Hom-δ-Jordan李色代數的構造與交換擴張

馬麗麗，韓 旸

(齊齊哈爾大學理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

1 預備知識

Okubo和Kamiya研究了δ-Jordan李超代數，其是李超代數的推廣.當δ=1時，δ-Jordan李超代數即為李超代數[1-2].陳良云等[3]研究了Hom-δ-Jordan李超代數的表示和形變；Scheunert[4]從純數學角度研究了李色代數，并得到了李色代數的PBW定理和Ado定理.隨后，學者們討論了李色代數的表示理論[5]，證明了李色代數的Engel定理[6]，研究了李色代數的廣義導子和T*-擴張[7-8].目前，人們開始研究Hom李色代數和Hom-δ-Jordan李色代數[9-12].本文構造了Hom-δ-Jordan李色代數，并研究了Hom-δ-Jordan李色代數的交換擴張.

定義1[4]設G是交換群，F是任意域.若?a，b，c∈G，G上的一個映射ε：G×G→F*滿足

ε(a，b)ε(b，a)=1，

ε(a，b+c)=ε(a，b)ε(a，c)，

ε(a+c，b)=ε(a，b)ε(c，b)，

則稱ε為G的斜對稱雙特征標.易知

ε(a，0)=ε(0，a)=1，ε(a，a)=±1，?a∈G.

設a，b，c為G-階化向量空間中的齊次元，用|a|，|b|，|c|分別表示其次數.為簡便，可用ε(a，b)表示ε(|a|，|b|).

定義2[10]Hom-δ-Jordan李色代數(L，[·，·]L，α，δ)由階化空間L、雙線性運算[·，·]L：L×L→L和偶的線性變換α：L→L構成，且滿足：

[x，y]=-δε(x，y)[y，x]，δ=±1；

(1)

ε(z，x)[α(x)，[y，z]]+ε(x，y)[α(y)，[z，x]]+ε(y，z)[α(z)，[x，y]]=0，?x，y，z∈L.

(2)

定義3 設(L，[·，·]L，α，δ)是Hom-δ-Jordan李色代數.

(1) Hom-δ-Jordan李色代數被稱為保積的，若α為同態，即任取x，y∈L，均有α([x，y]L)=[α(x)，α(y)]L；被稱為正則的，若α為自同構.

(2) 階化子空間η?L稱為(L，[·，·]L，α，δ)的Hom子代數，若α(η)?η且[x，y]L∈η，?x，y∈η.

(3) 階化子空間η?L稱為(L，[·，·]L，α，δ)的Hom理想，若α(η)?η且[x，y]L∈η，?x∈η，?y∈L.特別地，理想η稱為交換理想，若滿足[L，η]=0.

定義4Hom-δ-Jordan李色代數(L，[·，·]L，α，δ)的表示，意指階化向量空間V上關于A∈pl(V)的線性映射

ρA：L→pl(V)，

使得任意的u，v∈L滿足

ρA([u，v]L)°A=ρA(α(u))°ρA(v)-δε(u，v)ρA(α(v))°ρA(u).

(3)

2 Hom-δ-Jordan李色代數的構造

定義5 Hom-δ結合色代數(L，α，δ)由階化空間L、雙線性變換α：L→L構成，且其滿足：

(λx)y=x(λy)=λ(xy)；

α(x)(yz)=δ(xy)α(z)，?x，y，z∈L.

定理1 設(L，α，δ)是Hom-δ結合色代數，定義雙線性映射[·，·]L：L×L→L滿足[x，y]=xy-δε(x，y)yx，則(L，[·，·]L，α，δ)是Hom-δ-Jordan李色代數.

證明由于

ε(x，z)α(x)(yz)=δε(x，z)(xy)α(z)，

ε(x，y)ε(y，z)(zy)α(x)=δε(z，y)ε(x，y)α(z)(yx)，

ε(y，x)α(y)(zx)=δε(x，y)(yz)α(x)，

ε(y，z)ε(z，x)(xz)α(y)=δε(x，z)ε(y，z)α(x)(zy)，

ε(z，y)α(z)(xy)=δε(y，z)(zx)α(y)，

ε(z，x)ε(x，y)(yx)α(z)=δε(y，x)ε(z，x)α(y)(xz)，

可得

ε(x，z)[α(x)，[y，z]]+ε(y，x)[α(y)，[z，x]]+ε(z，y)[α(z)，[x，y]]=ε(x，z)[α(x)，yz-δε(y，z)zy]+ε(y，x)[α(y)，zx-δε(z，x)xz]+ε(z，y)[α(z)，xy-δε(x，y)yx]=ε(x，z)α(x)(yz)-δε(x，z)ε(x，y+z)(yz)α(x)-δε(x+y，z)α(x)(zy)+ε(x+z，y)(zy)α(x)+ε(y，x)α(y)(zx)-δε(y，z)(zx)α(y)-δε(y+z，x)α(y)(xz)+ε(y+x，z)(xz)α(y)+ε(z，y)α(z)(xy)-δε(z，x)(xy)α(z)-δε(z+x，y)α(z)(yx)+ε(z+y，x)(yx)α(z)=0.

