結構化教學視角下的初中數學單元教學設計
——以平面直角坐標系為例

陳艷霞

（廈門市大同中學， 福建 廈門 361009）

一、單元教學設計的問題提出

學習是認知結構的組織和重新組織， 而學習結構是學習事物如何聯系的。 數學具有嚴謹的知識結構，由于該階段學生的認知發展水平有限，教師在課程的編排上會將數學知識結構打亂， 學生在學習中面對這些凌亂的知識可能會一頭霧水。因此，在數學教學中，教師應該重新建構課本的知識，尋找課本知識的內在聯系， 以關聯為抓手在教學設計實踐中要瞻前顧后，將散點狀態的知識拎起來、立起來、串起來、連起來，從而讓數學知識連成線、形成片、織成網[1]。 結構化的教學設計能將零散的知識重新整合，幫助學生揭示數學知識的內在聯系， 讓學生能夠返璞歸真，尋得數學的本質。

吳亞萍教授在《中小學數學教學課型研究》一書中指出， 結構化教學就是將每一結構單元的教學分為教學結構階段和運用結構階段[2]。 在教學結構階段， 主要采用發現的方式， 讓學生從現實的問題出發，在問題解決的過程中發現和建構知識，充分地感悟和體驗知識之間內在關聯的結構存在， 逐漸形成學習的方法結構。在運用結構階段，主要是學生運用習得的方法與步驟結構， 主動地學習和拓展與結構類似的相關知識。 結構化教學不僅能夠厘清單元知識內部之間的關聯， 而且能讓學生明晰單元知識之間的聯系。基于吳亞萍的結構化教學理論，筆者對平面直角坐標系單元的教學進行整合設計，選取典型教學案例進行課堂教學示范， 通過展示主要的單元設計，進行教學反思。

二、舉例平面直角坐標系進行單元教學設計

平面直角坐標系是由兩條相互垂直且原點重合的數軸構成的，其概念的生成過程與數軸聯系緊密，因此學習數軸是進一步學習坐標系的基礎。 數軸教學是教學結構的過程， 而平面直角坐標系的教學則是運用結構的過程。 筆者從概念教學、點與實數（有序實數對）的對應關系、兩點間的距離、線段中點表示的數、 關于原點對稱的點的坐標符號特征等方面闡述數軸和平面直角坐標系的內在關聯。

（一）概念建構及點的表示

1. 概念建構。一是引入生活中的實際情境，借助直線上點的位置的確定引出數軸的概念，見例1。 二是從實際問題出發， 借助平面內點的位置的問題引出了平面直角坐標系的概念，見例2。

例1 學校門口是一條東西向的公路， 校門口東7.5 m 和4.0 m 處， 分別有一棵楊樹和一棵柳樹，校門口西6.0 m 和4.8 m 處分別有一棵芒果樹和一個廣告牌，試畫圖表示這一情景。

例2 類比利用數軸確定直線上點的位置，你能用什么方法來確定平面內點的位置。

【設計意圖】平面直角坐標系和數軸都是在確定點的位置的問題背景下提出的， 其只是在平面和直線、二維和一維層面上的區別。

2. 點的表示。 點的表示主要研究幾何元素點在直線和平面上的代數特征：一是數軸上點的表示，點與實數是一一對應的；二是平面內的點的表示，點與有序實數對是一一對應的。

【設計意圖】點的幾何特征沒有變化，只是其對應的代數特征實數與有序實數對有區別， 一一對應關系是共性。

（二）兩點間的距離及線段中點表示的數

1. 兩點間的距離。一是數軸上點A、B 表示數分別為 a、b，那么 AB 兩點間的距離是二是坐標平面內兩點 A、B 坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）：①若

【設計意圖】平面直角坐標系內和數軸上都會研究兩點間的距離。 當坐標系中兩點所在直線與坐標軸平行時， 它們之間的距離與數軸上求法是完全一致的；當兩點所在直線與坐標軸不平行時，再運用勾股定理即可求得兩點間距離。

