(yīng)的彈性支承模型更符合實(shí)際工程情況.因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)彈性約束下各種模型的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究.易壯鵬等[10]研究了兩端彈性約束淺拱的自由振動(dòng)特性和非線性動(dòng)力特性.Ding 等[11]建立了帶有非線性隔振的微曲梁的非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了具有彈性邊界的彎曲梁動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，并推導(dǎo)了具有彈性邊界的彎曲梁的模態(tài)函數(shù)和頻率公式.

論文在上述研究的基礎(chǔ)上，為建立更為精細(xì)的斜拉橋動(dòng)力學(xué)模型，考慮斜拉橋橋面板的初始構(gòu)型以及支座剛度的影響，建立兩端豎向彈性支承的多索-淺拱動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)該模型進(jìn)行參數(shù)分析.論文模型相比于其他模型（例如索梁模型）更接近斜拉橋的真實(shí)狀態(tài)，可以對(duì)斜拉橋的面內(nèi)特征值問(wèn)題進(jìn)行分析，從而更準(zhǔn)確地揭示斜拉橋的動(dòng)力學(xué)特性.另外，基于該模型可以對(duì)斜拉橋的非線性振動(dòng)進(jìn)行研究，揭示斜拉索的大幅振動(dòng)機(jī)理，為實(shí)際工程提供參考.

1 兩端彈性約束多索-淺拱模型

考慮支座處基礎(chǔ)變形的影響，將模型兩端支座簡(jiǎn)化為豎向彈性支承，論文暫不考慮支座處轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承[12].圖1 為考慮斜拉橋初始構(gòu)型之后，兩端豎向彈性約束的多索-淺拱模型，分別建立坐標(biāo)系soy和xjojyj（j=1，2，…，n）描述淺拱和索的振動(dòng)，根據(jù)索的數(shù)量將淺拱分為i 段，i=1，2，…，n+1.在能體現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)的前提下做出如下假設(shè)：

圖1 兩端彈性約束多索-淺拱模型Fig.1 The multi-cable-stayed shallow-arch model with elastic constraints at both ends

1）橋塔為剛性塔，對(duì)索以及淺拱產(chǎn)生的影響忽略不計(jì)；

2）由中線的Lagrangian 應(yīng)變來(lái)描述拉索的軸向應(yīng)變，忽略索的扭轉(zhuǎn)、彎曲、剪切剛度及軸向慣性力的影響；

3）忽略淺拱軸向、扭轉(zhuǎn)、剪切變形的影響.

4）考慮淺拱的幾何非線性影響，淺拱的靜態(tài)構(gòu)型：y0（s）=（f*/la）sin（πs*/la）.其中f*為淺拱的矢高.

5）斜拉索的靜態(tài)構(gòu)型：

通過(guò)Hamilton 原理得到每根索和每段淺拱的面內(nèi)振動(dòng)微分方程[13]：

式中：θj表示拉索的傾角，即拉索與水平方向的夾角.拱進(jìn)行分段以后，節(jié)點(diǎn)兩側(cè)應(yīng)滿足如下力學(xué)協(xié)調(diào)關(guān)系：

由Hamilton 原理還可以得到力學(xué)邊界條件：

2 面內(nèi)特征值問(wèn)題

首先引入以下無(wú)量綱量：

為了求解模型的面內(nèi)特征值問(wèn)題，忽略索和淺拱振動(dòng)方程中的非線性項(xiàng)和阻尼項(xiàng)，從而得到索和淺拱面內(nèi)自由振動(dòng)方程的線性形式：

同理可以得到式（5）-（7）的無(wú)量綱線性形式：

為計(jì)算方便，論文以豎向彈性約束雙索-淺拱模型為例進(jìn)行求解.假定模型為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，由于兩根索和各段淺拱的物理參數(shù)完全相同，為書寫方便，接下來(lái)的表達(dá)式中去掉了各物理參數(shù)的下標(biāo)i 和j.根據(jù)分離變量法，索和淺拱的位移可以表示為：

式中：j=1，2，且i=1，2，3.將式（15）分別代入式（9）和（10），可以得到：

將式（15）代入式（4），（12）-（14）可以得到：

方程（16）的通解為：

由假設(shè)（4）和（5），淺拱和索的無(wú)量綱初始靜態(tài)構(gòu)型為：

將式（20）和（23）代入式（18）并與式（21）聯(lián)立求解，可以得到：

方程（17）的通解為：

式中：h 為方程的特解，與淺拱的初始構(gòu)型表達(dá)式（22）有關(guān)，這里h=sin πs.

式（25）代入方程（17）可以得到3 個(gè)式子，連同式（19）一共19 個(gè)式子，將他們寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的特征方程如下式（26）所示，當(dāng)其系數(shù)矩陣行列式的值為0 時(shí)方程組有非平凡解.

式 中：{X}={cj1，cj2，ai1，ai2，ai3，ai4，ai5}T.特征方程（26）的系數(shù)矩陣行列式是面內(nèi)自振頻率ω 的函數(shù)，通過(guò)求解特征方程可以得到各階頻率值，進(jìn)而求得各階振型.

