一類具多變時滯的高階微分方程的Philos型準則

張 萍，楊甲山

(1.邵陽學院理學院，湖南 邵陽 422004； 2.梧州學院大數據與軟件工程學院，廣西 梧州 543002)

0 引言

振動性是微分方程有關理論的重要分支之一，它在自然科學和工程技術中有著廣泛的應用，同時它也獲得了學者們的廣泛關注，并取得了許多研究成果[1-16].但關于同時具有阻尼項、正負系數、多變時滯及非線性中立項的n階微分系統的研究卻很少.考慮如下偶數階微分方程的振動性：

(1)

(H1) 函數A，Pk，b，Qi，Rj∈C([t0，+∞)，[0，+∞))，k=1，2，…，h；i=1，2，…，m；j=1，2，…，l(下同，略).Bk，fi，gj∈C(R，R)并且uBk(u)>0(u≠0)，ufi(u)>0(u≠0)，ugj(u)>0(u≠0).

關于方程(1)的解及其振動性的定義，可參見文獻[1-7，9-10，16].本文只討論方程(1)的非平凡解.方程(1)包括了許多類型的微分方程，典型的如二階Emden-Fowler型微分方程：

[A(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+Q(t)|x(t)|γ-1x(t)=0，

(2)

{A(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0.

(3)

以及具有正負系數的二階延遲微分方程：

{A(t)[x(t)+P(t)x(t-τ0)]′}′+Q(t)f(x(t-σ0))-R(t)g(x(t-δ0))=0，

(4)

(5)

則方程(2)是振動的.

黃記洲等[3]則研究了二階Emden-Fowler型微分方程(3)的振動性，并得到了該方程振動的Hille型如下振動準則：

則方程(3)是振動的.

仉志余等[4]研究了具有正負系數的二階微分方程(4)的振動性，主要結果如下：

定理C[4]設0≤P(t)<1，Q(t)≥0且R(t)最終為負.進一步，如果

則方程(4)是振動的.

楊甲山等[5]則研究了較一般的具有正負系數的二階微分方程(5)的振動性，進一步推廣并改進了文獻[4]的結果.而關于具有多變時滯和正負系數的n(n≥3)階微分方程的振動性結果，目前還很少.本文將研究同時具有非線性中立項、阻尼項、正負系數及多變時滯的非線性偶數階方程(1)的振動性，進一步改進、推廣并拓展了現有文獻中的研究成果.

1 幾個引理

記

(6)

引理1[6]設u在[t0，+∞)上是正的n次可微函數，u(n)(t)最終定號，則存在t*≥t0和整數l(0≤l≤n)，當u(n)(t)≥0時n+l為偶數，當u(n)(t)≤0時n+l為奇數，使得：當l>0時有u(k)(t)>0，t≥t*，k=0，1，…，l-1；當l≤n-1時有(-1)l+ku(k)(t)>0，t≥t*，k=l，l+1，…，n-1.

引理2[6]設u滿足引理1的條件，且u(n-1)(t)u(n)(t)≤0(t≥t*)，則對任何θ∈(0，1)，存在常數M>0，使得對一切充分大的t有u′(θt)≥Mtn-2u(n-1)(t).

引理5 設條件(H1)—(H6)成立，x(t)是方程(1)的最終正解，則

z(t)>0，z′(t)>0，z(n-1)(t)>0，z(n)(t)≤0.

(7)

(8)

由(6)式知ω′(t)=ω(t)b(t)/A(t)，所以

[ω(t)A(t)φ(z(n-1)(t))]′=ω(t){[A(t)φ(z(n-1)(t))]′+b(t)φ(z(n-1)(t))}<0.

(9)

因此ω(t)A(t)φ(z(n-1)(t))當t≥T時是嚴格遞減的，且z(n-1)(t)最終定號.于是斷言

z(n-1)(t)>0，t≥T.

(10)

若不然，即z(n-1)(t)<0，t≥T.由(9)式，得

ω(t)A(t)φ(z(n-1)(t))≤ω(T)A(T)φ(z(n-1)(T))=-C，

這里C=ω(T)A(T)[-φ(z(n-1)(T))]=ω(T)A(T)|z(n-1)(T)|γ-1[-z(n-1)(T)]>0是常數.于是由上式容易推得

兩邊積分，得

由(8)式，知

0≥[A(t)φ(z(n-1)(t))]′={A(t)[z(n-1)(t)]γ}′=A′(t)[z(n-1)(t)]γ+γA(t)[z(n-1)(t)]γ-1z(n)(t)，

由此可導出z(n)(t)≤0(t≥T).由于n是偶數，因此由引理1知l為奇數，所以z′(t)>0(t≥T).引理5證畢.

