刀具螺旋槽磨削接觸線的幾何求解及其在三維建模中的應(yīng)用

曾 滔 劉戰(zhàn)強(qiáng) 左小陳 羅 勝

(①山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100；②株洲鉆石切削刀具股份有限公司，湖南 株洲 412007)

刀具三維建模是刀具數(shù)字化設(shè)計(jì)技術(shù)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，螺旋槽是旋轉(zhuǎn)類整體刀具的共有特征，精確地建立螺旋槽的三維實(shí)體模型對(duì)于提高刀具設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)效率具有重要意義。

螺旋槽結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與磨削加工中，有一條重要的特征線稱為磨削接觸線，它是砂輪作螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，任意時(shí)刻砂輪與螺旋槽之間的瞬時(shí)相切線。接觸線繞砂輪軸線旋轉(zhuǎn)，得到砂輪的外圓周面；繞刀具軸線作螺旋運(yùn)動(dòng)，得到刀具螺旋槽。由于接觸線同時(shí)具備砂輪和螺旋槽的特征信息，如果能求解出螺旋槽磨削接觸線，在三維設(shè)計(jì)軟件中將其繞刀具軸線作螺旋運(yùn)動(dòng)，便可精確建立螺旋槽的三維實(shí)體模型。

目前建立刀具螺旋槽三維模型的方法主要有3種。一是“截面掃掠法”，即利用三維設(shè)計(jì)軟件的“掃掠”功能，將螺旋槽橫截面輪廓沿指定螺旋線掃掠生產(chǎn)螺旋槽[1-2]。這種方法原理和操作都非常簡(jiǎn)單，應(yīng)用非常普遍，但最大的問(wèn)題是螺旋槽的截面輪廓通常僅用3個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行描述，與實(shí)際產(chǎn)品的截面輪廓存在一定誤差，而且螺旋槽槽尾即砂輪退刀處無(wú)法實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)建模，故建模的精度不高。二是“實(shí)體切除法”，即利用某些三維設(shè)計(jì)軟件(如SolidWorks)中的特定功能，使砂輪實(shí)體沿指定路徑作螺旋運(yùn)動(dòng)形成包絡(luò)體，然后與刀體作布爾減運(yùn)算形成螺旋槽[3-4]。這種方法操作簡(jiǎn)單，但對(duì)三維設(shè)計(jì)軟件的功能有限制，具有一定局限性，而且計(jì)算量較大。三是“仿真加工法”，它是基于螺旋槽的磨削加工原理，利用數(shù)控加工仿真技術(shù)和軟件生成刀具實(shí)體模型[5-6]。“仿真加工法”所生成的螺旋槽模型理論上與實(shí)際產(chǎn)品完全一致，精度非常高，但需要具備扎實(shí)的螺旋槽磨削加工理論知識(shí)，完成建模的難度較大。

可見(jiàn)，上述方法均存在一定弊端，而且建模過(guò)程中未有效利用螺旋槽磨削接觸線。造成該現(xiàn)狀的原因在于螺旋槽磨削接觸線通?；谇婀曹椩磉M(jìn)行求解，這種解析法涉及微分方程[7-8]和復(fù)雜的非線性方程[9]，接觸線只能用離散的點(diǎn)云進(jìn)行描述，在三維設(shè)計(jì)軟件中，除非進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，不然接觸線和螺旋槽的建模很難實(shí)現(xiàn)參數(shù)化。為快捷、高效、精確地建立刀具螺旋槽的三維參數(shù)化實(shí)體模型，本文提出了一種求解螺旋槽磨削接觸線的幾何方法，并應(yīng)用該方法實(shí)現(xiàn)了刀具螺旋槽的三維參數(shù)化建模。

1 解析法求解磨削接觸線

如圖1所示，以砂輪左側(cè)大端面圓心為原點(diǎn)建立砂輪坐標(biāo)系oW-xWyWzW，其中zW軸與砂輪軸線重合，并指向砂輪左端面，xW軸垂直向上。以刀具刃部端面中心為圓心建立刀具坐標(biāo)系oT-xTyTzT，其中zT軸與刀具軸線重合，并指向刀具刃部，xT軸同樣垂直向上，砂輪與刀具坐標(biāo)系的y軸由右手定則確定。

