多邊形面積坐標約束條件的構造方法

儲理才，吳端恭

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

在構造三角形單元時，三角形面積坐標的應用取得了成功。采用三角形面積坐標有如下優點：1)面積坐標是自然坐標，具有不變性；2)單元邊線方程易于表述；3)直角坐標與面積坐標之間互為線性關系；4)采用面積坐標時，易于求得三角形單元剛度矩陣的積分顯式。另一方面，采用等參坐標構造四邊形單元時，最主要的問題是等參坐標與直角坐標之間不是線性變換關系。因此，文獻[1-4]將三角形面積坐標理論推廣到四邊形情形，并應用于構造四邊形單元。面積坐標既有等參坐標的優點，也彌補了等參坐標的不足，用面積坐標構造的四邊形單元普遍表現出精度高、抗網格畸變性能好的優點[5-13]。

龍馭球等提出的四邊形面積坐標[2]采用與三角形面積坐標相類似的定義方式，每個點都具有4個坐標分量，其中只有兩個分量相互獨立，這種四邊形面積坐標稱為QAC-Ⅰ。文獻[14-15]提出了只含兩個分量的四邊形面積坐標，方法是取四邊形對邊的中點并連線，計算單元內的點與這兩條連線形成的兩個三角形的面積與整個四邊形面積的比值，這兩個比值組成該點的面積坐標，這種四邊形面積坐標稱為QAC-Ⅱ。龍馭球等[16]提出了另外一種形式的也只含兩個分量的四邊形面積坐標，方法是將文獻[14]中兩組對邊中點的連線換成兩條對角線，稱這種四邊形面積坐標為QAC-Ⅲ。綜合運用這3種面積坐標構造的四邊形單元具有諸多優點，如對網格畸變不敏感、推導過程簡潔等[17-19]。

3種四邊形面積坐標各有優勢和不足：QAC-Ⅰ含有4個分量，其中只有2個分量是獨立的，4個分量遵守某種約束條件，而QAC-Ⅱ和QAC-Ⅲ只含2個獨立分量，與平面上點的自由度是一致的。QAC-Ⅰ是三角形面積坐標的自然推廣，此種定義方式可以很容易推廣到任意多邊形情形，而后兩種四邊形面積坐標定義則很難推廣到一般多邊形上。

沿著QAC-Ⅰ的思路，將三角形面積坐標推廣到多邊形面積坐標，則坐標分量個數與多邊形的邊數相等。首先要解決的問題是坐標分量間的約束問題。設在平面上給定一個凸n邊形，平面上的點的面積坐標是一個n元有序數組；反之，給定一個n元有序數組，它就不一定是平面上某個點的面積坐標。以三角形情形為例，三角形面積坐標有一個約束條件，即三分量之和必為1，如果一個三元有序數組不滿足這個約束條件，它就不是平面上某個點的面積坐標。對于一般多邊形面積坐標，分量之和為1是必然要滿足的約束條件，本文研究了除此之外的約束條件以及如何建立這些約束條件。

1 多邊形面積坐標約束條件的建立

本節討論一般多邊形面積坐標約束條件的構造方法。首先將三角形面積坐標的定義推廣到一般多邊形的面積坐標。

1.1 多邊形面積坐標定義

如圖1，給定平面上凸n邊形A1A2A3…An，對平面上任意一點P，連接PA1，PA2，…，PAn。設S表示n邊形A1A2…An的面積，S1，S2,…,Sn分別表示△PA1A2，△PA2A3，…，△PAnA1的有向面積。令μi=Si/S,i=1,…,n,則稱n元有序數組(μ1,μ2,…,μn)為點P的面積坐標，多邊形的邊AiAi+1稱為坐標分量μi所對應的邊。

由多邊形面積坐標的定義可知，各坐標分量一定滿足如下的約束條件

μ1+μ2+…+μn=1。

(1)

1.2 面積坐標中的獨立分量

平面上點的自由度為2，由此可知，面積坐標(μ1,μ2,…,μn)的n個分量中，只有兩個分量是獨立的，其他分量受這兩個分量約束，并不是任意兩個分量都可選作獨立分量。如圖2所示，假設四邊形的邊A2A3平行于對邊A4A1，當點P沿著與這兩條邊平行的方向(圖中虛線)變化時，μ2、μ4恒為常數，而μ1、μ3卻在變化，顯然μ2、μ4不能表示μ1、μ3；與之相反，考慮分量μ1、μ3，如果A1A2與對邊A3A4不平行，則不存在這樣的方向，當平面上的點P沿該方向變化時，μ1、μ3恒為常數，因此μ1、μ3是相互獨立的。