3 數(shù)值分析

3.1 模態(tài)分析

選取以下物理參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)要數(shù)值分析：淺拱彈性模量34.5 GPa，跨徑300 m，截面慣性矩9.8 m4，單位長(zhǎng)度質(zhì)量4.4 × 104kg/m；斜拉索彈性模量210 GPa，長(zhǎng)度115.5 m，單位長(zhǎng)度質(zhì)量10.4 kg/m，橫截面積6.3×10-3m2，初始索力1 MN，拉索傾角30°.實(shí)際工程中支座的豎向剛度大概有7 個(gè)數(shù)量級(jí)，因此選取兩端彈性支座的無(wú)量綱剛度為k1=k2=1 000.對(duì)應(yīng)的實(shí)際剛度為1.25×107N/m.

為驗(yàn)證論文方法的正確性，利用有限元分析軟件ANSYS15.0 建立了相應(yīng)的有限元模型.斜拉索采用Link1 單元模擬，淺拱采用Beam3 單元模擬，彈性支承采用Combine14 單元模擬.表1 和圖2 列出了根據(jù)論文方法和有限元模擬得到的結(jié)構(gòu)前八階頻率和前五階模態(tài).可以看到，論文方法計(jì)算得到的結(jié)果和有限元模擬得到的結(jié)果吻合非常好，雖然第五階頻率的相對(duì)誤差稍微有點(diǎn)大，但其絕對(duì)誤差只有0.055 6（1.098 1～1.042 5）.另外，仔細(xì)觀察第五階模態(tài)可以發(fā)現(xiàn)，索在有限元中只有拖動(dòng)效應(yīng)，而沒(méi)有自身的振動(dòng)，論文算法中體現(xiàn)出了索的自身振動(dòng)和拖動(dòng)效應(yīng)，從而使索力加大，進(jìn)而提高了結(jié)構(gòu)的整體剛度，因此導(dǎo)致第五階頻率誤差較大.

表1 彈性約束雙索-淺拱前八階頻率Tab.1 The first eight frequencies of double-cable-stayed shallow-arch model with elastic constraints at both ends

3.2 參數(shù)分析

為研究基于該模型的斜拉橋更多動(dòng)力學(xué)特性，采用論文中的計(jì)算方法對(duì)相關(guān)重要參數(shù)進(jìn)行了分析.

圖3 給出了結(jié)構(gòu)的前五階頻率值隨支座剛度的變化曲線，這里假定兩側(cè)支座剛度相等，即k1=k2=k，且同時(shí)變化.從圖中可以看出隨著支座剛度的增加，各階頻率曲線有上升的趨勢(shì).根據(jù)等效頻率公式，剛度越大，結(jié)構(gòu)自振頻率越大.另外，從圖2 和圖3 中可以看出在支座位移比較大的模態(tài)中，例如第二、第四和第五階，頻率隨支座剛度的變化比較明顯；而在支座位移比較小的模態(tài)中，例如第一和第三階，頻率隨支座剛度的變化不明顯.這是因?yàn)椋ё灰拼蟮哪B(tài)中，彈性支承對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響比較大，結(jié)構(gòu)對(duì)支座剛度的變化比較敏感；在支座位移較小的模態(tài)中，結(jié)構(gòu)對(duì)支座剛度的變化不敏感.

圖2 彈性約束雙索-淺拱前五階模態(tài)Fig.2 The first five mode shapes of double-cable-stayed shallow-arch model with elastic constraints at both ends

圖3 支座剛度對(duì)模型前五階頻率的影響曲線Fig.3 Effect of the support stiffness on the first five frequencies

圖4 給出了k=1 000 和k=10 000 下模型的前五階頻率隨淺拱矢跨比的變化曲線.從圖中可以看出：在一定矢跨比范圍內(nèi)，某階頻率會(huì)隨著矢跨比的增加而變大，隨著矢跨比的繼續(xù)增加，該階頻率將不再改變.論文稱該影響范圍為矢跨比對(duì)頻率的影響域，隨著支座彈簧剛度的變化，這個(gè)影響域也會(huì)隨之發(fā)生變化.

另外，圖4（a）中的前兩階頻率，圖4（b）中的前三階頻率之間分別出現(xiàn)了頻率曲線相互靠近而又分離的現(xiàn)象，即veering 現(xiàn)象，這與文獻(xiàn)[8]中觀察到的現(xiàn)象一致.然而，各階頻率對(duì)支座彈簧剛度的敏感程度不同，如圖3 所示，第一、三階頻率隨支座剛度的增加變化較小，因此在圖4（a）中，veering 現(xiàn)象發(fā)生在前兩階頻率之間，而在圖4（b）中，veering 現(xiàn)象發(fā)生在前三階頻率之間.仔細(xì)觀察圖4（a）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)f=0.022 5 時(shí)，ω2≈ω1；當(dāng)f=0.018 3 時(shí)，ω3≈2ω2.這表明模型各階頻率之間存在多種內(nèi)共振關(guān)系，此時(shí)相鄰階模態(tài)之間會(huì)發(fā)生能量傳遞和模態(tài)互換，并導(dǎo)致索的大幅振動(dòng)，工程中應(yīng)注意設(shè)計(jì)參數(shù)以避免此現(xiàn)象的發(fā)生.

