一階微分方程解法注記

孫杰華

【摘要】本文以一道一階微分方程的求解為例，從不同角度給出了其通解，由此展示了微分方程求解中常用的思想方法.

【關鍵詞】一階微分方程;變量替換;積分因子

【基金項目】桂林旅游學院教學改革建設項目（2019XJJGB009）

一、引 言

微分方程是現代數學的一個重要分支，在自然科學和社會科學等領域中都有著十分廣泛的應用.實際問題一旦轉化為微分方程模型就可歸結為微分方程的中心問題——解微分方程.探討一階微分方程的求解問題是微分方程最重要的內容之一，然而，只有少數特殊類型的微分方程（包括可分離變量微分方程、線性微分方程、全微分方程等）能用初等積分法求解，且其解法較典型.我們所遇到的方程未必恰好是這幾類特殊方程，因此，我們在遇到此類問題時，要注意學習解題技巧、總結經驗、培養思維的靈活性，并且要善于根據方程的特點，引進適當的變量替換或積分因子將方程轉化為上述能求解的積分類型.基于此思想，本文以一道一階微分方程的求解為例，從不同角度給出了其通解，從而闡述了一階微分方程求解的若干思維策略.

二、問題與主要方法

3 總 結

一階可積方程的求解，一般有兩個基本解題方向，用變量替換將方程化為可分離變量方程或線性方程，或者用積分因子法將方程化為全微分方程.兩種方法各有優劣，應根據方程的特點，選擇恰當的方法.本文通過變量替換和積分因子法，向大家展示了一階微分方程求解中常用的思想方法，不僅拓展了學生的思維空間，更能讓大家體會到解決問題方法的靈活性和多樣性，有效提升學習數學的興趣.

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