基于二階矩信息的五軸數控機床幾何誤差建模

信世豪 張立強 李宇昊

(①上海工程技術大學機械與汽車工程學院，上海 201620;②上海拓璞數控科技股份有限公司，上海 201100)

科學技術的高速發展帶動了制造業的發展，數控機床日漸成為需要高性能機床的現代化制造產業中不可或缺的重要組成部分。在數控機床加工過程中，幾何誤差、裝配誤差、刀具磨損、加工熱及外部環境等都會造成加工誤差[1]。其中幾何誤差是指由于機床各個部件實際幾何參數偏離理想情況導致的誤差，是機床的固有誤差，是機床誤差源中重要的組成部分之一[2]。近年來，許多文獻圍繞誤差建模技術進行了研究，誤差建模技術可以為建立誤差模型提供理論基礎，通過誤差模型建立零件制造裝配過程中的幾何誤差與最終機床空間定位誤差之間的關系[3]。

文獻表明，目前數控機床幾何誤差建模時通常都假定幾何誤差為常量[4]，但是五軸數控機床是由多個平動軸和轉動軸串聯組成的，各運動軸在加工過程共同作用產生誤差[5]，因此在同一位置多次測量時，測得誤差隨機性較強。傳統模型沒有考慮誤差隨機分布情況對定位誤差的貢獻[6-7]。針對這一問題，本文根據C100P五軸數控機床的結構特點，通過測量統計確定各項幾何誤差分布，基于誤差的均值與方差進行誤差建模。由于一般情況下幾何誤差十分接近正態分布，因此本文假設幾何誤差服從正態分布，以矩陣形式表示機床幾何誤差，從而將幾何誤差概率分布情況納入誤差模型。該研究方法也可為其他各類機床建模問題提供參考。

1 基本方法

1.1 誤差分析

數控機床是由多個活動構件聯動運動的復雜機械系統，由于間隙、形變和切削力等原因不可避免存在誤差[8]。傳統方法測量誤差時，通常將誤差視為定值，忽略了其分布情況，實際上，在誤差經過傳遞之后，由于誤差隨機分布導致的誤差將被放大。

假設有兩個串聯且沿X軸移動的移動副，不考慮其分布情況時，極限誤差為μ1、μ2。

以表1中列舉的兩組誤差數值為例，傳統方法計算這兩個移動副的合成極限誤差為μt=μ1+μ2，結果記錄于表1第三行；如果考慮誤差分布情況，在Matlab中設定誤差的均值與標準差，模擬實際運行過程中由于多種原因導致的誤差隨機分布，再對兩個誤差進行合成，將結果記錄于表1第四行。

表1 傳統誤差合成與考慮分布的誤差合成

觀察表1中兩種方法的極限誤差可知，考慮誤差隨機分布情況時，合成誤差的極限誤差大于傳統計算方法算出的誤差，這是由于傳統誤差合成忽略了誤差在空間內的隨機分布情況而產生的。針對因此產生的誤差，本文將考慮誤差分布情況，對數控機床進行誤差建模，從而提高誤差模型的準確度。

1.2 正態隨機變量矩陣運算規則

1.2.1 基于二階矩信息建立誤差傳遞矩陣

多軸數控機床運動副間位姿傳遞關系可用3項角度誤差與3項平動誤差組成的傳遞矩陣表示，如圖1所示。

以C100P五軸數控機床Z軸為例，根據齊次坐標變換原理，Z軸相對于床身的誤差傳遞矩陣可表示為：

(1)

為了考慮誤差分布情況，引入誤差的二階矩信息來描述各項誤差，二階矩信息即誤差的均值與方差，能夠準確描述誤差在空間中的分布情況，每一項誤差都描述為由均值與方差表示的矩陣形式。相比傳統齊次坐標變換法建立的傳遞矩陣，引入二階矩信息的誤差傳遞矩陣包含了誤差的分布情況，能夠計算在誤差傳遞后誤差分布相互耦合產生的影響。考慮正態化的誤差特征矩陣中，為方便表示，將誤差項Δx1記作一行二列數組(a，b2)，其中a表示Δx1均值，b表示Δx1標準差。Z軸相對于床身的帶分布誤差傳遞矩陣可表示為：

