具有無癥狀的瘧疾傳播模型的最優控制和敏感性分析

王義琳，鄭庭庭，聶麟飛

(新疆大學數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046)

瘧疾是一種通過攜帶瘧原蟲的蚊蟲叮咬進而感染所引起的媒介傳染病.臨床醫學研究表明，瘧疾感染者一般會在被攜帶瘧原蟲的蚊蟲叮咬7 d或之后才出現癥狀，最初表現的癥狀可能很輕而難以被發現.此外，由于個體之間的差異，許多瘧原蟲攜帶者因癥狀輕微而被忽視，故在瘧疾的傳播過程中無癥狀感染者是普遍存在的[1].然而，在現有的研究工作中，往往只考慮了受感染個體的影響，而忽略了無癥狀個體在疾病傳播中的重要作用.[2]為此，一些國內外學者建立了具有無癥狀感染的傳染病數學模型去討論無癥狀感染在傳染病傳播和控制中的影響[3-4]，研究表明，人群中無癥狀感染者的比例和無癥狀感染者的病程周期是影響疾病患病率的最重要參數.

1 模型的建立

用Sh(t)，Sv(t)，Ia(t)，Is(t)，Iv(t)和Rh(t)分別表示t時刻的易感者、易感蚊子、無癥狀感染者、有癥狀感染者、感染蚊子和恢復者的數量或密度.則人類和蚊子總數為Nh(t)=Sh(t)+Ia(t)+Is(t)+Rh(t)和Nv(t)=Sv(t)+Iv(t).考慮無癥狀感染者和種群總數對疾病傳播的抑制作用，用飽和發生率模擬瘧原蟲在人和蚊子間的傳播.基于瘧原蟲在蚊蟲和人體內的傳播規律，提出具有無癥狀感染的瘧疾傳播模型：

(1)

其中：1/μh，1/μv分別表示人類與蚊子的平均壽命，取值分別為70 a[5]與14 d[6]；βvh，βhv，γa與γs分別表示染病蚊子對易感人群的感染率、染病人類對易感蚊子的感染率、無癥狀個體的恢復率與有癥狀個體的恢復率，取值范圍詳見文獻[7-8]；參數Λh，Λv，αi，c，p與θ分別代表人類種群的補充率、蚊子種群的補充率、飽和系數、蚊子的有效控制系數、無癥狀感染者向易感蚊子傳播疾病的可能性和個體在感染后成為無癥狀病例的可能性，αi，c，p與θ的取值均在(0，1)之間.

2 平衡點的動態分析

通過計算下一代矩陣FV-1的主特征值或譜半徑，得到如下基本再生數：

通過適當選取Lyapunov函數，類似定理2的證明，可得下面結論：

顯然有

(2)

(3)

證明由模型(1)的第1和第5個方程可知

下證M?={(Sh，0，0，Rh，Sv，0)|Sh>0，Rh≥0，Sv>0}.事實上，若(Sh(0)，…，Iv(0))∈M?，則有Ia(t)≡Is(t)≡Iv(t)≡0.否則，若存在一個t0≥0使得Ia(t0)>0，或Is(t0)>0，或Iv(t0)>0成立，則有(Sh(t)，…，Iv(t))∈X0.這與(Sh(0)，…，Iv(0))∈M?矛盾.

記w(Sh(0)，Ia(0)，Is(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))為從(Sh(0)，Ia(0)，Is(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))∈X出發的解的w極限集.令Ω′=∪{w(Sh(0)，Ia(0)，Is(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))|(Sh(0)，Ia(0)，Is(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))∈M?}，則在M?上有Ia(t)=0，Is(t)=0和Iv(t)=0.從而在M?上模型(1)退化為

(4)

顯然，模型(4)存在唯一的平衡點E01=(Λh/μh，0，Λv/(μv+c))且是全局漸近穩定的.因此，E0是模型(1)在M?上的唯一平衡點且全局漸近穩定的.因此Ω′={E0}，且E0為Ω′的一個孤立的非循環的覆蓋.

