橢圓曲線y2=29nx(x2+8)的正整數點

杜先存，孫 菊，李 薇

（紅河學院 教師教育學院，云南 蒙自 661199）

橢圓曲線的整數點問題一直都是一個基本而又重要的問題。對橢圓曲線

整數點研究，目前已有一些結果，主要集中在b=1,2,8,32,64,128上[1-12]。本文對a=8 的情形進行研究，得出了如下定理：

定理若n≡5(mod8)為奇素數，則橢圓曲線

至多有1 個正整數點。

1 相關引理

引理1[13]若D是一個非平方的正整數，則丟番圖方程x2-Dy4=1至多有1 組正整數解。

2 定理證明

證明因為n為奇素數，由(1)式知，設y=29nz，z∈Z，將其代入(1)得

由gcd(x,x2+8)=gcd(x,8)=1或2 或4 或8，可以將(2)式分解為以下4 種情況（k=1,2,4,8）：

（Ⅰ）x=ka2，x2+8=29nkb2，z=kab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+；

（Ⅱ）x=29ka2，x2+8=nkb2，z=kab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+；

（Ⅲ）x=nka2，x2+8=29kb2，z=kab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+；

（Ⅳ）x=29kna2，x2+8=kb2，z=kab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

其中，k=1,2,4,8。

下面對這4 種情況依次進行討論：

情形Ⅰx2+8=29nkb2兩邊同時取模n，得

又n≡5(mod8)為奇素數，故Legendre 符號值

因此(3)式不成立，所以該情形不成立，即橢圓曲線(1)無正整數點。

情形Ⅱx2+8=nkb2兩邊同時取模n，得

仿情形Ⅰ的證明知，該情形不成立，即橢圓曲線(1)無正整數點。

情形Ⅲx2+8=29kb2兩邊同時取模29，得

因為Legendre 符號值

因此(4)式不成立，所以該情形不成立，即橢圓曲線(1)無正整數點。

情形Ⅳ分為4 種情況。

（1）當k=1時，有x=29na2，x2+8=b2，將x=29na2代入x2+8=b2，得

兩邊同時取模n，得

又n≡5(mod8)為奇素數，故Legendre 符號值

因此(5)式不成立，所以當k=1 時，情形Ⅳ不成立，即橢圓曲線(1)無正整數點。

（2）k=2時，有x=58na2，x2+8=2b2，將x=58na2代入x2+8=2b2，得

由(6)式知b為偶數，設b=2c，c∈Z，得1682n2a4+4=4c，即

因gcd(a,b)=1，則a為奇數。又n≡5（mod8）為奇素數，故(7)式左邊為奇數，右邊為偶數。所以當k=2時，情形Ⅳ不成立，即橢圓曲線(1)無正整數點。

（3）k=4時，有x=116na2，x2+8=4b2，將x=116na2代入x2+8=4b2，得

兩邊同時取模n，得

又n≡5(mod8)為奇素數，Legendre 符號值

因此(8)式不成立。所以當k=4時，情形Ⅳ不成立，即橢圓曲線(1)無正整數點。

（4）k=8時，有x=232na2，x2+8=8b2，將x=232na2代入x2+8=8b2，得

即

由引理1 知方程(9)至多有兩組正整數解，因此k=8時橢圓曲線(1)至多有1 個正整數點。

綜上，橢圓曲線(1)至多有1 個正整數點。