《6.3.1實數》教學實錄與評析

何錫聰 寧麗紅

《6.3.1實數》是新人教版七年級下冊第六章第三節《實數》第一課時的教學內容，是在數的開方的基礎上引進無理數概念，將數從有理數的范圍擴充到實數范圍.該課在中學數學學習中具有承上啟下的作用，是學生今后學習整式、方程、不等式及函數的基礎.這節課主要學習無理數和實數的概念、實數的分類、實數與數軸上的點一一對應的關系，向學生滲透類比、分類、數形結合的數學思想，培養學生的觀察能力、分析能力、概括能力和解決問題的能力.

一、情境導入，明確學習目標

師：這節課我們一起走進數學王國，開啟今天的學習之旅！請同學們先看視頻.（播放數字故事視頻《神秘數之謎》，大意如下：有一天，數學王國來了一位神秘訪客，有理數向它炫耀說：“我是數中之王，所有的數都歸我管.”神秘訪客不服氣地說：“吹牛，你跟我平級，怎么可能所有的數都歸你管？一會兒司令來了讓它評評理.”）

師：故事中的“有理數”認為自己是數中之王，所有的數都歸它管，你們同意嗎？

生：不同意.

師：“神秘訪客”認為有理數跟自己平級，自己不歸有理數管.那么，“神秘訪客”是什么數，它口中的“司令”又是誰呢？

生各抒己見，有的說是有理數，有的說是實數，有的說是無理數，對“神秘訪客”和“司令”的身份充滿好奇.

師：這節課我們一起來揭開這個謎底.（板書課題：6.3.1實數）

生齊讀“學習目標”：①了解無理數和實數的概念，能對實數按要求進行分類;②了解數軸上的點與實數是一一對應的關系，能用數軸上的點表示無理數.

【評析】以故事創設學習情境，導入新課，牢牢吸引了學生的注意力;執教者讓學生齊讀“學習目標”，使學生從上課開始就知道將要學習的內容和所要達成的目標.

二、探究新知，引出無理數

師：什么叫有理數？

生：整數和分數統稱為有理數.

師：還記得有理數的分類嗎？

生1：按定義進行分類.

生2：按性質進行分類.

師板書如下：

（1）按定義分類? ? （2）按性質分類

[有理數整數正整數0負整數分數正分數負分數] [有理數正有理數正整數正分數0負有理數負整數負分數]

【評析】執教者引導學生系統復習有理數的定義、分類，有利于學生在類比舊知的基礎上學習新知，實現新舊知識的自然過渡.

（一）探究無理數的定義

師：3，[-35，478，911，119，59]這些數都是有理數嗎？

生：都是.

師：你能把有理數[3，-35，478，911，119，59]寫成小數的形式嗎？

生寫出小數如下：

3=3.0，[-35]=-0.6，[478]=5.875，[911]=[0.81，][119=1.2，59=][0.5]

師：觀察這些小數，你有什么發現？

生：有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數.

師：是的.事實上，任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數.（課件出示有理數的新定義：有限小數和無限循環小數統稱為有理數）

生齊讀有理數的定義.

師：除了有限小數和無限循環小數，想一想，還有其他類型的小數嗎？

生：無限不循環小數，比如π.

師：無限不循環小數除了π之外，你還能說出哪些數？

生：[2=1.414…，3=1.732…]

師：無限不循環小數叫作無理數.（課件出示無理數的新定義，播放解析無理數定義的視頻）

生觀看視頻，進一步理解無理數的概念.

師：觀看視頻后，你有什么收獲？

生1：無限不循環小數叫作無理數.

生2：無理數必須同時滿足兩個條件，一是無限小數，二是不循環小數.

師：下列各組數是不是無理數？這些數分別有什么特點？[課件出示：①[-3，53，2-1];②π，-3π，[π2];③0.1010010001…（兩個1之間依次多一個0），

-17.3232232223…（兩個3之間依次多一個2）]

生1：第①組都是無理數，都含有根號.

生2：第②組都是無理數，都含有π.

生3：第③組都是無理數，都有一定規律但不循環.

師：是的，從中我們可以發現，無理數有以下常見類型.①根號型，即開方開不盡的數;②含π型;③構造型，即構造出的有一定規律但不循環的無限小數.

【評析】執教者讓學生參與無理數概念的建立和數系擴充的過程，提高了學生學習數學的興趣，培養了學生的觀察和發現能力.