(2)

式中：μ表示誤差的均值，o表示誤差的方差。同理B軸相對Z軸的誤差傳遞矩陣也可表達為同一形式。則B軸相對于床身的誤差傳遞矩陣可表示為：

MOB=MOZ·MZB

(3)

分析式(3)可以發現，在多體系統運動學中，二階矩形式的誤差特征矩陣包含4種運算：常數與誤差項相加，常數與誤差項相乘，誤差項與誤差項相加，誤差項與誤差項相乘，因此必須確定上述4種運算如何進行，才能使用多體系統運動學方法對誤差進行建模。為將帶分布的運算符號與數值運算符號區分開來，本文定義符號#+和#*分別為帶分布加法和帶分布乘法運算符，之后將以#+表示帶分布的加法運算，以#*表示帶分布的乘法運算。

1.2.2 常數與誤差項相加

因為常數c可以看作均值為c，方差為0的誤差項，因此可以將常數c表示為(c，0)，根據正態分布函數性質，常數項c與正態分布Δx1相加，均值相加，標準差不變，可表示為：

c+Δx1=(a,b2)#+(c,0)=(a+c,b2)

(4)

1.2.3 常數與誤差項相乘

根據正態分布函數性質，常數項c與正態分布Δx1相乘，均值為兩者均值的乘積，標準差為兩者標準差的乘積，可表示為：

c·Δx1=(a,b2)#*(c,0)=(a·c,(c·b)2)

(5)

1.2.4 誤差項與誤差項相加

因為Δx1、Δx2為獨立正態分布，根據正態分布性質，兩個獨立正態分布相加，得到的分布為正態分布，均值為兩者均值之和，方差為兩者方差之和，可表示為：

Δx1+Δx2=(a1,b12)#+(a2,b22)=

(a1+a2,b12+b22)

(6)

1.2.5 誤差項與誤差項相乘

兩個誤差項為獨立正態分布，即滿足

(7)

(8)

在Matlab中創建兩個大小相同的符合N(0,1)分布的標準正態分布數列a與b，分析N(0，1)·N(0，1)的性質。創建c=a·b，即滿足c=N(0，1)·N(0，1)，使用normfit函數求得c的均值與方差，可得到c的均值為0，方差為1，表達式可表示為：

(9)

分析式(9)可以發現，公式左側為二次多項式形式，最高次項為Δx1*Δx2且僅有一項，因此可以根據式(3)～(9)經運算得到Δx1*Δx2的分布情況

Δx1Δx2-a1x2-a2x1+a1a2～(0,(b1b2)2)

(10)

進一步推導可得

(11)

Δx1*Δx2的標準差可表示為：

(12)

1.2.6 驗證公式正確性

由于均值的四則運算和傳統運算相同，因此僅驗算標準差的計算公式。

由于Δx1·Δx2運算具有對稱性，Δx1·Δx2=Δx2·Δx1顯然成立。任取一組不同的均值與方差，另一組保持不變，通過式(12)計算理論標準差。表2記錄了實驗選取的不同均值與標準差以及經過式(12)計算得到的理論標準差。

表2 選取不同均值與方差檢驗公式正確性

創建兩個服從正態分布的隨機變量數組a和b，定義c為這兩個正態分布的乘積。從數組a和b中選取隨機變量進行數值模擬，求得c的實際標準差并將結果記錄在表3中。將表2和表3中的標準差數據繪制在圖2同一坐標軸上，比較數值模擬和公式計算得到的標準差。觀察圖2可以發現通過式(12)計算得到的標準差和通過數值模擬得到的標準差實際值基本吻合，證明了公式的正確性。

表3 部分標準差數值模擬結果

2 C100P五軸數控機床誤差建模

2.1 結構分析

以圖3所示C100P轉臺擺頭式五軸數控機床為例，它由床身、擺頭(A軸)、轉臺(B軸)、橫向滑臺(X軸)、升降臺(Y軸)、縱向滑臺(Z軸)和主軸組成。

基于多體運動學理論簡化機床，由于各部分之間為串聯結構，所以可將機床抽象為具有兩條分支的樹系統拓撲構型。第一分支由床身、縱向滑臺和轉臺構成，第二分支由床身、橫向滑臺、升降臺和擺頭構成[9]。