2. 線段中點表示的數。 數軸上線段中點表示的數見例3，平面內線段中點坐標見例4。

例3 數軸上，點C 是線段AB 的中點，請填寫C點表示的數（見表1）。 同時，借助表1 數據可以進一步推得，數軸上線段AB 的中點表示的數是

表1 數軸上線段中點表示的數

例4 建立平面直角坐標系， 并描出下列各點:A （1，1）、B（5，1）、C（3，3）、D（-3，3）、E（1，-2）、F（1，4）、G（3，2）、H（3,-2）、I（-1,-1）、J（-1，1）,找出線段AB，CD，EF，GH，IJ 的中點坐標，猜想這些中點的橫、縱坐標和相應線段的兩個端點的橫、 縱坐標有何關系，歸納你的發現。另外，通過作圖可以得到，平面直角坐標系上兩點 A、B 坐標為（x1，y1），（x2，y2），則線段AB 的中點坐標為

【設計意圖】在數軸上已經探究過線段中點表示的數了， 坐標系中線段中點坐標的探究就是建立在數軸的基礎上。

（三）關于原點對稱的兩個點的坐標符號特征

關于原點對稱的兩個點的坐標符號特征體現在兩個方面：一是數軸上，關于原點對稱的兩個點表示的數互為相反數；二是平面內，關于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標分別互為相反數。 具體見例5。

例5 如圖1，△PQR 是△ABC 經過某種變換后得到的圖形，寫出下列各組點的坐標：①點A___、點P____，②點B____、點Q____，③點C____、點R__ _。 同時，觀察它們之間的關系，若△ABC 中任意一點 P（a，b)，則它的對應點 Q 是（-a，-b)。

圖1

【設計意圖】數軸上關于原點對稱的兩點表示的數互為相反數， 坐標平面內關于原點對稱的兩點它們的橫縱坐標分別互為相反數， 都是關于原點對稱的兩點，它們表示的數（數對）都是互為相反數。

（四）平面直角坐標系內的動點與數軸上的動點

數軸上的動點見例6， 坐標平面內的動點 （平移）見例7。

例6 數軸上A、B 兩點表示的數是-3 和5，動點M 從點A 出發以1 個單位/秒的速度向數軸的正方向運動， 同時另一動點N 從點B 出發以4 個單位/秒的速度向數軸的負方向運動，設運動時間為t秒， 用含 t 的式子表示點 M、N 的位置，M：-3+t,N：5-4t。

歸納：數軸上的點A 表示的數a，點A 向右移動m 個單位表示的是：a+m；向左移動n 個單位表示的數是： 。

例7 把點A(5，-2)向左平移三個單位長度，得到點,寫出點的坐標，坐標會有什么變化，從中你可以發現什么規律？ 將點A 向下平移五個單位長度，再找幾個點，將它們沿著坐標軸平移，觀察它們的坐標，符合你發現的變化規律嗎？

歸納：坐標平面內，點（x，y）向右（左）平移 a 個單位，橫坐標相應加（減）a 個單位，點（x，y）向上（下）平移b 個單位，縱坐標相應加（減）b 個單位。

【設計意圖】坐標平面內點的平移，坐標的變化規律與數軸上點的運動， 所表示的數的變化規律是一致的。

（五）建立數軸、坐標系解決實際問題

畫數軸刻畫點的位置見例8， 建立坐標系刻畫點的位置見例9。

例8 出租車司機小李某天下午營運全是在東西走向的道路上行進， 如果規定向東為正， 向西為負，他這天下午的行程記錄如下（單位：km）：+5，-3，+10，-8，-6，+11，-10， 將最后一位乘客送達目的地時，小李距離下午出發地點的距離是多少千米，在出發地點的什么方向？

例 9 矩形 ABCD 的長 AB 為 4，寬 BC 為 3，以點A 為原點，AB 所在直線為x 軸，建立平面直角坐標系，寫出A、B、C、D 四個點的坐標。另建坐標系時，此時A、B、C、D 的坐標又分別是什么？

【設計意圖】建平面直角坐標系、建數軸刻畫點的位置，事實上是回歸到概念，解決實際問題，都體現了它們的工具性。

（六）運用數形結合的思想

在研究數軸和坐標系的過程中， 始終貫穿數形結合的研究方法。 筆者整理了平面直角坐標系與數軸的知識結構， 可以更直觀地反映數軸的教學結構和坐標系的運用結構的教學過程（見表2）。

