基于復數無跡卡爾曼濾波的電力系統頻率和諧波估計

崔博文，田 維

基于復數無跡卡爾曼濾波的電力系統頻率和諧波估計

崔博文，田 維

(集美大學輪機工程學院，福建廈門 361021)

針對噪聲干擾條件下傳統的擴展卡爾曼濾波方法在電力系統頻率和諧波估計精度問題，本文提出了基于復數無跡卡爾曼濾波的頻率和諧波估計方法。利用歐拉公式，對電力系統信號進行適當變換，獲得電力系統信號復數狀態空間模型，實現了系統信號頻率和諧波估計。為了驗證噪聲干擾條件下本文方法參數估計有效性，通過在系統信號中增加不同信噪比噪聲干擾，分別利用本文方法和通用擴展卡爾曼濾波方法對參數進行估計。結果表明，在噪聲干擾條件下，本文方法的估計精度優于通用擴展卡爾曼濾波方法，這表明本文方法更適于強噪聲干擾條件下的系統信號頻率和諧波估計。

頻率估計 諧波估計 卡爾曼濾波 復數無跡卡爾曼濾波 復數狀態變量

0 引言

隨著大量非線性負載及電力電子變換器的廣泛應用，電網電壓或電流的不平衡狀態也愈加嚴重，隨之也引起了愈來愈嚴重的諧波污染和波形畸變[1～5]。由于諧波污染，會使電網電能質量變差、電機過熱、繼電器和斷路器誤動作[6]。諧波分量及負載的動態變化會使得電網電壓或電流的幅值和相位發生變化，進而引起電網電能質量變差。頻率是表征電力系統運行狀態和電網電能質量的最重要參數之一，也是唯一允許在標稱值附近按規定范圍波動的參數，常用于電力系統監控、保護和控制應用中[7]。因此，為確保電網穩定工作及電氣負載正常運行，同時也為了評估電能質量、實現電力系統控制和監控，準確檢測頻率及諧波就顯得十分必要[8]。

基于快速傅立葉變換（FFT）的方法是最早用于諧波估計的方法[9～10]。但在使用FFT對信號進行處理時需要同步采樣以獲得整周期的信號，否則會引起譜泄漏造成諧波估計精度變差[11]。然而，由于基頻波動和諧波干擾，同步采樣也很難實現。為解決因不同步采樣引起的譜泄漏問題，出現了各種加窗FFT方法[12～16]。盡管加窗FFT在一定程度上可以抑制譜泄漏，但是，當某些諧波幅值較小時，難以實現準確的譜估計[8]。針對難以同步采樣及譜泄露問題，很多研究者利用卡爾曼濾波估計電網頻率及其諧波。Girgis[17]在信號頻率確定條件下，建立了系統信號狀態方程，利用卡爾曼濾波實現了諧波估計。Nie[18]建立了信號DTM模型，給出了狀態噪聲干擾信號的協方差矩陣表達式，利用線性卡爾曼濾波方法估計了信號基波和諧波。然而，在頻率變化或未知時，系統的狀態方程或觀測方程表現為非線性特性，現有的線性卡爾曼濾波方法則會失效。文獻[19～21]針對非線性狀態觀測方程條件，利用擴展卡爾曼濾波方法對多諧波信號進行譜估計。但是，擴展卡爾曼濾波在計算雅可比矩陣時花費過多時間，且在初始條件選擇不當時，這種非線性特性可能會導致估計結果變差[22]。

無跡卡爾曼濾波（UKF)由于不需要對非線性狀態方程和觀測方程在估計點處進行線性化逼近，也無需費時的微分運算，可以獲得更準確的增益和協方差矩陣，因此估計精度也更高[19]。本文在現有研究基礎上，通過適當變換，建立了電網信號復數狀態空間模型，利用復數UKF在復數域實現了頻率和諧波的估計。

1 系統信號模型

在三相電力系統中，任一相電流或電壓在時間t可表示為：

展開式(2)，則有，

由此可見，電流或電壓信號是由多組同頻率共軛復數組成。在實際應用中，為了提高計算效率并節省存儲空間，可針對性的選取某些感興趣的部分諧波進行估計，而不需要估計的其它次數的諧波可作為噪聲處理。因而式(3)可進一步表示為：