（二）探究實數的分類

課件出示練習題：把下列各數分別填入相應的集合內.（檢測學生能否區分有理數和無理數）

[227，3，][-83，]0.101，[π3，93，64，][2.15，][1916，]

0.3737737773…

有理數集合? ? ? ?無理數集合

師：帶根號的數一定是無理數嗎？

生：不一定，[-83=-2]是有理數.

師生共同討論后得出結論：判定一個數是不是無理數應該先進行化簡或計算.

師：學習了有理數和無理數，你認為有理數和無理數屬于哪一類數的范疇呢？（課件出示實數的定義：有理數和無理數統稱為實數）

師：類比有理數的分類方法，我們如何將實數進行分類？

生討論，有的說按定義分類，有的說按性質分類，有的說按大小分類.

師：請同學們根據自己的想法，將實數進行分類.

學生代表上臺板書實數的分類，其余學生分小組討論，在導學案中寫出實數的分類.師收集各小組的導學案，投影呈現具有代表性的分類方法，學生辨析正誤.

師生總結實數的分類如下：

（1）按定義進行分類

（2）按正負數進行分類

師：我們對實數進行分類時，要做到“不重”“不漏”.現在，我們知道數字王國里的“神秘訪客”和“司令”分別是誰了嗎？

生：“神秘訪客”是無理數，“司令”是實數.

師：正確！通過學習，我們知道數的范疇擴大到了實數.下面我們通過做練習來鞏固新學的知識.

課件出示習題：裝扮“數字樹”.要求：拿到“樹干”的同學上臺裝扮“數字樹”，其余同學把手中的數字貼在“數字樹”的相應位置.

[2π3，]3.141592，[53，]20，

[36，][63，]-3.33，[273，]

-11，1.5151151115…（每兩個5之間多一個1），[14]]

【評析】執教者引導學生對實數進行分類，明確分類的基本原則是“不重”“不漏”，滲透了分類的數學思想.在這個過程中，執教者善于培養學生從不同角度思考問題，促使學生加深對無理數、實數的概念的理解.最后，執教者揭開數字王國里“神秘訪客”和“司令”的神秘面紗，有利于學生進一步理解實數、有理數、無理數的關系.教學中設計的小游戲、小練習，提高了學生參與課堂的積極性，有利于學生鞏固新知識.

（三）探究實數與數軸的對應關系

課件出示練習題：找出下列有理數0，3.6，[-113]在數軸上的對應點（如圖2）.

師：有理數都可以用數軸上的點表示嗎？

生：可以.

師：反過來，數軸上的點都表示有理數嗎？請認真觀察下面的演示（如圖3），你有什么發現？

課件演示：從原點出發，圓分別向數軸的左邊和右邊滾動一周（圓的直徑為1），觀察終點落在的位置對應的是什么數？

生：直徑為1的圓的周長是π，所以，當圓向數軸的左邊滾動一周，終點落在的位置對應的數表示-π，向數軸的右邊滾動一周，終點落在的位置對應的數表示π.

師：通過演示，我們可以發現，數軸上的點除了可以表示有理數，還可以表示什么數？

生：無理數.

課件出示習題：剪一剪，拼一拼.你能用兩個邊長為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形嗎？拼接出來的面積為2的大正方形的邊長是多少？

生動手操作，拼出面積為2的大正方形（如圖4），邊長為[2].

師：大正方形的邊長和邊長為1的小正方形的對角線長有什么關系？

學：邊長為1的小正方形的對角線長為[2].

師：你能在數軸上表示出[2，][-2]嗎？

生分小組探究，師用動畫演示（如圖5）.

生得出結論：無理數[2]和[-2]也可以用數軸上的點表示.

師：每個無理數都可以用數軸上的一個點來表示.如果將全部有理數都標注在數軸上，數軸會不會被填滿？

生：不會，因為數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數.

師：將全部無理數都標注在數軸上，數軸會被填滿嗎？

生：不會，因為數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數.

師：將所有的有理數和無理數都標注在數軸上，數軸會被填滿嗎？

生：填滿了.

師生總結歸納得出結論：每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示;反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數.也就是說，實數與數軸上的點是一一對應關系.

課件出示習題如下：

請將數軸上的各點與實數[2，]-1.5，[5，]π，3對應起來，然后比較它們的大小（用“<”連接，如圖6）.