據此，本文提出如下的獨立分量選取原則：

1)獨立分量選取原則 面積坐標分量中，只要面積坐標的兩個分量所對應的多邊形的邊不平行，則這兩個分量是獨立變化的。

2)據此原則 相鄰兩個分量(例如：μ1、μ2)一定可以作為獨立分量，不失一般性，下文中皆選定μ1、μ2作為獨立分量。

1.3 面積坐標中非獨立分量的線性函數表示形式

(2)

其中,ai,bi,ci(i=3,4,…,n)為表示系數，這樣一組表示式就構成了多邊形面積坐標的約束條件。

1.4 表示系數的確定

如節1.3所述，選定多邊形面積坐標中兩個獨立變化的分量，其余分量必可表示成兩個獨立分量的線性函數形式，這些線性函數一旦確定，即構成了多邊形面積坐標的一組完整約束條件。確定這些線性函數的方法是：根據多邊形的具體情況，適當選定一組形狀特征參數，用特征參數表示出至少3個互異點的面積坐標；然后根據這3個點的面積坐標，代入式(2)，建立線性方程組。該線性方程組必有唯一解，求其解，便得到表示系數。一組完整的非獨立分量的表示式即構成了一組完整的多邊形面積坐標約束條件。

下面就四邊形、五邊形情形給出具體的面積坐標約束條件，以此檢驗此方法的有效性。

2 四邊形面積坐標的約束條件

2.1 面積特征參數法

特征參數的取法同文獻[2]，如圖2所示，平面上給定四邊形A1A2A3A4，S表示四邊形A1A2A3A4的面積，S1、S2分別表示△A1A2A4、△A1A2A3的有向面積，用g1=S1/S、g2=S2/S定義四邊形A1A2A3A4的特征參數，稱這種參數為面積特征參數。則四邊形的4個頂點的面積坐標可以由面積特征參數表示為：A1(0,g2,1-g2,0),A2(0,0,1-g1,g1),A3(g2,0,0,1-g2),A4(g1,1-g1,0,0)。

從4個頂點中任選3個，代入式(2)，可得

(3)

即四邊形面積坐標的一組約束條件。

2.2 對角線比例特征參數法

設基四邊形如圖2所示，P是對角線A1A3與A2A4的交點，設

k1=A1P/PA3,k2=A2P/PA4,

(4)

稱k1,k2為四邊形的對角線比例特征參數。

由初等幾何知識，四邊形的4個頂點的面積坐標可以由對角線比例特征參數表示為A1(0,k2/(1+k2),1/(1+k2),0),A2(0,0,1/(1+k1),k1/(1+k1)),A3(k2/(1+k2),0,0,1/(1+k2)),A4(k1/(1+k1),1/(1+k1),0,0)。從4個頂點中任選3個，代入式(2)，可得另外一組等價的約束條件

(5)

式(3)或式(5)中的兩個等式相加，都可導出

μ1+μ2+μ3+μ4=1。

(6)

因此，用式(6)替換式(3)或式(5)中任意一個等式，又可得到不同的等價約束條件。

3 五邊形面積坐標的約束條件

3.1 五邊形的特征參數的選取

如圖3，給定平面上凸五邊形ABCDE，S表示五邊形ABCDE的面積，S1、S2、S3、S4、S5分別表示△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB的有向面積，用式(7)定義五邊形ABCDE的特征參數

gi=Si/S,i=1,…,5。

(7)

3.2 五邊形頂點的面積坐標的特征參數表示

給定五邊形ABCDE，則各頂點的面積坐標可由特征參數表示如下：A(0,g1,1-g1-g4,g4,0),B(0,0,g2,1-g2-g5,g5),C(g1,0,0,g3,1-g3-g1),D(1-g4-g2,g2,0,0,g4),E(g5,1-g5-g3,g3,0,0)。

3.3 非獨立分量的表示公式

從五邊形頂點中任意選擇3個，將其面積坐標代入式(2)，可以解得具體的表示系數，從而得到面積坐標非獨立分量用獨立分量表示的公式。

選取的點不同，表示形式也會不同。例如：選擇頂點A，B，C，得到如下形式的五邊形面積坐標的約束條件

μ3=-μ1g2/g1+μ2(1-g1-g2-g4)/g1+g2,

(8)

μ4=μ1(g2+g3+g5-1)/g1+μ2(g2+g4+g5-1)/g1+1-g2-g5,

(9)

μ5=μ1(1-g1-g3-g5)/g1-μ2g5/g1+g5。

(10)

選擇頂點A，B，D，則得到另外一組不同的約束條件

μ3=-μ1g2/g1+μ2(1-g1-g2-g4)/g1+g2,

(11)