加工刀具螺旋槽時(shí)，砂輪相對(duì)刀具的初始位姿由4個(gè)參數(shù)確定：砂輪軸線與刀具軸線間的距離在xT軸上的投影長(zhǎng)度ax，砂輪與刀具坐標(biāo)系原點(diǎn)之間的距離在yT軸上的投影長(zhǎng)度ay，在zT上的投影長(zhǎng)度az，以及兩軸線之間的夾角∑，這4個(gè)參數(shù)即為螺旋槽磨削參數(shù)。其中，參數(shù)ax、ay和∑決定螺旋槽的形狀，az決定螺旋槽端面截形的周向位置。

確定砂輪相對(duì)刀具的位姿后，砂輪繞刀具軸線作螺旋運(yùn)動(dòng)，完成螺旋槽的磨削加工。砂輪作螺旋運(yùn)動(dòng)的方程如下：

(1)

式中：p=R/tanβ(R為刀具半徑)，ε為螺旋運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

GW(u,α,ε)=

(2)

GW(u,α,ε)表示以螺旋運(yùn)動(dòng)參數(shù)ε為參變量的曲面族，該曲面族存在包絡(luò)面S0，S0即為砂輪磨削加工形成的螺旋面。根據(jù)曲面共軛條件，

NG·VG=0

(3)

則根據(jù)式(2)和(3)，螺旋槽磨削時(shí)的曲面共軛條件可整理為

(4)

根據(jù)式(4)，可以確定參變量u和α之間的關(guān)系，將其代入式(2)中，可求得砂輪在任意加工位置與螺旋槽之間的磨削接觸線方程。

2 幾何法求解磨削接觸線

本文提出的幾何法求解螺旋槽磨削接觸線是應(yīng)用目前機(jī)械制造行業(yè)通用的三維設(shè)計(jì)軟件，借助軟件的“曲面求交線”功能獲取螺旋槽磨削接觸線。

如圖2所示，在螺旋運(yùn)動(dòng)參數(shù)ε=ε0的當(dāng)前位置，砂輪與螺旋槽之間的接觸線為L(zhǎng)1，在螺旋運(yùn)動(dòng)參數(shù)ε=ε0+Δε的臨近位置，砂輪與螺旋槽之間的接觸線為L(zhǎng)2。顯然，接觸線L2可看作接觸線L1作螺旋運(yùn)動(dòng)(螺旋運(yùn)動(dòng)參數(shù)為ε=Δε)形成的新曲線，二者形狀完全相同。

當(dāng)Δε→0時(shí)，接觸線L2等同于接觸線L1，此時(shí)，L1上的所有點(diǎn)既在當(dāng)前砂輪(ε=ε0)上，也在臨近位置的砂輪(ε=ε0+Δε)上，即此時(shí)接觸線L1的近似解是砂輪(ε=ε0)與砂輪(ε=ε0+Δε)的交線。該近似解的精度取決于三維設(shè)計(jì)軟件中，“曲面求交線”功能在可識(shí)別兩個(gè)不同曲面交線的前提下，角度差Δε設(shè)定值的大小，Δε越小，接觸線的精度越高。從目前的應(yīng)用情況來(lái)看，在UG軟件中，Δε值設(shè)定為0.005°，甚至0.001°都可求解出接觸線，這樣的精度完全能夠滿足工程應(yīng)用的需求。

由于砂輪任意位置與螺旋槽的磨削接觸線空間形狀完全一樣，根據(jù)前文所述極限思想，螺旋運(yùn)動(dòng)參數(shù)ε=0位置時(shí)的磨削接觸線滿足，

(5)

根據(jù)式(2)和式(5)有，

(6)

當(dāng)螺旋運(yùn)動(dòng)參數(shù)Δε→0時(shí)，sinΔε?Δε，1-cosΔε=2sin2(Δε/2)?Δε2/2，高階無(wú)窮小量和無(wú)窮小量進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，Δε2作為Δε的高階無(wú)窮小量，可以忽略。針對(duì)式(6)，通過(guò)去除或增加適合的高階無(wú)窮小項(xiàng)P·Δε2(P為函數(shù))，整理可得，

(7)

據(jù)式(7)，令y(u1)=g(u2,α2)，z(u1)=h(u2,α2)，當(dāng)砂輪截形輪廓確定后，y(u1)和z(u1)之間的關(guān)系便唯一確定，據(jù)此可建立g(u2,α2)和h(u2,α2)之間的關(guān)系，即螺旋槽磨削加工時(shí)的曲面共軛條件為，

