在體積教學中培養學生的量感
——以北師版數學教材六年級下冊“圓錐的體積”教學為例

楊 征

（廣東省深圳市南山區荔香學校）

量感作為數學素養之一，在當前的新課改進程中已經引起了眾多教師的關注，它是對量的一種直覺與感覺，是空間觀念在測量領域的具象化與精細化，具有非標準化特征：既看不見，也摸不著。但量感的培養，有助于學生理解量的概念、體會量的大小、強化數量的感知。同時，能提高學生的估算與估測能力。因此，它對學生思維能力和問題解決能力的發展具有重要意義。但是，量感的形成很難有統一的測量與評價標準，對于學生學得如何，掌握得怎樣，是難以用紙筆進行檢測的。而且，量感的建立一開始依賴于經驗的積累，到一定程度后才能靠經驗、理性的疊加構建模型，形成觀念。因此，量感的建立不可能一蹴而就，而是在學習過程中逐步體驗和建立起來的。

在教學“圓錐的體積”一課時，教材中不少環節的設計，都有利于學生量感的培養。我利用學生已經學習過的“圓柱的體積”的基礎，先以“圓柱與圓錐體容器哪個裝得更多”的問題引發學生思考，提出本次探究實驗的目的，即比較兩者的體積大小，并找尋兩者之間的關系；再通過小組合作，探究了等底等高以及非等底等高條件下圓柱與圓錐之間的關系。結合前測學情，我采用3D技術打印定制特殊數據的學具，讓學生充分操作和體驗，自主推導出圓錐的體積公式，進而培養了學生的主動探究能力和合作精神，在“猜測—實驗—結論—驗證”過程中發展了學生的量感。

一、激活經驗，在直觀視覺中植入量感萌芽

六年級學生在學習圓錐的體積時，已有哪些學前基礎？對圓錐與圓柱的關系了解多少？學生在猜想圓錐體積計算公式的過程中，會有哪些猜想？有哪些困惑？怎樣引導學生進行合理有效的猜想？這些問題都是教學設計前與設計中需要考慮的方向。

美國特拉華大學蔡金法教授說：“數學問題的提出是指基于某個問題情境，通過接受已知或改變已知的方式來提出新的數學問題，然后將其以問題的形式表示出來。”等底等高的圓柱與圓錐形狀放在一起，學生很容易從視覺上就判定“圓柱體積比與它等底等高的圓錐大”，但大多少，它們有怎樣的倍數關系，卻沒有明確概念。因量感經驗積累不足，大部分學生對特殊數據的圓柱與圓錐之間的關系，難以判斷。我們嘗試加入了三個學習前測題（如圖1，圖2，圖3）。

前測題1：判斷圖1中圓柱與圓錐的面積大小。（單位cm）

圖1

前測題2：判斷圖2中圓柱與圓錐的面積大小。（單位cm）

圖2

前測題3：判斷圖3中圓柱與圓錐的面積大小。（單位cm）

圖3

前測情況為：當圓柱與圓錐底面積相等，圓錐高為圓柱2倍時，能正確判定圓柱體積大的學生約占53%；當圓柱與圓錐高相等，圓錐底面積為圓柱9倍時，能正確判定圓錐體積大的學生約占48%；當圓柱與圓錐底面積相等，圓錐的高為圓柱3倍時，能正確判定圓柱與圓錐的體積一樣大的學生約占25%。

只依靠形象直觀的圖示與學生的已有知識經驗，還不足以解決圓柱與圓錐體積關系的問題。我們仍需在此基礎上調整教學設計，以激發學生的量感意識。

二、聚焦問題，在方法辨析中啟動量感意識

基于學生的上述問題，我確定了本課學習目標：一是通過觀察、猜測、實驗、驗證的科學探究過程，理解并掌握圓錐的體積公式，發展學生量感；二是在學習中感悟科學探究方法，提高抽象推理能力；三是增強學生自主探究意識，體驗數學學習的價值與樂趣。

為達到學習目標，設計前我進行了一系列思考：首先，本課是只探究等底等高圓柱與圓錐體積之間的關系，還是相信學生，加入特殊數據，引導深度探究，建構深層次“圓錐體積”模型，以達到量感培養目標？在學生經歷“等底等高圓柱與圓錐體積之間關系”探究全過程后，我加入了3組特殊數據圓柱與圓錐體積之間關系的實驗，引導學生分組進行深度探究，在課堂生成中啟發、培養、發展了學生的量感。

