公理演繹體系對初中生數學學習的啟發

晉家奎

摘要： 數學思維是指通過大腦而實現對于現實存在物體及其他空間屬性對象間的一種數量關系和本質特征的理論反映。筆者認為，數學課堂應該是美麗且合乎理性的。初等階段的數學知識的學習尤其重要，其作為建立在數學大廈底層的基石，決定著未來各類學科取得巨大成就的上限。然而，許多初中生在研究和學習語文數學這一一門理論性極強的綜合型學科時，往往都存在著兩個重要問題：一就是其認知能力水平的限制，使其認知思維過程中形成了一個邏輯閉環; 二是其心智的不成熟使其易受到情緒影響。因此，亟待從理論層面論述公理演繹體系和良好的心態對初中生進行數學學習的啟發式作用，從而對其學習數學知識起到極大的幫助。

關鍵詞：初中生 公理演繹體系 鄧寧-克魯格心理效應 中學數學

如何學好中學數學？我想這是許多家長和學生都在思考的一個問題。對于成績的提高，和絕大多數事情一樣，老師只是外因，但最重要的是學生自己（內因）。有兩種孩子我是不太愿意在他們身上浪費時間的：1. 懶惰，自己不想學習的孩子。有一句話叫做“天助自助者”，如果一個人自己不愿意改變，沒有人能夠幫得了他。2. 自以為是。有些孩子掃一眼別人的中肯建議，然后不加以嘗試和實踐，便說“這個方法不適合我”。不好意思，你沒有那么特別。人的共性遠遠大于個性，這是教育有存在必要的邏輯基石。我不相信“適合你的方法”，只相信科學的方法。以升學考試為例，數學是其中最容易拉開差距的一門課程。基礎扎實，認真踏實的學生往往能考到近乎滿分;而普通學生可能被其甩開二三十分。因此有言：得數學者得中考。筆者認為，學好數學的兩大關鍵在于：1.扎實的理論基礎、清晰的邏輯體系;2.正確的心態。基于上述，以公理演繹體系為主進行理論知識的學習與思維框架的搭建;輔之以鄧寧的心理效應積極調節心態，自信面對困難，對初中生數學的學習將會有著極大的幫助與啟發。受之認知水平的局限性，初中生在思維上常常陷入邏輯閉環，對某個知識往往只停留在表面的理解層面，認為自身已經真正掌握了這個知識點。這種假象使自己進一步陷入盲目自信之中，即鄧寧-克魯格心理效應中所描繪的“自信之巔“。然而，這種缺乏邏輯思維體系和盲目自信的心態不利于中學生進行數學知識的學習。因此，亟待從理論層面論述公理演繹體系和良好的心態對初中生進行數學學習的啟發式作用。

談方法論：公理化演繹法及其體系

演繹方法是指從對于事物進行概括的一般性前提中推論得出具有個別性的結論[1]。其主要特點之一就是滿足下列條件：1）若經過的為正確的推理過程2）如果所得到的結論也都是正確的。演繹法的基本格式為三段論：若 s （集合）具有 p 的性質（集合共性），且 s （ x ）為 s 的子集，則 s （ x ）具有 p 的性質。簡化為，若大的前提成立，且小的前提也成立的話，得出的結論可以作為正命題。在科學中，最直接使用公理化的演繹方式就是對這種公理化的演繹。公理化的演繹主要是從一個或少數幾個人的基本概念，公理，公設角度出發，通過邏輯的演繹推理，得出一系列的結論，建立起一套理論體系的方法。這些基本概念，公理，公式具有兩個特點：1）最基礎，不能被推導出 2）無需證明自證為真，為真命題。同時，由于演繹法的特點，在建立公理化理論的時候，需要盡可能的要求前提的正確性，既公理體系內部的無矛盾性與完備性。同時也需要要求推理過程的正確性。但是，公理并非真理，不能用靜止的眼光去看待公理，科學往往是在公理體系理論內部的矛盾中突破而發展出新的理論。例如愛因斯坦根據伽利略相對性原理與經典電磁學的矛盾，提出新的公設，演繹推導，建立起狹義相對論。另一方面，隨著人的認識不斷進步，認識到更深一步的客觀規律，舊的公理也可能不再是最基礎不證自明的存在，例如由否定歐式幾何的第五公設，而建立起的非歐集合。