2 主要結果及證明

記D={(t，s)|t≥s≥t0}，D0={(t，s)|t>s≥t0}，稱二元函數H(t，s)屬于函數類Θ，記為H∈Θ，如果二元函數H(t，s)∈C(D，R)，且滿足條件：

(ⅰ) 當t≥t0時H(t，t)=0，當(t，s)∈D0時H(t，s)>0；

定理1 設條件(H1)—(H6)成立.若有函數φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))及H∈Θ，使得

(11)

(12)

則方程(1)振動.

證明若不然，則方程(1)存在非振動解x(t)，不失一般性，設x(t)>0，x(τk(t))>0，x(σ(t))>0，t≥T≥t0(若x(t)是最終負解時類似可證).由(7)式及引理2知，對任意0<θ<1，存在M>0，使得

z′(θσ(t))≥Mσn-2(t)z(n-1)(σ(t))≥Mσn-2(t)z(n-1)(t).

(13)

根據函數z(t)的定義，知x(t)≤z(t)，因此

即

(14)

定義如下Riccati變換：

(15)

顯然有V(t)>0(t≥T)，應用(8)，(13)和(14)式，由(15)式可推出

注意到(12)式中關于函數Φ(s)的定義，當t≥T時，由上式可得

(16)

將上式中的t改為s，再兩邊同乘以H(t，s)后積分，并注意到函數h(t，s)的定義，則可得到

(17)

將引理4中的不等式應用于上式，并注意到函數ψ(s)的定義，則由(17)式進一步可得

(18)

因此

(19)

從而

故

注1 如果方程(1)中的n=2，m=1，Pk(t)≡0，b(t)≡0，Rj(t)≡0，f(u)=u，σ(t)=t，并在定理1中取φ(t)=1，H(t，s)=(t-s)k，則由定理1可得定理A；如果方程(1)中m=1，Pk(t)≡0，Rj(t)≡0，fi(u)=u，則定理1即為文獻[10]中的定理3；若取H(t，s)=(t-s)k，則進一步可得文獻[10]中的定理1；如果方程(1)中n=2，h=m=l=1，b(t)≡0，γ=1，B(u)=u，τ(t)=t-τ0，σ(t)=t-σ0，δ(t)=t-δ0，則定理1即為方程(5)的振動準則，但定理1中放棄了文獻[4]的條件“R(t)最終為負”.關于方程(1)的特殊情形的其他振動準則，可參考文獻[6-9，11-16].

當定理1中的條件(11)不成立時，則有

定理2 設條件(H1)—(H6)成立.若有函數φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))，H∈Θ及ζ∈L2([t0，+∞)，R)，使得

(20)

(21)

對一切u≥T≥t0成立，并且函數ζ滿足

(22)

其中函數Φ(s)，ψ(s)及h(t，s)的定義如定理1，則方程(1)振動.

證明同定理1的證明，得到(17)，(19)兩式.由(19)式知，當t≥u≥T≥t0時，有

綜合上式和(21)式，可得

(23)

根據(17)式，有

利用(23)式，由上式可推得

(24)

其中常數C0=-ζ(T)+V(T).由此可導出

(25)

(26)

這樣，由(24)式可推出

(27)

綜合(24)，(26)—(27)式知，存在充分大的自然數N，使得當n≥N時，有

于是，對正數0<ε<1，當n≥N時，容易導出

(28)

利用引理3(即H?lder不等式)，并注意到函數ψ(s)的定義，可推得

整理上式，并注意到(28)式及條件(20)，則有

即

這與(27)式矛盾!這就證明了(25)式成立.利用(23)式的第1個式子及(25)式，可得

這與條件(22)矛盾!定理2證畢.

例1 考慮具有正負系數的4階變時滯微分方程

(29)

且當t→+∞時，有

所以條件(H1)—(H6)成立.現取φ(t)=1，H(t，s)=t-s，則當t→+∞時，有

于是由定理1知方程(29)振動.

顯然，由于方程(29)的復雜性且是高階(4階)的，文獻[1-16]中的定理均不能用于方程(29)的振動性判別.