反比例函數圖象與雙曲線的關系探究

林曉晴

【摘要】反比例函數圖象是雙曲線，卻極容易被忽略。為探究反比例函數圖象與雙曲線的關系，首先從圖象觀察猜想入手，再運用所學知識進行推理驗證，然后，利用已有關系進行性質探究，尋找反比例函數圖象與雙曲線的關系橋梁——旋轉變換、伸縮變換的特性。

【關鍵詞】反比例函數;等軸雙曲線;一般雙曲線;圖象;變換

說明：本文所指雙曲線如無特殊說明，都是指焦點在x軸上的雙曲線，其方程為，反比例函數如無特殊說明，都是指圖象在一、三象限的情況，解析式為.

初中，我們已經掌握了反比例函數的解析式、圖象及其函數的性質等相關知識，在初中課本中有這樣一句話“反比例函數的圖象由兩條曲線組成，它是雙曲線。”同樣是雙曲線，它和我們高中學習的雙曲線又有什么聯系和區別呢？高中課本人教A版選修2-1中，關于初中學習的拋物線和高中學習的拋物線之間的關系做出了解釋，放在“探究與發現”中，卻沒有對雙曲線做出更詳細的解釋。但在學習過程中，我們又很容易發現反比例函數的圖象與雙曲線之間有著不少聯系，而且這種聯系或許會對我們學習雙曲線有一定的啟發。

遺憾的是我們對反比例函數的圖象、性質等的研究很多，對雙曲線的研究也不少，但卻很少將二者進行聯系與比較。

一、反比例函數圖象與雙曲線之間的關系

1.觀察發現與猜想

從圖象的形狀來看，反比例函數的圖象與雙曲線一樣，它們形狀相似，且都具有兩條漸近線（反比例函數圖象的漸近線是兩條坐標軸）。基于這個發現，由兩種圖象的漸近線存在某種旋轉的關系，我們大膽猜想：把反比例函數的圖象順時針旋轉45o后與雙曲線完全重合，借助特殊例子，并運用幾何畫板對這個猜想進行初步驗證。

在幾何畫板中畫出反比例函數的圖象和雙曲線，如圖：

把反比例函數的圖象順時針旋轉45o，如下圖，可發現，其圖象與雙曲線重合。

2.推理證明與結論

為了證明猜想成立，我們利用坐標軸變換公式進一步探討反比例函數的圖象與雙曲線的關系。

設雙曲線方程，反比例函數 即xy=k，利用坐標軸旋轉變換公式即，則反比例函數解析式變為即，顯然，這是等軸雙曲線的方程，也就是說反比例函數的圖象順時針旋轉45o后就是等軸雙曲線，且實半軸長為。

因此，可確定反比例函數的圖象實質上是等軸雙曲線，即反比例函數的圖象是特殊的雙曲線。

二、利用反比例函數圖象的性質探究雙曲線的性質

有了反比例函數圖象與等軸雙曲線的關系，我們就可以利用反比例函數圖象的一些性質來得到等軸雙曲線的部分性質，甚至推廣到一般雙曲線的對應性質。

1.關于面積的性質

對于反比例函數的圖象，圖象上任一點P（m，n）到兩坐標軸的距離之積是常數k，由反比例函數圖象與等軸雙曲線的關系可知，等軸雙曲線上任一點到兩條漸近線的距離之積也是常數，進一步，可以猜想，對于一般的雙曲線，雙曲線上任一點，到兩條漸近線的距離之積也是常數，這個結論是否成立呢？

設雙曲線上任一點，則有即b2m2-a2n2=a2b2，所以點P到兩條漸近線bx±ay=0的距離分別為，故。

可見，由反比例函數圖象的性質推導出的這一結論，對于一般雙曲線也同樣適用。

2.關于雙曲線形狀的性質

除了面積的性質，反比例函數圖象的性質也是我們關注的重點，其圖象形狀會受到k值的影響，當k越小時，圖象上任一點到兩坐標軸的距離之積越小，這意味著圖象越接近兩條坐標軸。由前文可知，通過旋轉變換，得到等軸雙曲線方程為，它的實半軸長為，所以等軸雙曲線的實半軸長越小，其越接近兩條漸近線。進一步也可以猜想，對于一般的具有相同漸近線的雙曲線，它的實半軸長越小，雙曲線越接近兩條漸近線。這一結論是否成立呢？

設漸近線相同的雙曲線方程為即，任取雙曲線上一點，可以求得點到兩條漸近線的距離之積為。對于漸近線相同的雙曲線，a與b的值相同，所以越小，即雙曲線的實半軸長越小時，雙曲線上任一點到兩條漸近線的距離之積越小，意味著此時雙曲線越貼近兩條漸近線。故此結論對于具有相同漸近線的雙曲線同樣成立，若是漸進線不同，我們更習慣用離心率的大小來看雙曲線的形狀性質。

三、從反比例函數圖象（特殊雙曲線）“跨越”到一般雙曲線

由前面的討論可以看出，反比例函數圖象的性質，可以通過旋轉變換，轉化為等軸雙曲線的性質，再進一步探究此結論對于一般雙曲線是否適用。這就給了我們一個啟示，是否可以利用反比例函數圖象與雙曲線的這一聯系，由反比例函數圖象（特殊雙曲線）的性質來探究一般雙曲線的性質，這個想法的實現，關鍵就是從反比例函數圖象到一般雙曲線的“跨越”。

對于反比例函數，首先利用旋轉變換將其轉化為等軸雙曲線，再利用伸縮變換轉化為一般雙曲線即，這樣一來，我們就實現反比例函數圖象到一般雙曲線的跨越。此過程也可以反過來，將一般雙曲線由伸縮變換、旋轉變換轉化為反比例函數的圖象，這樣一來，就可以將雙曲線的問題轉化為反比例函數圖象的問題來研究。

四、幾點思考

通過探究，可以明確：反比例函數圖象實質上是等軸雙曲線，其與一般雙曲線之間有著不少共通的性質，這也給了我們一些教學上的啟示。

責任編輯? 林百達