最后，證明

(5)

其中(Sh(t)，Ia(t)，Is(t)，Rh(t)，Sv(t)，Iv(t))是模型(1)滿足初值(Sh(0)，Ia(0)，Is(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))∈X0的解.由文獻[10]可知，若Ws(E0)∩X0=?成立，Ws(E0)為E0的穩定流形，則(5)式成立.假設Ws(E0)∩X0=?不成立，則存在一個(Sh(0)，Ia(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))∈X0使得從該初值出發的解(Sh(t)，Ia(t)，Is(t)，Rh(t)，Sv(t)，Iv(t))∈X0，當t→∞，有

Sh(t)∈Λh/μh，Ia(t)→0，Is(t)→0，Rh(t)→0，Sv(t)→Λv/(μv+c)，Iv(t)→0.

(6)

進一步，由(6)式可知，對上述的ε，存在一個T>0使得

(7)

令W(t)=Ia(t)+Is(t)+ρ1Iv(t)+ρ2Iv(t)，ρ1和ρ2是待定正常數，則W(t)沿模型(1)的全導數為

選取ρ1=(μv+c)(μh+γa)/(pβhvΛv)，ρ2=(μv+c)(μh+γs)/(βhvΛv)，代入上式并結合(7)式可得

3 敏感性分析

敏感性分析可以用來描述模型參數關于基本再生數的敏感度.當基本再生數是參數的可微函數時，可以用偏導數交替法定義敏感性指數.

表和關于模型(1)中參數的敏感性指數

4 最優控制

由于瘧疾沒有疫苗，僅能依賴于藥物的治療，因而媒介控制就顯得尤為重要.為此，提出了一個最優控制問題，目的在于找到一種可行的解決方案使得無癥狀個體的數量，有癥狀個體的數量和蚊子的總數量與控制成本之間最小化，從而控制疾病的傳播.假設u(t)和c(t)分別代表個體自我保護意識和媒介防控的控制變量，則該控制問題可以表示為

(8)

根據上述模型，給出目標函數最小化的最優控制問題如下：

(9)

這里：A1，A2和A3分別表示無癥狀個體、有癥狀個體和蚊子總數的權重常數；B1和B2分別表示易感個體和蚊子控制因子的權重常數.控制集的可行域為U={(u(t)，c(t))|0≤u(t)，c(t)≤1}，u(t)和c(t)在[0，T]上是勒貝格可積的且模型(8)是線性有界系統，從而滿足最優控制存在的條件.

定理6 存在(u*(t)，c*(t))∈U，使得在控制模型(8)的約束下給出的目的函數(9)達到最小，即

J(u*(t)，c*(t))=min{J(u(t)，c(t))|(u(t)，c(t))∈U}.

橫截條件為λi(T)=0，i=1，…，6.此外，最優控制J(u*(t)，c*(t))滿足

5 數值模擬

為驗證理論結果的正確性和控制措施的可行性，將使用Matlab和龍格-庫塔方法模擬驗證模型(1)的理論分析和控制措施的有效性.在模擬中時間以d為單位，特別地取定參數：Λh=4，Λv=34 000，μh=4.0×10-5.

圖1 模型(1)無病平衡點和地方病平衡點的穩定性

為討論個人的自我保護意識和媒介控制措施對瘧疾傳播的影響，依次選取u為0，0.2，0.4和0.6.顯然從圖2(a)和(b)中可得無癥狀者和有癥狀者的數量隨著人類的自我保護意識的增加而減少.因此可以通過增加易感者的個人防護意識以達到遏制瘧疾傳播的目的.類似地，隨著媒介控制措施強度c的增加，染病者的總數量和染病蚊子的數量也將不斷減少.數值模擬顯示，減少蚊子的數量和加強個體的自我保護意識，對控制瘧疾的傳播起著至關重要的作用.

圖2 個人的自我防護意識對瘧疾傳播的影響