其次，是研究圓錐體積還是容積？如何幫助學生界定體積與容積概念？是選用“冰淇淋”（圓柱體的冰淇淋與等底等高圓錐體冰淇淋，哪個體積更大）還是選用圓柱與等底等高的圓錐體容器來乘水？哪個更貼近生活？哪個更能引起學生的探究興趣？哪個更容易感知和培養量感？相對于水，學生對“冰淇淋”更有興趣。但是，固體計算體積，后續實驗用具盛的是水，測的是容積。為了減少中間的交替，我選用了飲用水并在課中交待：判斷哪種容器裝得多，說的是容積，但在小學階段，我們可以將容積與體積合并研究。

再次，實驗器具的選擇，為什么只能找到等底等高的圓柱與圓錐體容器？特殊數據的圓柱與圓錐體容器怎樣解決？容器中所盛物體用細沙、小米還是水更能降低實驗誤差？特殊數據成套的圓柱與圓錐體容器不易尋找，因此我通過3D技術打印定制特殊數據的容器，解決了實驗器具的問題。在多次課前嘗試和實驗中我發現，用細沙或小米，人為增加了操作難度，量勺與每次刮平的動作，拉長了實驗時間，干擾了學生專注力與實驗的準確性。這樣，不但無法達到建構的目的，反而增加了學生處理誤差的難度。而實驗改用盛水后，操作較為順利，誤差也有所降低。

還有兩個問題值得重視：實驗中出現誤差怎么辦？如何引導學生正確看待誤差？作為有“特殊數據”實驗用具的圓柱與圓錐，在3D打印時，應特別關注厚度與高度。課前，應多次實驗，選取誤差最小的器具在課堂使用。在指導學生進行實驗時，我通過問題“實驗中需要注意什么”引導學生注意正確操作，提示他們如果操作不當時，就可能會引起誤差。

對于個別學生出現的錯誤：長方形旋轉成圓柱體，三角形旋轉成圓錐體，長方形面積是三角形面積的2倍，所以圓柱體體積也應是圓錐體體積的2倍。應從算理的角度在新課時進行分析與研究。

最后，在實驗中，若“等底等高”與“特殊數據”同時呈現在一次實驗中，還是在二次實驗中分別解決？

在試教中我發現，“等底等高”與“特殊數據”同時呈現在一次實驗中，如5個小組實驗等底等高，2個小組實驗等底不等高，1個小組等高不等底，這3組實驗“特殊數據”的學生沒有經歷等底等高實驗的感知，難以建構圓柱與圓錐關系模型，無法進行推導過程說明。于是，我將設計改為：第一輪，全班學生一起完成等底等高數據實驗；第二輪，分組探究特殊數據形狀之間的關系。這樣，在建立基礎模型的過程中，提高了學生的度量意識。

三、發展思維，在實驗檢驗中積累量感經驗

數學實驗是蘊含思維的數學活動，是學生發現數學、體驗數學、理解數學和運用數學的一種重要方式。數學實驗能讓學生在觀察、操作、實驗中習得知識，積累量感經驗，激發數學學習的積極性，增進對數學本質的理解，提高數學應用能力。在本課設計中，要進行兩輪操作實驗，在實驗中感知量、培養量感。

