WOD隨機變量序列加權(quán)和的完全收斂性

章茜，蔡光輝

（1.浙江機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，浙江杭州310053；2.浙江工商大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江杭州310018）

0 引 言

在統(tǒng)計學(xué)中，最小二乘估計、密度核估計、遞歸密度核估計、非線性核估計等統(tǒng)計量均為隨機變量加權(quán)和形式，對隨機變量加權(quán)和極限性質(zhì)的研究很重要。在實際應(yīng)用中，考慮獨立性假設(shè)的不合理性，很多相依結(jié)構(gòu)被相繼提出。因此，研究相依結(jié)構(gòu)的隨機變量序列具有一定的理論和實際意義。

WANG等［1］提 出 了 寬 相 依（widely orthant dependent，WOD）隨機變量序列概念，其定義為：

定義1［2］如果存在有限的實數(shù)序列{gU(n)，n≥1}，任取n≥1和xi∈(-∞，+∞)，1≤i≤n，滿 足P(X1>x1，X2>x2，…，Xn>xn)≤為上寬相依（widely upper orthant dependent，WUOD）隨機變量序列；如果存在有限的實數(shù)序列{gL(n)，n≥1}，任取n≥1和xi∈(-∞，+∞)，1≤i≤n滿足

則稱{Xn，n≥1}為下 寬相依（widely lower orthant dependent，WLOD）隨機變量序列；如果{Xn，n≥1}既是WUOD隨機變量序列，又是WLOD隨機變量序列，則稱{Xn，n≥1}為WOD隨機變量序列，其控制系數(shù)記為g(n)=max{gU(n)，gL(n)}。

WOD隨機變量序列是較負(fù)相依（negativelyorthant dependent，NOD）序 列 和 擴(kuò) 展 負(fù) 相 依（extended negatively dependent，END）序列［2-6］等更為廣泛和一般的隨機變量序列。自WOD隨機變量序列概念提出以來，眾多學(xué)者對其進(jìn)行了研究，如蔡光輝等［7］在獨立隨機變量序列重對數(shù)律基礎(chǔ)上，獲得了不同分布WOD隨機變量序列的重對數(shù)律；丁洋等［8］獲得了WOD隨機變量加權(quán)和的完全收斂性；TAO等［9］獲得了WOD隨機變量序列滑動平均的完全收斂性；LIU等［10］獲得了WOD隨機變量序列的矩完全收斂性；YAN［11］研究了負(fù)寬相依（WNOD）隨機變量序列的幾乎處處收斂性及在非參數(shù)模型中的應(yīng)用；WU等［12］在R-h-可積條件下獲得了WOD隨機變量序列的一些極限性質(zhì)。

完全收斂性的概念最先由HUS等［13］提出并進(jìn)行研究，其在強大數(shù)定律和強收斂速度研究中具有十分重要的作用。CHEN等［14］獲得了一類NOD隨機變量加權(quán)和的完全收斂性，其結(jié)果為

定 理1［14］設(shè)1<α≤2，α<γ，{X，Xn，n≥1}

為同分布的NOD隨機變量序列，且EX=0，E|X|γ<∞。設(shè)實數(shù)三角陣列{ank，1≤k≤n，n≥1}滿足

則

本文將定理1推廣至WOD隨機變量序列的情形，在證明方法上亦與傳統(tǒng)的先對隨機變量進(jìn)行截尾的方式有所不同。

定 理2 設(shè)1<α≤2，α<γ，{Xn，n≥1}是WOD隨機變量序列，且被隨機變量X所控制，滿足EX=0，E|X|γ<∞，控 制 系 數(shù) 為g(n)=(logn)αγ(1+δ)，δ>0。設(shè)實數(shù)三角陣列{ank，1≤k≤n，n≥1}滿足式（1），則對任意的ε>0，式（2）成立。

注1 定理2將定理1推廣至WOD隨機變量序列的情形，定理1是定理2的特例。

注2 與定理1相比，定理2取消了同分布這一條件。

注3 文獻(xiàn)［8］研究的是經(jīng)典的Baum-Katz型完全收斂性，定理2研究的是尾為n1α(logn)1γ形式的完全收斂性，是對Baum-Katz型完全收斂性的拓展。

本文中，C表示正常數(shù)，在不同情形下值可能不同。an?bn表示an=O(bn)，而an=O(bn)表示an≤Cbn，記logx=ln max{x，e}，#A表示集合A中包含的元素個數(shù)。

1 定理的證明

為證明定理2，需要以下引理。

引理1［2］設(shè){Xn，n≥1}為WOD隨機變量序列，如果{fn(?)，n≥1}為均非升（或均非降）函數(shù)，則{fn(Xn)，n≥1}仍為WOD隨機變量序列。

引理2［16］設(shè)隨機變量序列{Xn，n≥1}被隨機變量X所控制，則對任意的v>0，x>0，n≥1，有

（i）E|Xn|vI(|Xn|≤x)≤C{E|X|vI(|X|≤x)+xvP(|X|>x)}；