一類帶奇異項的非局部問題正解的唯一性

林榮瑞，佘連兵*，吳蓮發

(1.六盤水師范學院數學與計算機科學學院，貴州 六盤水 553004；2.上饒師范學院數學與計算機科學學院，江西 南昌 334001)

考慮如下帶非局部項的奇異橢圓問題

其中Ω?N(N≥3)是一個有界開區域且具有光滑邊界?Ω,a,b≥0且a+b>0,m>0，λ≥0,1

當m=1時，文獻[1]率先研究了問題(1):

利用變分方法和一些分析技巧，獲得了上述奇異非局部問題正解的存在唯一性。文獻[2]研究如下非局部問題,

在文獻[1]和[2]的啟發下，本文利用變分方法和臨界點理論，證得了問題(1)正解的存在唯一性，推廣了文獻[1]和[2]中的結果。

(2)

記S為

(3)

最佳Sobolev常數。

證明首先，證明m*有定義。由H?lder不等式和(3)式，可得

(4)

(5)

從而，根據(4)式和(5)式，可得

(6)

令ωn=un-u*，只需證明當n→∞時‖ωn‖→0。根據Vitali定理，可以斷言

(7)

根據(4)式，我們有

進一步，由(6)式和Brezis-Lieb引理，可得

(8)

一方面，1

這就意味著I(u*)=m*。另一方面，p=2*時，依據(6)-(8)式以及范數的弱下半連續性，可得

這就得到I(u*)=m*。引理1證畢。

下面，給出本文的主要結果及證明。

(9)

根據Lebesgue控制收斂定理，可得

(10)

對任意的x∈Ω,記

h′(t)=f(x)

這就意味著:h(t)對一切的t>0是非增的。進一步，對任意的x∈Ω，有

其中當u*(x)=0且φ(x)>0時，上式值可能是+∞。從而，根據單調收斂定理(Beppo-Levi定理)，可得

這里可能取到+∞。在(9)式中讓t→0+，由(10)式可得

(11)

這就意味著u*(x)>0在Ω中幾乎處處成立。

(12)

(u*+εφ)+=max{u*+εφ,0}

顯然，Ψ≥0。在(11)式中取φ=Ψ，記Ω1={x∈Ω:u*+εφ≤0}，結合(12)式，可得

當ε→0+,有measΩ1→0,上式兩邊同時除以ε并令ε→0+,可得

因此，這個不等式對于-φ也成立。故,u*是問題(1)的一個正解且I(u*)<0。

最后，問題(1)解的唯一性。假設ν*為問題(1)的另一個解。由(2)式，可得

(13)

(14)

根據(13)式和(14)式，可得

(15)

其中

由H?lder不等式，可得

由0<γ<1,p>1，易得到如下兩個不等式

(r-γ-s-γ)(r-s)≤0,(rp-1-sp-1)(r-s)≥0,?r、s>0

因此

一方面，若a>0，由(15)式，推得a‖u*-ν*‖2≤0。這就意味著:‖u*-ν*‖2=0,即u*=ν*。另一方面，若a=0，由(15)，推得‖u*‖=‖ν*‖且W(u*,ν*)=0。從而，有

即u*=ν*。因此u*是問題(1)的唯一解。定理1證畢。