圖4 淺拱矢跨比對(duì)模型前五階頻率的影響曲線Fig.4 Effect of the rise-to-span ratio of the shallow arch on the first five frequencies

圖5 給出了拉索垂度對(duì)模型的前五階頻率的影響曲線.從圖中可以看出前四階模態(tài)頻率隨著拉索垂度的增加而緩慢減小，這是因?yàn)榍八碾A模態(tài)中拉索的振動(dòng)主要由淺拱的拖動(dòng)造成，隨著拉索垂度的增加，拉索等效剛度減小，整體結(jié)構(gòu)剛度也減小，從而頻率減小.第五階頻率隨著拉索垂度的增加先減小后增加，這是因?yàn)殡S著垂度的進(jìn)一步增加，索與水平方向的夾角減小，索力的水平分量變大，從而導(dǎo)致淺拱的幾何剛度增大，結(jié)構(gòu)的頻率增大.第五階模態(tài)拉索自身振動(dòng)幅度較大，因此拉索垂度對(duì)模型頻率的影響也更加明顯.

圖5 k=1 000 時(shí)拉索垂度對(duì)模型的前五階頻率的影響曲線Fig.5 Effect of the sag of the cable on the first five frequencies when k=1 000

圖6 給出了拉索傾角對(duì)模型前五階頻率的影響曲線.從圖中可以看出，前兩階頻率隨著拉索傾角的增加先緩慢增加，再緩慢下降，但總體來(lái)說(shuō)變化幅度很小.當(dāng)拉索傾角較小時(shí)，三、四、五階頻率隨拉索傾角的增加變化不大，當(dāng)拉索傾角繼續(xù)增加到一定值時(shí)，頻率會(huì)顯著下降.這是因?yàn)殡S著傾角的增大，拉索兩端錨固點(diǎn)水平距離不變，斜拉索變長(zhǎng)，質(zhì)量也隨之增加，因此頻率變小[14，15].另外，當(dāng)拉索傾角增加到1.2 左右時(shí)，第四階和第五階頻率很接近，這是因?yàn)榇藭r(shí)第四階和第五階模態(tài)都是索單獨(dú)振動(dòng)的局部模態(tài)，第四階是反對(duì)稱模態(tài)，第五階是正對(duì)稱模態(tài)；而當(dāng)拉索傾角增加到1.3 左右時(shí)，局部模態(tài)變?yōu)榈谌A和第四階，因此第三階和第四階的頻率曲線發(fā)生了重合.

圖6 k=1 000 時(shí)拉索傾角對(duì)模型前五階頻率的影響曲線Fig.6 Effect of the incline degree of cable on the first five frequencies when k=1 000

4 結(jié)論

論文考慮斜拉橋的初始構(gòu)型和更合理的支承條件，建立了豎向彈性約束下的多索-淺拱動(dòng)力學(xué)模型.基于索和淺拱的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)方程，將淺拱在索-拱耦合處分段，推導(dǎo)了豎向彈性約束多索-淺拱的面內(nèi)自由振動(dòng)理論.以豎向彈性約束雙索-淺拱模型為例，對(duì)其面內(nèi)特征值問(wèn)題進(jìn)行了求解，通過(guò)與有限元模擬得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，表明論文方法和模型的正確性.最后，對(duì)模型的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了詳細(xì)的參數(shù)化分析并由此得出如下結(jié)論：

1）隨著彈性支座剛度的增加，結(jié)構(gòu)的各階頻率增加，在支座位移大的模態(tài)中，頻率對(duì)支座剛度變化更為敏感.支座剛度會(huì)影響系統(tǒng)內(nèi)共振的發(fā)生從而影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，將兩端邊界條件視為彈性約束更合理.

2）增加淺拱矢跨比會(huì)使得結(jié)構(gòu)的某階頻率明顯增加，從而改變結(jié)構(gòu)的內(nèi)共振關(guān)系，在斜拉橋動(dòng)力特性分析中應(yīng)當(dāng)考慮橋面梁初始構(gòu)型所造成的影響.

3）改變淺拱矢跨比和拉索傾角會(huì)產(chǎn)生veering 現(xiàn)象.支座剛度的變化會(huì)影響這一現(xiàn)象的出現(xiàn)，剛度越大該現(xiàn)象越明顯.

4）拉索垂度對(duì)低階頻率影響不明顯，對(duì)高階頻率的影響較為明顯.拉索傾角對(duì)局部模態(tài)影響較大，因此在進(jìn)行拉索設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該設(shè)計(jì)合適的傾角，避免局部模態(tài)出現(xiàn)在低階模態(tài)而產(chǎn)生內(nèi)共振.