(8)

用于加工螺旋槽的砂輪，不管何種截面輪廓形狀，在工程應(yīng)用中通常都是用多段圓弧或直線光滑連續(xù)相接進(jìn)行擬合。如圖3所示的砂輪，若已知其截形輪廓直線段的斜率和截距分別為k、b，任意一個(gè)圓弧段的圓心為(xi,yi)，半徑Ri，則截形輪廓可用參數(shù)方程表示為

對(duì)于砂輪截面輪廓直線段，據(jù)式(7)、(9)有

(10)

式(10)消去參數(shù)u1整理可得

(11)

對(duì)于砂輪截面輪廓圓弧段，據(jù)式(7)、(9)有

(12)

式(12)消去參數(shù)u1整理可得

(13)

式(11)和(13)分別為采用極限思想推導(dǎo)出的砂輪截面輪廓直線段和圓弧段對(duì)應(yīng)的螺旋槽磨削曲面共軛條件。同樣，利用解析法根據(jù)式(4)和(9)可推導(dǎo)出曲面共軛條件分別為

(14)

(15)

顯然，式(11)與(14)，以及式(13)與(15)在形式上一樣，從而證明了基于極限思想的幾何法求解接觸線具有可靠的數(shù)學(xué)原理基礎(chǔ)。

基于UG、CATIA、Pro/E等三維機(jī)械設(shè)計(jì)軟件應(yīng)用幾何法求解刀具螺旋槽磨削加工接觸線的具體實(shí)施步驟如圖4所示：

(1)首先根據(jù)目標(biāo)螺旋曲面的設(shè)計(jì)參數(shù)和加工該螺旋曲面所用砂輪的截面輪廓參數(shù)求解砂輪加工螺旋槽的刃磨參數(shù)。

(2)根據(jù)刃磨參數(shù)和砂輪外形尺寸參數(shù)，利用三維設(shè)計(jì)軟件在螺旋運(yùn)動(dòng)參數(shù)ε=ε0位置構(gòu)造砂輪的三維模型。

(3)利用砂輪模型，抽取ε=ε0位置砂輪的有效加工表面S1。

(4)基于螺旋運(yùn)動(dòng)原則，根據(jù)有效加工表面S1，利用三維設(shè)計(jì)軟件在ε=ε0+Δε位置構(gòu)造砂輪有效加工表面S2，其中Δε→0。

(5)選定砂輪有效加工表面S1和S2，利用三維設(shè)計(jì)軟件的“構(gòu)造曲線交線”功能求出有效加工表面S1和S2的交線，該交線即為螺旋槽磨削接觸線。

3 幾何法求解接觸線的應(yīng)用

通過(guò)一個(gè)具體實(shí)例，論述幾何法求解接觸線在刀具三維參數(shù)化建模中的應(yīng)用。本研究應(yīng)用的三維設(shè)計(jì)軟件為UG，目標(biāo)刀具為四刃平頭立銑刀，其外形尺寸參數(shù)見(jiàn)表1。立銑刀三維實(shí)體建模的過(guò)程依次為：(1)建立刀具棒體毛坯模型；(2)建立螺旋槽模型；(3)建立周刃模型；(4)建立端齒gash模型；(5)建立端齒模型；(6)建立刀尖倒角模型，下文重點(diǎn)論述螺旋槽的三維建模方法。

表1 刀具外形尺寸參數(shù)

圖5所示為銑刀螺旋槽截形輪廓和設(shè)計(jì)參數(shù)示意圖，該螺旋槽采用圖6所示截形輪廓的 “Hcone”砂輪進(jìn)行加工；螺旋槽設(shè)計(jì)參數(shù)和砂輪截形輪廓參數(shù)值見(jiàn)表2。

(1)構(gòu)建刀具毛坯和砂輪模型。根據(jù)表1數(shù)據(jù)，建立刀具棒體毛坯模型。根據(jù)表2中數(shù)據(jù)，參考文獻(xiàn)[9]中提出的方法推導(dǎo)“Hcone”砂輪加工螺旋槽的刃磨參數(shù)求解方程，求解出砂輪刃磨參數(shù)為ax=77.917 mm，ay= 4.079 mm，az= 1.778 mm，∑= 41.64°。根據(jù)刃磨參數(shù)確定砂輪中心，并建立Hcone砂輪三維模型如圖7所示。