μ4=μ1[g1(1-g2-g5)+g2(g2+g4+g5-1)]/[g1(g2+g4-1)]+

μ2(g2+g4+g5-1)/g1+1-g2-g5,

(12)

μ5=μ1(g1g5-g2g5-g1g4)/[g1(g2+g4-1)]-μ2g5/g1+g5。

(13)

比較兩組約束條件，式(8)與式(11)完全相同，式(9)與式(12)、式(10)與式(13)都只有μ1的系數不同。根據上面的分析，這兩組約束條件是等價的，因此，對應項系數必然相等，(g2+g3+g5-1)/g1=[g1(1-g2-g5)+g2(g2+g4+g5-1)]/g1(g2+g4-1),(1-g1-g3-g5)/g1=

(g1g5-g2g5-g1g4)/[g1(g2+g4-1)]，這兩個等式都導出了同一個恒等式，如式(14)所示：

g1+g2+g3+g4+g5-g1g2-g2g3-g3g4-g4g5-g5g1=1。

(14)

定理1 給定平面上任意凸五邊形ABCDE，特征參數g1,g2,g3,g4,g5如式(6)定義，則特征參數必滿足式(14)的恒等式。

上面得出這個恒等式的過程即可視為這個恒等式的證明，這里再給出這個恒等式的一個初等幾何證明。

如圖4，設對角線BD、CE交于點P，CE、DA交于點R，DA，EB交于點T。將式(14)改寫為(1-g1)(1-g2-g5)=g3(1-g2-g4)+g4(1-g5)。由特征參數的幾何意義，結合圖4，即需證明S□ACDE·S△BDE=S△CDE·S△ABD+S△DEA·S□BCDE。將上式改寫為：

S△CDE/S□BCDE·S△ABD/S□ACDE=S△BDE/S□BCDE-S△DEA/S□ACDE。

(15)

在四邊形BCDE中，S△CDE/S□BCDE=DP/DB。類似地，可知S△ABD/S□ACDE=BT/BE·S□ABDE/S□ACDE=BT/BE·S□ABDE/S△ADE·S△ADE/S□ACDE=BT/BE·BE/TE·RE/CE=BT/TE·RE/CE。又S△BDE/S□BCDE-S△DEA/S□ACDE=PE/CE-RE/CE=PR/CE,于是式(15)變為DP/DB·BT/TE·RE/CE=PR/CE，即：為證明定理1，只需證明

DP/DB·BT/TE·RE/PR=1。

(16)

為證明式(16)，在圖4中，過點P作PS平行于AD交對角線BE于點S，則DP/DB=TS/BT,RE/PR=TE/TS，代入式(16)左邊，則知式(16)成立。至此，定理1證畢。

4 分量相等的面積坐標對應的點的存在性

熟知，分量相等的三角形面積坐標為(1/3,1/3,1/3)，它所表示的點是三角形的重心。那么n邊形面積坐標是(1/n,…,1/n)的點是否存在？當基多邊形是正多邊形時，這樣的點顯然是存在的，就是正多邊形的中心。如果基多邊形不是正多邊形呢？這類問題可以根據面積坐標的約束條件得到解答。關于四邊形情形，有定理2。

定理2 當基四邊形的兩對角線交點至少平分其中一條對角線時，則存在面積坐標為(1/4,1/4,1/4,1/4)的點，反之亦然。

證明四邊形對角線比例特征k1,k2如式(4)定義，當基四邊形的兩對角線交點至少平分其中一條對角線時，則k1=1或k2=1。

1)如果k1=1且k2=1，即四邊形兩對角線互相平分，則此四邊形為平行四邊形，兩對角線的交點的面積坐標為(1/4,1/4,1/4,1/4)。

2)如果k1、k2只有一個為1，不妨設k1=1,k2≠1,此時對角線的交點P是A1A3的中點，而不是A2A4的中點。取A2A4的中點O，容易證明O點的面積坐標恰為(1/4,1/4,1/4,1/4)。反之，設某點的面積坐標為(1/4,1/4,1/4,1/4)，在對角線比例特征參數表示的約束條件式(5)中任取一個等式，將μ1=μ2=μ3=μ4=1/4代入，例如代入(5)中第一個等式，得1/4=-(1+k1)/(1+k2)/4-(1-k1k2)/(1+k2)/4+1/(1+k2)，化簡得(1-k1)(1-k2)=0，此式即表明基四邊形的兩對角線交點至少平分其中一條對角線。

5 結論

本文將三角形面積坐標定義自然推廣到任意多邊形情形，提出了建立多邊形面積坐標分量間的約束條件的一般方法，并就四邊形和五邊形情形，使用該方法建立了多組等價的約束條件。結果表明，該方法是有效的。