淺論如何在函數(shù)教學(xué)中運用作圖法來強化理解

唐春曦

【摘要】“描點法”作圖是探究函數(shù)圖象的基本手段。本文擬通過作圖法來探究函數(shù)的基本性質(zhì)，以質(zhì)作圖，以圖辨質(zhì)，從而讓學(xué)生認識到圖象與函數(shù)性質(zhì)之間相輔相成、互相滲透，以幫助學(xué)生進一步理解函數(shù)性質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);作圖;了解;理解;深化

一、引言

函數(shù)模型來源于生活，因此它可以解決生活中的很多實際問題。正因為函數(shù)模型的實用性，所以函數(shù)教學(xué)歷來是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點。函數(shù)教學(xué)目的是探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律，進而運用函數(shù)模型進行知識描述和問題解決。簡而言之，函數(shù)教學(xué)目標(biāo)有二：一是能力目標(biāo)，二是情感目標(biāo)。前者的要求主要是能選擇及處理數(shù)學(xué)信息，能做出合理推斷或大膽猜測，能結(jié)合具體情境發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，能初具數(shù)形結(jié)合、分段函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，能嘗試從不同角度有效解決問題。后者的要求是能樂于接受生活數(shù)學(xué)信息，能積極參與數(shù)學(xué)討論，能發(fā)表個人數(shù)學(xué)觀點并從中獲益。函數(shù)教學(xué)重點是通過創(chuàng)設(shè)探索情境來強化數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活之聯(lián)系，進而培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思維模式并運用這種模式來解決具體問題。

函數(shù)教學(xué)難點是引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想，意即引導(dǎo)他們在實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，進而運用該模型來解決具體問題。概言之，函數(shù)教學(xué)對于“教”“學(xué)”雙方都要求甚高，因此對于基礎(chǔ)相對薄弱并存在一定語言障礙的學(xué)生而言，往往是一道較為難以跨越的坎。針對上述情況，我們的教學(xué)策略應(yīng)該如何制定呢？我們是否可以如此設(shè)想：先把能力目標(biāo)降低，讓學(xué)生先在理解層面強化函數(shù)模型，進而漸次逼近教學(xué)目標(biāo)。我想，答案是肯定的。因此，如何通過轉(zhuǎn)變方式來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就成了我們亟待解決的問題。毫無疑問，作圖法在提升學(xué)生注意力及其興趣方面具有明顯優(yōu)勢。換言之，作圖法的趣味性是不言而喻的。在作圖過程中會產(chǎn)生觀感豐富的圖形和線條，學(xué)生在這種反復(fù)重構(gòu)過程中會高度激發(fā)想象力并不斷領(lǐng)略到各種圖象魅力，從而引領(lǐng)他們不斷探索，不斷尋找，以至發(fā)現(xiàn)相關(guān)規(guī)律。與此同時，學(xué)生在這種主動探究的過程中亦能輕松掌握基本函數(shù)性質(zhì)。如果我們在教學(xué)中繼續(xù)強化數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生必能以形知質(zhì)，以質(zhì)推形，久而久之，他們對函數(shù)性質(zhì)的掌握必有一個質(zhì)的飛躍。在下文中，本人擬就基礎(chǔ)薄弱學(xué)生如何學(xué)有所得及教師如何教得其所這兩個方面來試論一下作圖法在其中所發(fā)揮的作用。

二、通過作圖法幫助學(xué)生掌握函數(shù)性質(zhì)（以反比例函數(shù)為例）

眾所周知，“描點法”步驟不繁，操作簡單，一般情況下僅需列表、描點、連線這三個步驟即可，但學(xué)生卻可以通過這些簡單的步驟作出非常豐富的函數(shù)圖象，因此學(xué)生并不用竭盡腦汁去理解繁復(fù)的抽象文字性?？梢哉f，正因為“描點法”的簡單明了，所以它才成了探究函數(shù)圖象的基本方法。未知和簡易可以很好地激發(fā)學(xué)生的求知欲。同時不同的圖象變化也可以讓學(xué)生很好地感受到函數(shù)圖象的動態(tài)美和形態(tài)美。所以，在教育教學(xué)的過程中，對于圖象性質(zhì)的探索，我們不應(yīng)該操之過急，可以先安排一節(jié)課讓學(xué)生盡情投入在作圖過程中，讓學(xué)生在自主操作中充分感受函數(shù)圖象的多樣性以及變化的規(guī)律性，讓學(xué)生對函數(shù)圖象有一個基本的認知。當(dāng)學(xué)生對類似函數(shù)圖象有了基本認知之后，我們再引導(dǎo)他們?nèi)ヌ剿髌浠拘再|(zhì)，就自然而然水到渠成了。比如，在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)性質(zhì)時，我們可以將其分成三個課時：第一課時，讓學(xué)生盡情感知反比例函數(shù)圖象的豐富多彩，通過k觀察值變化，讓學(xué)生充分感受k值跟反比例函數(shù)圖象之間的關(guān)系;第二課時，引導(dǎo)學(xué)生去觀察和發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象的規(guī)律，找出他們的異同點，歸納出反比例函數(shù)的性質(zhì);第三課時，深化知識點的運用，如，坐標(biāo)與圖象間的轉(zhuǎn)化，學(xué)會運用k值判斷圖象位置，并會通過圖象和性質(zhì)求常數(shù)k的取值范圍，學(xué)會畫反比例函數(shù)圖象的草圖，通過草圖比較函數(shù)值大小，|k|的幾何意義等等。結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，然后通過這樣一個循序漸進的過程，讓學(xué)生感受到知識點的探索和深入是一件很有趣的事情，同時也能讓學(xué)生對函數(shù)圖象的理解能夠更加深入透徹。

因此，對于函數(shù)圖象性質(zhì)了解的第一個突破點就是作圖。我們可以通過情景設(shè)置，讓學(xué)生明確自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（一）第一課時：經(jīng)歷作圖的過程

探究1：請作反比例函數(shù)y=? ? 的圖象。

解：（1）列表：（提示：自變量x的取值通常是從小到大，最好便于計算）

x ... 1 2 4 8 ...

y=

（2）描點：

（3）連線：

探究2：試作反比例函數(shù)y=? ? ?的圖象。

解：（1）列表：（提示：自變量的取值通常是從小到大，最好便于計算）

x ... 1 2 4 8 ...

y=

（2）描點：

（3）連線：

鞏固練習(xí)：

請你在同一直角坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)y=? ? ?和? ? ? ?y=? ? ?的圖象。

人人過關(guān)，課后作業(yè)都可以通過改變值讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷作圖過程。

（二）第二課時：觀察上節(jié)課畫出的反比例函數(shù)的圖象，歸納性質(zhì)：

探究一：當(dāng)k>0時：

你發(fā)現(xiàn)：

①反比例函數(shù)y=? ? ?和y=? ? ?的圖象是直線、折線還是曲線？

②一共有幾支？分布在哪個象限？

③在每一個象限內(nèi)，圖象的增減性如何變化？

探究二：當(dāng)k<0時：

你的發(fā)現(xiàn)：

①當(dāng)常數(shù)k取-4或-6時，該反比例函數(shù)的圖象是直線、折線還是曲線？