多復變差分Clunie型定理

武王寧，曹廷彬

(南昌大學數學系，江西 南昌 330031)

1 引言與主要結果

首先介紹一些多復變的Nevanlinna理論的相關定義。

令z=(z1，…，zm)∈m，‖z‖2=

Bm(r):={z∈m:‖z‖

1962年，Clunie[1]得到了如下引理:如果w(z)是復平面上的一個亞純函數使得微分方程

wnP(z，w)=Q(z，w)

成立，其中n∈，P(z，w)和Q(z，w)是系數為亞純函數的關于w(z)和w′(z)的多項式且degQ(z，w)≤n。那么

m(r，P(z，w))=O(logr+logT(r，w)+T(r))

其中r→∞除去有限個線性測度集合，T(r)是P(z，w)和Q(z，w)的系數的特征函數的最大值。這個結果在復微分方程的值分布研究中是一個很重要的工具，之后許多學者在此基礎上進行了推廣[2-8]。2006年，Halburd-Korhonen[9]證明了上述Clunie引理的差分版本(即P(z，w)和Q(z，w)是系數為亞純函數的差分多項式且w(z)是有窮級的亞純函數)，可以用于研究差分方程[10-11]的值分布問題。Laine-Yang[12]隨后將其推廣得到了更一般的結果:令w(z)是上的一個有窮級為ρ=ρ(w)的亞純函數且使得微分方程

U(z，w)P(z，w)=Q(z，w)

成立，其中U(z，w)，P(z，w)和Q(z，w)是關于w(z)和w(z+c1)，w(z+c2)，…，w(z+ck)的差分多項式且degU(z，w)=n，degQ(z，w)≤n。如果U(z，w)，P(z，w)和Q(z，w)的系數為關于w(z)的小函數且U(z，w)只包含最大總次數的一項。那么對于任意的ε>0，

m(r，P(z，w))=O(rρ-1+ε)+ο(T((r，w)))

其中r→∞除去有限個對數測度集合。雖然此定理覆蓋了很多方程，但不適用于差分Painlevé Ⅳ方程。為此，Korhonen[13]證明了一個新的差分Clunie型定理可以包含差分Painlevé Ⅳ方程。最近，Cao-Xu[14]把Laine-Yang[12]的差分版本的Clunie定理從單復變推廣到了多復變。為此，我們考慮是否可以把Korhonen[13]得到的新的差分Clunie型定理從單復變推廣到多復變。

定義復偏差分多項式如下:

w(z+cm)λm

(1.1)

其中aλ(z)關于m上的一個亞純函數w(z)的小函數，ci∈m{0}(i=1，…，m)，I是一個有限的多指標集合。P(z，w)在w(z)和w(z+ci)(i=1，…，m)的總次數記為degw(P)，P(z，x0，x1，…，xm)在x0=0處關于變量x0的零點的階記為ord0(P)。定義P(z，w)的權為κ(P)=

P(z，w)=w(z)3+w(z+1)w(z)2

degw(P)=3，ord0(P)=2，κ(P)=1。如果(1.1)中每一項的次數dλ=λ0+…+λn是非零且各項總次數均相同，則稱P(z，w)是齊次多項式。

我們采用[13]中相同方法，得到了如下兩個定理:

定理1令w(z)是m上的一個亞純函數且使得

H(z，w)P(z，w)=Q(z，w)

成立，其中P(z，w)是一個系數為亞純函數的齊次偏差分多項式，H(z，w)和Q(z，w)是系數為w(z)函數的關于w(z)的多項式且沒有公因子。如果

max{degw(H)，degw(Q)-degw(P)}>

min{degw(P)，ord0(Q)}-ord0(P)

那么

N(r，w)≠ο(T((r，w)))

定理2令w(z)是m上的一個亞純函數且使得

H(z，w)P(z，w)=Q(z，w)

成立，其中P(z，w)是一個系數為亞純函數的齊次偏差分多項式，H(z，w)和Q(z，w)是系數為亞純函數的關于w(z)的多項式且沒有公因子。如果

2κ(P)≤max{degw(Q)，degw(H)+degw(P)}-min{degw(P)，ord0(Q)}

那么

m(r，w)=o(T(r，w))+O(T(r))

2 引理

引理1[14]令f(z)是m上的一個亞純函數且那么對于所有的c∈m{0}，我們有

o(T(r，f))

T(r)≤T(r+Φδ(r))≤

根據上述引理，Cao-Xu[14]得到了N(r，f(z))和N(r+L，f(z))之間的關系，在我們定理的證明中起到了至關重要的作用。

引理3[14]令f(z)是m上的一個亞純函數且那么對于所有的與r無關且大于0的常數L，我們有

N(r+L，f(z))=N(r，f)+o(N(r，f))

引理4[16]令f(z)是m上的一個非常數亞純函數，假設

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

首先我們假設N(r，w)=ο(T((r，w)))。在(1.1)式中令L=maxj=1，…，m{||cj||}，由引理3我們可以得到

ord0(P))N(r+L，w)=(degw(P)-

ord0(P))N(r，w)+ο(T((r，w)))=ο(T((r，w)))

根據引理4，有

ord0(P))T(r，w)+ο(T((r，w)))

所以

(3.1)

另一方面，因為P(z，w)是一個齊次的偏差分多項式，所以由引理1可得

(3.2)

(3.3)

其中dw=max{degw(Q)，degw(H)+degw(P)}-min{degw(P)，ord0(Q)}

(3.4)

結合(3.2)，(3.3)，考慮假設條件

max{degw(H)，degw(Q)-degw(P)}>min{degw(P)，ord0(Q)}-ord0(P)

便有

3.2 定理2的證明

在(1.1)中令L=maxj=1，…，m{‖cj‖}，則由引理3有

另一方面，在定理1的證明中，由(3.2)和(3.3)可知

結合上面兩式以及假設

2κ(P)≤max{degw(Q)，degw(H)+

degw(P)}-min{degw(P)，ord0(Q)}=dw

可得對于任意的r?E2∪E3，m(r，w)=o(T(r，w))+O(T(r))。