定義6 設(T，[·，·]，α，δ)是Hom-δ-Jordan李色代數，(V，ρA，δ)為T-模，則線性映射ω：?2→V被稱為2-上圈，若其滿足下面等式：

ω(u0，u1)=-δε(u0，u1)ω(u1，u0)，

ε(f，μ0)ρA(α(u0))f(u1，u2)-δε(f+u0，u1)ρA(α(u1))f(u0，u2)+ε(f+u0+u1，u2)ρA(α(u2))f(u0，u1)-f([u0，u1]L，α(u2))+δε(u0+u1，u2)ε(u0，u2)f([u0，u2]L，α(u1))-ε(u0，u1)ε(u0+u1，u2)ε(u1，u2)f([u1，u2]L，α(u0))=0.

定理2 設ρA是保積Hom-δ-Jordan李色代數(T，[·，·]，α，δ)在V上的表示，這里V是由(T，[·，·]，α，δ)的全體線性變換構成的空間，線性映射ω：T×T→gl(V)滿足ω([x，y]，α(z))=-ε(z，x+y)ω(α(z)，[x，y])，且ω(x，y)°α=-ε(x，y)α°ω(x，y).定義雙線性運算：

[x+f，y+g]T?V=[x，y]+ω(x，y)-ε(x，y)g°ρA(x)+δf°ρA(y)，

α′(x+f)=α(x)+f°α，?x，y∈T，f，g∈gl(V).

則T?V關于定義的運算構成保積Hom-δ-Jordan李色代數，當且僅當ω為2-上圈.

證明首先驗證(1)式成立.

-δε(x，y)[y+g，x+f]T?V= -δε(x，y)([y，x]+ω(y，x)-ε(x，y)f°ρA(y)+δg°ρA(x))= [x，y]+ω(x，y)-ε(x，y)g°ρA(x)+δf°ρA(y)=[x+f，y+g]T?V.

下面證明關于定義的運算滿足(2)式，當且僅當ω為2-上圈.

事實上，

ε(x，z)[α′(x+f)，[y+g，z+h]]+ε(y，x)[α′(y+g)，[z+h，x+f]]+ε(z，y)[α′(z+h)，[x+f，y+g]]=0?

ε(x，z)ω(α(x)，[y，z])-ε(x，y)ω(y，z)°ρA(α(x))+ε(y，x)ω(α(y)，[z，x])-ε(y，z)ω(z，x)°ρA(α(y))+ε(z，y)ω(α(z)，[x，y])-ε(z，x)ω(x，y)°ρA(α(z))+ε(y，x+z)h°ρA(y)°ρA(α(x))-δε(y，z)h°ρA(x)°ρA(α(y))+δε(z，y)h°α°ρA[x，y]+δε(x，z)f°α°ρA[y，z]+ε(z，x+y)f°ρA(z)°ρA(α(y))-δε(x，z)f°ρA(y)°ρA(α(z))-δε(x，y)g°ρA(z)°ρA(α(x))+δε(x，y)g°α°ρA[z，x]+ε(x，y+z)g°ρA(x)°ρA(α(z))=0?

-ε(x，y)ω([y，z]，α(x))+δε(z，x+y)ω([x，z]，α(y))-ε(x，z)ω([x，y]，α(z))+ε(x，z)ρA(α(x))°ω(y，z)-δε(x，y+z)ρA(α(y))°ω(x，z)+ε(y，z)ρA(α(z))°ω(x，y)=0.

3 Hom-δ-Jordan李色代數的交換擴張

定理3 如上記號，則有(V，αV，θ，δ)是(T，α，δ)的表示，且不依賴于σ的選取.進而，等價交換擴張給出相同的表示.

p(σ(xi)-σ′(xi))=xi-xi=0?σ(xi)-σ′(xi)∈Vσ′(xi)=σ(xi)+ui，

其中ui∈V.

這表明θ不依賴σ的選取.

其次，證明(V，αV，θ，δ)是(T，α，δ)的表示.

通過計算可知，

αV(θ(x))(v)=δαV[σ(x)，v]=δ[αV(σ(x))，αV(v)]=δ[σ(α(x))，αV(v)]=θ(α(x))αV(v).

θ([x，y])°αV(v)=δ[σ[x，y]，αV(v)]=δ[[σ(x)，σ(y)]，αV(v)]，

且

進而，得到(3)式成立.于是，可知(V，αV，θ，δ)是(T，α，δ)的表示.

最后，證明等價交換擴張具有相同的表示θ.