2.2 機床運動矩陣和誤差傳遞矩陣的建立

假設研究對象為C100P轉臺擺頭型五軸數控機床，根據式(3)推導出各運動軸實際運動矩陣并記錄于表4。

表4 各運動軸實際運動矩陣

表中：MX、MY、MZ、MA和MB分別為X、Y、Z、A和B軸的理想運動矩陣，eX、eY、eZ、eA和eB分別為X、Y、Z、A和B軸平動誤差，eCX、eCY、eCA和eCB分別為X、Y、A和B軸轉動誤差，eW為工件對刀點相對于B軸旋轉中心的相對坐標，et為刀尖點相對于A軸旋轉中心的相對坐標。

根據各運動軸實際運動矩陣可得到工件和刀具實際位姿矩陣公式的具體形式分別為：

pw=TOZ·TZB·TBW

(13)

pt=TOX·TXY·TYA·TAT

(14)

式中：pw為工件實際位姿矩陣，pt為刀具實際位姿矩陣。同理可以得到工件和刀具理想位姿矩陣公式分別為：

(15)

(16)

pwt=Et-Ew

(17)

pwt′=Et′-Ew′

(18)

機床空間定位誤差e即刀尖相對于工件對刀點的理想位置矢量與實際位置矢量之差，可表示為：

e=pwt-pwt′

(19)

3 誤差模型實驗驗證

為了驗證誤差模型，本文采用對照組的實驗方法，測量數控機床幾何誤差參數[10-11]測量結果記錄于表5。針對表5中給出的C100P轉臺擺頭型五軸數控機床誤差數據，通過誤差模型預測刀具定位誤差，繪制圖像。

表5 C100P五軸數控機床誤差參數

在X、Y和Z三根直線軸上均勻選取8組采樣點，將表5中的誤差數據代入式(13)～(19)，得到機床理論極限定位誤差；計算各項誤差的極限誤差代入傳統齊次坐標變換法計算得到理論極限定位誤差；對于實際定位誤差采用蒙特卡洛法進行模擬。蒙特卡洛法是一種通過抽樣隨機原始誤差，模擬位姿誤差數學模型在計算機上產生與實際加工具有相同統計特征的定位誤差數據的數值近似方法。根據表5中的均值與方差分別創建各誤差項的隨機數組，從隨機數組中選取元素計算定位誤差，通過多次選取隨機數模擬實際加工過程中誤差項分布情況，用蒙特卡洛模擬法模擬8次機床實際定位極限誤差，并對X軸極限定位誤差計算余差，結果輸出在圖4。

分析圖4可知，傳統誤差模型理論隨X軸位置變化預測結果余差均值為1.29 μm，基于誤差二階矩信息的誤差模型預測結果余差均值為0.36 μm；傳統誤差模型理論隨Y軸位置變化預測結果余差均值為3.16 μm，基于誤差二階矩信息的誤差模型預測結果余差均值為0.25 μm；傳統誤差模型理論隨Z軸位置變化預測結果余差均值為2.65 μm，基于誤差二階矩信息的誤差模型預測結果余差均值為0.43 μm。基于誤差二階矩信息建模計算得到的C100P五軸數控機床極限定位誤差相比傳統齊次坐標變換法具有較理想的預測性能。

4 結語

本文以五軸數控機床為研究對象，通過引入誤差二階矩信息，將誤差分布情況納入誤差模型。詳細討論了正態分布隨機變量間的運算規則，討論了帶分布誤差傳遞矩陣的建立方法，空間定位誤差的計算原理及方法。為了驗證該模型的準確性，以C100P轉臺擺頭型五軸數控機床為例，通過測量采集誤差數據計算出理論定位誤差，與蒙特卡洛模擬法計算出的定位誤差進行比較。結果表明，基于二階矩信息的誤差模型能夠正確預測數控機床空間定位誤差分布情況，具有較好的預測精度。通過與傳統誤差模型計算結果進行對比，證明了該模型相比傳統誤差模型能夠更加準確地預測機床空間定位誤差。為機床空間定位誤差的改善提供了參考。