表2 數軸與平面直角坐標系知識結構對照

三、單元教學設計的教學反思與啟示

平面直角坐標系和數軸是初中數學非常重要的學習工具，借助教材內容，可做深入研究。 但是這兩單元的知識點都是零散的， 不僅存在于新授課內容中，還會以課后習題研究的形式呈現，以及出現在后續解決綜合問題時必須補充的工具知識中， 這對教師如何整合單元教學提出了更高的要求。

（一）關于教師授課

數軸教學是教學結構的過程， 而平面直角坐標系教學是運用結構的過程。授課時，在知識點的銜接上以數軸知識為基礎，強調兩者之間的內在關聯，就能夠非常順暢地引入平面直角坐標系的知識。 在一次研討課活動中， 筆者在講授平面直角坐標系中兩點間距離公式的推導時， 基于學生對數軸上兩點間距離的認知基礎，利用啟發式的教學方式，讓學生推導平面內兩點間的距離公式，教學效果得到了同行的一致認可。

（二）關于學生學習

學生以數軸相關知識的教學結構為基礎，在學習平面直角坐標系單元內容時，對新知識點有一種似曾相識的感覺。這有利于學生將零散的概念建構成一個整體，坐標系不再是很多零散知識點的堆砌。 同時，教師在授課中滲透數軸的知識結構， 利于學生理解兩者之間的內在關聯， 真正實現從一維到二維學習的跨越， 使同一知識在螺旋上升的大結構中不斷升級， 并為后續借助坐標系應用代數方法研究幾何問題、函數模塊以及解答圖形與坐標綜合題打下基礎。

（三）關于后續知識學習

通過刻畫出點在空間的位置， 引出空間直角坐標系的概念， 能夠讓學生意識到建立空間直角坐標系的必要性。類比平面直角坐標系，建構空間直角坐標系概念， 有利于學生進一步探究空間中兩點間的距離公式、 空間中線段中點坐標和通過建立空間坐標系來解決相關問題等。這在整個學習的過程中，可以說是運用平面直角坐標系的知識結構， 也可以說是運用數軸的知識結構的過程。 從數軸到平面直角坐標系再到空間直角坐標系， 從一維到二維再到三維的遞進，具有共同的知識結構。在數軸的教學中把這個單元知識結構教好， 能夠幫助學生在后續的學習中真正系統地、連貫地掌握知識，理解知識之間的內在聯系。

（四）關于拓展與延伸

結構化視角的單元教學設計在數學教學中具有較強的可操作性。在函數教學中，一次函數教學就是教學結構的過程。 從實際問題中抽象出一次函數的定義，畫出一次函數的圖像，結合圖像推導出一次函數的性質并應用于解決問題， 最后再探究一次函數與方程、不等式的關系。 而二次函數、反比例函數等具有共同的內容結構， 這兩單元教學就是運用結構的過程。 此外，式的運算（整式、分式、二次根式）、圖形研究（全等三角形、相似三角形）等，都具有共同的內容結構，也可以運用結構化教學方式開展教學。

基于結構化教學的單元教學設計是一種新的教學設計。它改變了知識點之間的孤立、平列、散在，主張教學內容以內在結構的方式構成學習單元[3]，是一種回歸本源的教學實踐。同時，它能以數學知識的發生、發展和理解數學知識的心理過程為基本線索，為學生構建起前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考[4]。這就對教師提出了更高的要求，如必須熟悉教材、清楚各個單元和各個知識點的內在關聯。 教師心中要有清晰的教學方法能夠整體熟悉明確教材的邏輯結構和內容體系。為此，結構化教學設計不僅要把數學知識無縫銜接，還要從學生固有的知識出發，讓學生經歷和體會知識的產生和發展過程，探究知識的起點，認識到數學知識具有的完整結構。 此外， 教會學生溫故而知新，明確新知識的研究脈絡，將研究脈絡結構化，從而獲得研究的方法結構。 通過整體的結構化單元教學設計，教師幫助學生建立完整知識體系，尋找數學知識的內在聯系，能夠極大地提高學生的數學思維能力，進而在數學學習方面持續穩定地發展，讓學生數學學習實現遷移，更加牢固的、廣泛地把各種數學知識聯系在一起[5]。 總之，結構化教學視角下的單元教學設計，不僅為學生長久的數學學習之路奠定穩固的基礎，還與時俱進地培養了學生的數學核心素養。