師：在做練習過程中你有什么發現？

生：在數軸上表示的兩個實數，右邊的數總比左邊的數大.

【評析】執教者設計習題，請學生在數軸上表示π，[±2]的位置，從而明確無理數也可以用數軸上的點表示，最后得出實數與數軸上的點一一對應的結論.借助數軸研究無理數，有利于學生進一步體會數形結合的數學思想，學會遷移運用.

三、課堂小測，總結歸納

師出示習題如下.

1.判斷下列說法是否正確，在后面的括號內打“√”或“×”.

（1）實數不是有理數就是無理數.（? ）

（2）無理數都是無限不循環小數.（? ）

（3）帶根號的數都是無理數.（? ）

（4）無理數一定都帶根號.（? ）

（5）無理數都是無限小數.（? ）

（6）無限小數都是無理數.（? ）

2.在[53，][3.17，]0.12，[-32，]0，[643]這6個數中，無理數的個數表達正確的是（? ）.

A.1個? ?B.2個? ?C.3個? ?D.4個

3.下列說法錯誤的是（? ）.

A.沒有最小的正數.

B.無理數分為正無理數、0、負無理數.

C.無理數都可以用數軸上的點來表示.

D.正分數既是有理數又是實數.

4.把-π，[-13，][7，]-1.5，[9，][503，]3這些數分別填入相應的集合里.

（1）正有理數集合：

（2）正無理數集合：

（3）負有理數集合：

（4）負實數集合：

【評析】學生通過做練習，回顧學習過程，加深了對新知識的理解，提高了運用知識解決問題的能力.

師：通過這節課的學習，你學到了哪些新知識？談談你的收獲.

生1：學習了無理數和實數的概念，掌握了實數的分類方法，知道實數與數軸上的點是一一對應的關系.

生2：我明白了數形結合的數學思想，知道利用類比有理數的分類方法對實數進行分類.

師：當數由有理數擴充到實數以后，相反數和絕對值的意義以及運算法則對于實數來說是否還適用呢？請同學們課后思考這個問題.

【評析】課尾，執教者請學生回顧、總結、梳理所學知識，將新知與舊知緊密聯系，這樣做有利于學生掌握數學學習方法.最后，執教者留下思考題，促使學生繼續保持學習和探索的欲望.

【總評】

這節課堅持“學生為主體、教師為主導”的教學原則，以教師的“導”和學生的“究”作為課堂教學主線，滲透了數形結合、類比、從特殊到一般的數學思想.教學中，執教者熟練運用微視頻、幾何畫板、手機投屏、智慧課堂等信息化教學手段輔助教學，使課堂教學生動靈活，增添了教學的趣味性，擴大了課堂容量，是一堂高效率的數學課，體現在以下幾個方面.

第一，以“趣”激“學”.執教者先利用數字故事創設情境，吸引學生的注意力，激發學生的求知欲，然后以小視頻解析無理數的定義，使知識難點變得直觀、形象，易于學生理解，“拼數字樹”游戲活躍了課堂氛圍，調動了學生參與課堂學習的積極性.

第二，教學目標明確，課堂主線清晰.這節課的知識目標是使學生了解無理數和實數的概念，能對實數進行分類;能力目標是使學生通過類比有理數，探究無理數和實數的概念，培養分析、推理、總結、歸納的能力.教學中，執教者首先引導學生復習有理數的概念，然后引導學生從生活中發現無理數，再設疑引導學生類比有理數的分類方法探究無理數的定義、特征以及實數的分類.整個課堂教學脈絡清晰，學生思維活躍.

第三，滲透類比、數形結合等數學思想.在教學無理數的定義和實數的分類時，執教者引導學生利用類比的方法探究新知，實現了知識的內化與遷移.另外，通過幾何畫板演示π，[±2]等無理數與數軸上的點的關系，使學生能夠直觀形象地理解無理數、有理數、實數之間的關系，學會運用數形結合的方法學習新知識.

第四，執教者基本功扎實，善于駕馭課堂.課堂教學過渡自然，選題有層次，符合學生的認知規律.執教者在教學中能夠熟練運用信息化教學設備和教學手段，增添了教學的趣味性，提高了教學效率.

（該課例曾獲評廣西2019年“一師一優課、一課一名師”活動自治區級“優課”）

（責編 歐孔群）