表2 螺旋槽設(shè)計(jì)參數(shù)和砂輪截形輪廓參數(shù)

(2)幾何法求解接觸線。根據(jù)刀具實(shí)際加工過(guò)程中砂輪外圓周面磨削刀具毛坯的有效范圍，在砂輪模型上截取有效加工部分，并抽取當(dāng)前位置砂輪有效加工表面S。按照螺旋運(yùn)動(dòng)規(guī)則，利用UG中的“引用幾何體”功能，將有效加工表面S沿刀具軸向進(jìn)行變換，得到ε=ε0位置砂輪的有效加工表面S1。變換參數(shù)包括沿軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度ε0和沿軸線移動(dòng)的距離l0，其中l(wèi)0=lc，ε0=lc/p。同樣，利用“引用幾何體”功能，將有效加工表面S1沿刀具軸向進(jìn)行變換，得到ε=ε0+Δε位置砂輪的有效加工表面S2，變換參數(shù)為Δε和Δl，其中Δε=0.001°和Δl=pΔε。然后利用“相交曲線功能”，直接求解出S1和S2的交線，如圖8所示。

(3)構(gòu)建螺旋槽槽尾曲面。利用“修剪片體”功能，用接觸線將有效加工表面S2的上半部分修剪掉，保留下半部分作為螺旋槽槽尾曲面。

(4)構(gòu)建螺旋槽曲面。利用“掃掠”功能將接觸線繞刀具螺旋刃線掃掠，得到螺旋槽槽體曲面，然后利用曲面“縫合”功能，將槽尾曲面和槽體曲面縫合，得到完整的螺旋槽曲面。

(5)構(gòu)建螺旋槽實(shí)體模型。應(yīng)用“修剪體”功能，用螺旋槽曲面將刀具棒體毛坯分割，得到螺旋槽實(shí)體模型，如圖9所示。

(6)最后依次建立周刃、端齒gash、端齒和刀尖倒角模型，完成目標(biāo)銑刀三維實(shí)體模型的建立，如圖10所示。

通過(guò)檢測(cè)螺旋槽3個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，間接驗(yàn)證刀具三維模型精度。利用UG中的“測(cè)量”功能，對(duì)螺旋槽的槽前角、芯徑和槽夾角3個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如圖11和表3所示。表3顯示，3個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的實(shí)際誤差分別為7.7%、0.16%、0.13%，除槽前角的實(shí)際誤差稍大外，其他兩個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的誤差都非常小，但三者的實(shí)際誤差均顯著小于設(shè)計(jì)誤差要求，這表明應(yīng)用新方法建立的模型精度完全能夠滿足工程應(yīng)用需要。

三維模型誤差的產(chǎn)生原因主要有兩個(gè)方面：一是幾何法求解磨削接觸線導(dǎo)致的誤差；二是刃磨參數(shù)求解導(dǎo)致的誤差，可分別通過(guò)減小Δε的取值和提高刃磨參數(shù)的求解精度實(shí)現(xiàn)減小刀具三維建模誤差的目標(biāo)。

表3 螺旋槽模型實(shí)際誤差與設(shè)計(jì)誤差對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

(1)針對(duì)現(xiàn)有螺旋槽三維建模方法未充分利用磨削接觸線的現(xiàn)狀，以及解析法求解接觸線難以在三維軟件中實(shí)現(xiàn)參數(shù)化的弊端，提出一種基于極限思想求解螺旋槽磨削接觸線的幾何方法。

(2)對(duì)幾何法求解磨削接觸線的的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行了闡述，將基于極限思想推導(dǎo)的螺旋槽磨削曲面嚙合條件與基于包絡(luò)原理推導(dǎo)的曲面共軛條件進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明二者形式完全一樣，證明了極限幾何法求解接觸線的可靠性。對(duì)新方法的具體實(shí)施步驟進(jìn)行了說(shuō)明。

(3)通過(guò)四刃平頭立銑刀三維實(shí)體建模的具體實(shí)例，論述了極限幾何法求解螺旋槽磨削接觸線在刀具三維建模中的應(yīng)用。最后對(duì)比了螺旋槽設(shè)計(jì)參數(shù)的建模誤差與設(shè)計(jì)誤差大小，間接證明了應(yīng)用新方法建立的刀具三維模型精度完全滿足工程需要。