【實驗一】探索等底等高圓柱與圓錐之間的關系

師：同學們，數學課要用數據說話，老師給每個小組都準備了一套圓柱與圓錐，請大家動手操作，用實驗結果來驗證我們的猜想。拿到學具你打算怎么操作？

生：比較圓柱與圓錐的底與高，看看是不是等底等高。

生：將圓錐盛滿水，注入圓柱，看倒了幾次，就是幾倍的關系。

師：在實驗開始之前你有什么想要提醒同學們在操作過程中需要注意的事項？

生：將圓錐盛滿水后，注入圓柱體中，記錄注入次數。

生：使圓柱剛好裝滿而不溢出。

生：注入動作要緩慢、平穩，以免產生誤差。

師：說得真好，這些注意事項都能幫助我們在實驗中減小誤差，提高實驗的科學性以及準確性。

師：這次實驗的圓柱與圓錐，底面直徑都為10cm，高都為15cm。請大家根據你們總結出的注意事項小組合作，進行實驗操作并完成實驗報告單。

師：請大家來分享你們的實驗結果。

小組1：我們小組將圓錐盛滿水后注入圓柱，剛好倒了3次。

小組2：我們的結果和剛剛匯報的小組一樣，也是倒了3次。

小組3：我們組將圓柱盛滿水，總共倒滿了3杯圓錐。

師：根據大家匯報的實驗數據，你有什么發現？

生：圓錐的體積V等于與它等底等高圓柱體積的三分之一。

生：圓柱的體積是與它等底等高的圓錐體積的3倍。生：圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

師：這樣表達可以嗎？有沒有其他意見？

生：應該還要加“等底等高”。

師：為什么？

生：從實驗來看，“等底等高”這個前提條件下的圓柱和圓錐才有3倍的關系。

【實驗二】探索非等底等高圓柱與圓錐之間的關系

師：剛才我們經歷了提問—猜測—實驗—結論—解決問題的全過程，探索的是等底等高的一組圓柱與圓錐，如果它們的條件發生改變，你們還能準確判斷它們的體積大小嗎？

師：請看，現在有這樣三套圓柱與圓錐體容器，它們的數據是這樣的，請大家說一說，你了解了什么數學信息？（如圖4）

圖4

生：第一套，圓柱與圓錐的底面直徑相等，但圓錐的高是圓柱高的2倍。

生：第二套，圓柱與圓錐的高度相等，都是12厘米，但圓錐底面直徑是圓柱底面直徑的3倍。

生：第三套，圓柱與圓錐的底面直徑相等，圓錐的高是圓柱高的3倍。

師：你認為每套中哪個容器的體積更大？將你猜一猜、估一估的結果填在學習單上，你認為每套中哪種形狀的容器裝得多就在下方打“√”，如果認為兩者同樣多那么兩者都打“√”。

師：請各小組拿出另一套學具，通過實驗來驗證猜想。

生：我們組形狀的數據是“圓柱與圓錐的底面直徑相等，但圓錐的高是圓柱高的2倍”。我們將圓錐裝滿水，倒了1次半就把圓柱倒滿了，所以我們判斷，圓柱形的體積較大。

生：在實驗前我們就想，圓錐是與它等底等高圓柱的三分之一，現在底相等，但圓錐的高是圓柱高的2倍，所以它們的體積不可能一樣大。

生：我們組實驗的數據是“圓柱與圓錐的高度相等，都是12厘米，但圓錐的底面直徑是圓柱底面直徑的3倍。”因為圓柱看起來明顯比較小，所以我們將圓柱裝滿水往圓錐里倒，倒了3次，所以我們認為圓錐形容器的體積較大。

生：我們組實驗的形狀數據是“圓柱與圓錐的底面直徑相等，圓錐的高是圓柱高的3倍”。我們將圓錐乘滿水往圓柱里倒，剛好一次就倒滿了，所以我們認為這兩種數據的容器體積一樣大。

生：如果說圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的三分之一，現在圓柱與圓錐體積相等，它們的底也相等，那圓錐的高應該是圓柱高的3倍。

在組織“量”的教學活動中，我引導學生觀察、操作、比較、驗證、表達，將模糊的感覺體現在實驗學具中，讓感覺得到校正，并逐步清晰。這樣，依托具體形象思維，引導學生積累量感經驗，使他們體驗了量感建立的過程。課堂實驗結束后，我對學生進行知識點后測，結果能正確判斷的較前測提高了約200%。

四、利用經驗，在抽象推理中構建量感模型

數學是一門邏輯性很強的學科，具有高度的抽象性、推理的嚴謹性、應用的廣泛性等特征。當學生經歷量感體驗過程后，還應自覺遷移，解決生活中的實際問題，利用量感經驗進行抽象推理，構建量感模型。基于此，我設計了以下兩個問題：

1.圓錐是與它等底等高圓柱的三分之一，如果是高度各取一半，等式是否還成立？（如圖5）

圖5

2.在等高等體積的情況下，圓錐的底面積應是圓柱的幾倍？

學生無需經歷所有數據的實驗，每一次的估測都是對量感的積累與培養。在教學中，我們應引導學生了解：當已知“圓錐是與它等底等高圓柱體體積的三分之一”時，其他特殊數據圓錐與圓柱體積的關系均可根據推理與計算得出結論。

學生的量感建立是呈鏈狀的，一環扣一環、一點接一點，需要教師不斷給學生提供尋找它們之間關系的機會和平臺，幫助其產生鏈接，讓量感從無到有、從碎片到整體，最終目的是讓這看不見、摸不著的“量感”，自然地植入學生的思維并應用于生活。本課的教學設計，每一個知識點，都在引導學生合乎邏輯地思考問題，不斷穿越表象，去偽求真。我引導學生針對圓錐體積的本質進行了深入解讀，在此基礎上，發展了學生的量感，讓量感的建立更精準、豐滿、靈動、自由，為學生未來的學習奠定了基礎。