式中：為電流信號需要估計的最高諧波次數；（k）為待估計基波、諧波外的其它階次諧波和噪聲干擾，可表示為，

定義狀態變量，

因此，定義狀態變量，

則有如下狀態方程，

根據式(4)，可得系統觀測方程為：

式中：

2 復數無跡卡爾曼濾波器

2.1 無跡變換

無跡變換是一種對狀態變量進行近似高斯分布的非線性變換。其核心思想是根據需要預測的狀態變量的統計學特性，先計算得到一組采樣點（也稱sigma點），然后對該組點集進行非線性變換，通過計算這些非線性變換后采樣點的統計特性，獲得變換后點的均值和協方差估計[20]。這種方式避免了對非線性模型的直接線性化，且保留了高斯分布的高階項信息，從而提高了模型高斯分布的傳遞精度。

該新點集的均值和協方差矩陣由下式求得：

2.2 狀態預測

利用式(10)構造Sigma點集后，通過式（11）對其進行非線性變換，得到新采樣點集

利用下式計算對狀態變量均值及協方差進行預測，

2.3 狀態更新

利用式（17）對采樣點進行非線性變換，得到觀測值更新，進一步利用式（18）獲得觀測值平均值。

自協方差和互協方差矩陣分別為，

濾波更新步驟包括更新卡爾曼增益、狀態變量估計值和狀態變量協方差估計值，分別如下：

3 仿真分析

為驗證復數無跡卡爾曼濾波器算法的有效性，本文以如下包含基波、四次、九次諧波的非線性信號為例，

圖1、2分別為利用本文方法對頻率、基波和諧波電流有效值的估計。圖3、4分別為利用復數EKF方法對頻率、基波和諧波電流有效值的估計。表1為本文方法與復數EKF估計結果對比，表2為本文方法與復數EKF估計均方誤差（MSE）對比。從仿真結果來看，本文方法在收斂真值方面要快于復數EKF方法，估計精度也明顯優于復數EKF估計結果。為了進一步研究本文估計方法在噪聲干擾條件下估計結果的有效性，在信號中分別添加信噪比為30 dB、10 db噪聲信號干擾，圖5、6分別為兩種噪聲干擾情況下，利用本文方法和復數EKF方法的四次諧波估計結果。從估計結果來看，隨著信噪比的降低，相對于復數擴展卡爾曼濾波方法，本文方法估計更穩定，精度更高，收斂也更快。因此，在信號存在噪聲干擾的情況下，本文方法的參數估計性能更優。

圖1 復數UKF頻率估計值

圖2 復數UKF基波及諧波估計

圖3 復數EKF頻率估計值

圖4 復數EKF基波及諧波估計值

圖5 SNR30db下的四次諧波估計

圖6 SNR10db下的四次諧波估計

表1 估計結果

表2 估計均方誤差

4 結論

針對擴展卡爾曼濾波在電力系統頻率及諧波估計中存在的不足，本文提出了基于復數無跡卡爾曼濾波的電力系統信號諧波和頻率估計方法。利用歐拉公式，對電力系統信號進行變換，獲得了系統復數信號狀態空間模型，利用本文所提研究方法實現了頻率和諧波估計。仿真算例證明了本文方法的有效性。為了驗證本文方法在噪聲干擾條件下參數估計的有效性，通過在系統信號中增加不同信噪比噪聲干擾，利用本文方法和復數EKF進行頻率和諧波估計，本文方法在噪聲干擾影響下的估計精度優于復數EKF方法，這表明本文方法更適于在強噪聲干擾環境下的系統參數估計。

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Complex Unscented Kalman Filter based Frequency and Harmonic Estimation for Power System

Cui Bowen, Tian Wei

(School of Marine Engineering, Jimei University, Xiamen 361021, Fujian, China)

TM935.2

A

1003-4862（2021）07-0005-06

2021-03-03

國家自然科學基金項目資助(51779102)

崔博文(1966-)，博士，教授。研究方向：電力系統諧波估計與狀態監控。E-mail: bwcui@jmu.edu.cn