人的共性往往大于個性，這是教育存在必要的邏輯基石。科學的學習方法，將對初中生進行數學學習起到正向促進作用。然而很多學生基礎不扎實，不會用數學語言來學習概念，定理。正如我們上面所述，數學是一門十分嚴謹的學問。數學家們認為日常生活語言（如中文、英文）往往存在歧義，不利于理性思考。他們致力于從理論層面解決這一問題，于是從歐幾里得的幾何原本開始，就引入了幾何語言（數形結合等）。而從笛卡爾開始，我們用字母抽象地代表數，從而誕生了代數語言（代數式、方程、不等式和函數自然隨之誕生）。對于數學上的每一個概念，我們都應利用數學語言對其一絲不茍地理解，這樣才能真正學好數學。例如：

什么叫做有理數？

許多學生往往支支吾吾，回答缺乏清晰的邏輯，這就是基礎不扎實的標志。我們應當從公理演繹體系出發，用數學語言將其表達出來：

若一個數Q可以表示為 ，其中m，n均為整數，且m，n互質，則就稱數Q為有理數

有了這個嚴格的數學語言的定義，并結合公理演繹體系，我們才能證明以下定理：（1）若p是無理數，q是有理數且q不等于0，那么pq是無理數。（2）若p是無理數，q是有理數，那么p與q進行加減運算后是無理數。請讀者自證。在建立公理演繹體系的基礎上，我們應盯住目標，將其和已知相結合，聯想相關的定理，定義、方法，大膽猜測，小心求證！綜上，構建公理演繹體系并將其融合到中學生日常學習數學的過程中，將會增強其思維邏輯性，從而更好地提升學生的數學能力。

鄧寧心理效應在初中生學習心態上的體現

現階段初中生心智的不成熟，認知能力的局限性[2]，使其往往容易受到情緒波動，從而影響自己的日常學習。受之認知水平的局限性和心智的不成熟，初中生在思維上常常陷入邏輯閉環，對某個知識往往只停留在表面的理解層面，認為自身已經真正掌握了這個知識點。這種假象使自己進一步陷入盲目自信之中。然而，這種缺乏邏輯思維體系和盲目自信的心態，將會對日后數學學習產生極大的消極作用。從愚昧之巔到絕望低谷，上面這條曲線被稱之為達克效應。這幾乎是每個人認知前進的必經之路。簡單點概括這個過程，當我們對某個事物完全不了解的時候，處于坐標系的零點位置，這時候的我們，知道自己不知道。但我們逐漸深入一點時，很快有一個開悟的過程，這種開悟會讓我們覺得自己“都懂了”，“那玩意也不過如此”。這時的我們，就處于愚昧之巔。但打擊就接踵而至，很快會陷入低谷，覺得太難了，這就是絕望低谷。在絕望低谷之后，是緩慢的回升，上圖中叫開悟之坡。為什么會產生這個現象？因為這是認識事物從整體到細節的過程！整體是宏觀的，簡單的，概念化的，而細節是繁瑣的，雜亂的，甚至無規律的。在數學學習過程亦是如此。

總結與展望

思維能力的培養和學生健康的學習心態往往被現階段的中學老師所忽略，取而代之地是一味刷題、補課。殊不知，唯有將大廈的框架構建好、基石打牢，如此才能在數學這一美妙的道路上一直走下去。這對于學生后續在高中和大學數學的學習十分重要。因此我們在數學學習和解題中必須十分重視嚴謹性這一點，具體就是要做到每一步都要有理有據[3]。數學大多數的推理需要符合假言推理這種演繹推理模式。我經常對學生說： 學數學不能靠感覺，不允許說“我覺得…”，“我以為…”，每一步都要有理有據。同時，在知識的學習過程中，應認真踏實，保持良好、正確的心態。希望每位同學都能做到“一日三省”，以公理演繹體系為主進行理論知識的學習與思維框架的搭建;輔之以鄧寧的心理效應積極調節心態，自信、勇敢地面對困難！在追尋真理的道路上越走越遠！

參考文獻

[1] 數學問題解決認知模式及教學理論研究[D].南京師范大學

[2] 徐速.《國內數學學習心理研究的綜述》[J]心理科學

[3] 史寧中《數學課程標準若干思考》[J]數學通報1-5